Chapter9差错控制编码课件

9.1概述9.2检错与纠错原理9.3简单分组码9.4线性分组码9.5循环码Chapter9差错控制编码9.1概述Chapter9差错控制编码9.1概述9.1.1信源编码与信道编码信源编码：信道编码：加入冗余度去掉冗余度提高通信可靠性及模数转换提高通信有效性9.1概述9.1.1信源编码与信道编码信源编码：信道编提高数字系统的抗干扰性能的途径：加大发射功率降低接收设备本身的噪声选择调制、解调方法信道编码9.1.2差错控制方式9.1概述提高数字系统的抗干扰性能的途径：加大发射功率降低接收设备本身图9-1差错控制方式

9.1概述图9-1差错控制方式9.1概述1.前向纠错方式特点：单向传输，实时性好，译码设备较复杂2.检错重发方式特点：需要反馈信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效，实时性差，主要应用于计算机数据通信中9.1概述1.前向纠错方式特点：单向传输，实时性好，译码设备较复杂23.混合纠错方式特点：结合自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率4.几个重要概念随机信道：差错出现是随机的，且错误之间是统计独立的。例如，恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道突发信道：错误成串成群出现，在短时间内出现大量错误。例如，脉冲干扰的信道是典型的突发信道9.1概述3.混合纠错方式特点：结合自动纠错和检错重发的优点，可达到混合信道：随机错误和成串错误都占有相当比例。例如，短波信道和对流层散射信道。说明：不同类型的信道，应采用不同的差错控制方式9.1概述混合信道：随机错误和成串错误都占有相当比例。例如，短波信道和9.2检错与纠错原理9.2.1纠错码的分类1.根据纠错码各码组信息元和监督元的关系线性码非线性码2.信息元和监督元的关系涉及的范围：分组码卷积码9.2检错与纠错原理9.2.1纠错码的分类1.根据纠错3.根据码的用途检错码纠错码9.2.2检纠错的基本原理1.分组码(n,k)分组码：k每组二进制信息码元的数目n码组长度，或码长n-k=r监督码元数目9.2检错与纠错原理3.根据码的用途检错码纠错码9.2.2检纠错的基本原理1重要概念：许用码组、禁用码组、码重（码字的汉明重量）、码距、最小码距问题：许用码组个数？禁用码组个数？2.检错和纠错能力

最小码距是码的一个重要参数，是衡量码检、纠错能力的依据。关系如下：9.2检错与纠错原理重要概念：许用码组、禁用码组、码重（码字的汉明重量）、码距、(3)纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小距离d0≥t+e+1。(1)检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1;(2)纠正t个随机错误，则要求码的最小距离d0≥2t+1;举例：重复码(2,1)，许用码组是00与11，d0=2，收端译码，出现01、10禁用码组时，可以发现传输中的一位错误。9.2检错与纠错原理(3)纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小重复码(3,1)，许用码组000与111,d0=3;当收端出现两个或三个1时，判为1，否则判为0。可纠单个错误，或者检两个错误。3.编码效率差错控制编码提高通信系统的可靠性，以降低有效性为代价编码效率：R=k/nk是信息元的个数，n为码长9.2检错与纠错原理重复码(3,1)，许用码组000与111,d0=3;4.对纠错码的要求检错和纠错能力尽量强编码效率尽量高编码规律尽量简单9.2检错与纠错原理4.对纠错码的要求检错和纠错能力尽量强编码效率尽量高编码规9.3常用的几种简单分组码9.3.1奇偶监督码编码规则：在原信息码后面附加一个监督元，使得码组中“1”的个数是奇数或偶数设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有：偶监督码奇监督码9.3常用的几种简单分组码9.3.1奇偶监督码编码规则奇监督码：两者的检错能力相同。特点：奇监督码的码重为奇数，偶监督码的码重为偶数。(n,n-1)系统分组码编码效率R为：不能检测突发错误，不能发现偶数个错误9.3常用的几种简单分组码奇监督码：两者的检错能力相同。特点：奇监督码的码重为奇数，偶9.3.2水平奇偶监督码编码规则：将奇偶监督的码元排成方阵，每行为一组奇偶监督码。发送按列的顺序传输，接收将码元序列还原成发送时的方阵，并按行进行奇偶校验。举例：信息码元监督码元11100110001101001101100001110100010000101100111011101019.3常用的几种简单分组码9.3.2水平奇偶监督码编码规则：将奇偶监督的码元排成方能够发现某行上所有奇数个错误以及突发长度不大于方阵行数的突发错误编码效率：9.3常用的几种简单分组码能够发现某行上所有奇数个错误以及突发长度不大于方阵行数的突发水平奇偶监督码接收端出现突发误码示例:1101×××结论：能够发现突发长度不大于方阵行数的突发错误水平奇偶监督码接收端出现突发误码示例:1×××结论：能够发现9.3.3行列监督码编码规则：不仅对水平(行)方向的码元，而且对垂直(列)方向的码元实施奇偶监督。举例：图9-2(66,50)行列监督码

