专题三 圆锥曲线的方程-2023届高考数学二轮复习选必模块专项练（含解析）

专题三圆锥曲线的方程1.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则面积的最大值为().A.9 B.12 C.15 D.202.设，是双曲线的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的离心率为()A. B.5 C. D.3.设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A.5 B.6 C.7 D.84.设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，以为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线的斜率为()A. B. C. D.5.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为()A. B. C. D.6.已知F为抛物线的焦点，，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.107.（多选）已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，，.设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有()A.若平行渐近线，则 B.若，则C.若，则 D.8.（多选）已知椭圆与直线交于两点，记直线l与x轴的交点)E，点关于原点对称，若，则()A. B.椭圆C过4个定点C.存在实数a，使得 D.9.已知M为抛物线上一点，为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若，，则___________，的面积为_____________.10.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.11.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且.若，则双曲线的离心率是___________.12.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.（1）求椭圆C的标准方程（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

答案以及解析1.答案：B解析：由题意可知，，即，因为，所以，即，.当P为椭圆C的短轴的端点时，的面积取最大值，面积为.2.答案：C解析：点到渐近线的距离，而，所以在中，由勾股定理可得，所以.在中，，在中，，所以，则有，解得（负值舍去），即.故选C.3.答案：D解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.由根与系数的关系可得，，，，，，故选D.4.答案：B解析：解法一由题意可知，，又由得，所以.因为点P是以为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点，故且，所以.又，所以，所以，，所以直线的斜率.故选B.解法二因为，故可设，，则，.因为点P在第一象限，所以，又，故，，所以直线的斜率.故选B.5.答案：C解析：将直线，变形为，可得解得定点为.由及渐近线方程，可得双曲线的方程为，，.易知当点M在双曲线的右支上时，可以取到最小值，即取得最小值，当M，P，三点共线时，，的最小值为，故选C.6.答案：A解析：如图所示，设直线AB的倾斜角为，过A，B分别作准线的垂线，垂足为，，则，，过点F向引垂线FG，得，则，同理，，则，即，因为与垂直，所以直线DE的倾斜角为或，则，则，则易知的最小值为16.故选A.7.答案：ACD解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意为直角三角形，点P坐标为，直线斜率.不妨设点P在第一象限，如图.选项A，若平行渐近线，则，得，故A正确.选项B，若，则.连接(图略)，由，解得，得，故B错误.选项C，若，则.连接(图略)，由，解得，得，故C正确.选项D，，，点M的坐标为，代入双曲线方程得，，则，故D正确.故选ACD.8.答案：ABC解析：本题考查直线与椭圆的位置关系.设.由得，则，因为，所以，又，所以，所以名，，故A正确;所以，即椭圆过定点，，故B正确;，由得，则，所以，则有，因为，所以的取值范围为，故C正确，D错误.故选ABC.9.答案：4；解析：由抛物线的焦点为，得，解得.设抛物线的准线为l，则l与x轴的交点即为，作于点P，于点Q.，，.由抛物线的定义可知，，，即，，，，.10.答案：13解析：如图，连接，，，因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为.11.答案：解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以.因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为.12.答案：(1)标准方程为.(2)过定点.解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，，四边形OMPN的周长为，，，，椭圆C的标准方程为.(2)设，当直