9.3常用的几种简单分组码9.3.3行列监督码编码规则：不仅对水平(行)方向的码元

又称为方阵码、行列监督码、二维奇偶监督码。将水平奇偶监督码推广到二维。即在水平监督基础上再对方阵中每一列进行奇偶校验，发送时按列的顺序传输接收端将码元排成发送时的方阵形式，再分别按行、按列进行奇偶校验9.3常用的几种简单分组码又称为方阵码、行列监督码、二维奇偶监督码。9.3常用的几水平垂直奇偶监督码接收端纠错示例011例如：当码组中仅在一行有奇数个错误时，能够确定错误位置，并纠正它。√√√√√√√√√√√√√××××水平垂直奇偶监督码接收端纠错示例011例如：当码组中仅在一行水平垂直奇偶监督码接收端检错示例011构成矩形的偶数个误码检测不出。√√√√√√√√√√√√√00√√√√水平垂直奇偶监督码接收端检错示例011构成矩形的偶数个误码检水平垂直奇偶监督码接收端检错示例01有可能检测出偶数个误码。√√√√√√√√√√√00√√1√√××水平垂直奇偶监督码接收端检错示例01有可能检测出偶数个误码。特点：L×M个信息元附加L+M+1个监督元，组成(LM+L+M+1,LM)行列监督码的一个码字(L+1行，M+1列)具有较强的检测能力，适于检测突发错误，还可用于纠错9.3.4群计数码编码规则：把信息码元中“1”的个数用二进制数字表示，作为监督码元放在信息码元的后面。特点：具有较强的检测能力。9.3常用的几种简单分组码特点：L×M个信息元附加L+M+1个监督元，组成(LM+L+9.3.5恒比码码字中1的数目与0的数目保持恒定比例。表9-13∶2恒比码

举例：9.3常用的几种简单分组码9.3.5恒比码码字中1的数目与0的数目保持恒定9.4线性分组码9.4.1基本概念线性分组码：在(n,k)分组码中，若每一个监督元都是码组中某些信息元按模二和而得到，即监督元是按线性关系相加而得到。举例：(7,3)线性分组码设其码字为A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］前3位是信息元，后4位是监督元9.4线性分组码9.4.1基本概念线性分组表9-4(7,3)码的码字表

序号码元信息元监督元00000000100111012010011130111010410011105101001161101001711101009.4线性分组码表9-4(7,3)码的码字表序号码元信息元监督元09.4.2汉明码汉明码：用于纠正单个错误的线性分组码。举例：(7,4)汉明码设其码字为A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］前4位是信息元，后3位是监督元s3

s2

s1三个校正子9.4线性分组码9.4.2汉明码汉明码：用于纠正单个错误的线性分组码。S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001010100011a0a1a2a3101110111000a4a5a6无错表9-5校正子与错码位置的对应关系3个监督方程：9.4线性分组码S1S2S3错码S1S2S3错码001a0101a4表9-当三个校正子均为0，则有：推导出监督元满足：9.4线性分组码当三个校正子均为0，则有：推导出监督元满足：9.4线性(7,4)汉明码的许用码组如下：表9-6(7,4)汉明码的16个许用码组

问题：汉明码的编码效率为多少？(7,4)汉明码的许用码组如下：表9-6(7,4)汉9.4.3监督矩阵H以上述(7,4)码为例：3个监督方程式可以改写为：线性方程用矩阵形式表示：9.4线性分组码9.4.3监督矩阵H以上述(7,4)码为例：3个监督其中，AT是A的转置，0T是0=［000］的转置，HT是H的转置。

简记为：监督矩阵H为r×n阶矩阵，H矩阵每行之间是彼此线性无关的。H矩阵的特点：H矩阵可分成两部分：9.4线性分组码其中，AT是A的转置，0T是0=［000］的转置，HT是其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵典型监督矩阵：可以写成H=［PIr］形式的矩阵。HAT=0T

，H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接收码字A是否出错的依据9.4.4生成矩阵G

9.4线性分组码其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵典型监督矩阵：若把监督方程补充为下列方程：仍以上述(7,4)码为例：改写为矩阵形式：9.4线性分组码若把监督方程补充为下列方程：仍以上述(7,4)码为例：改写变换为：即：

9.4线性分组码变换为：即：9.4线性分组码其中：

生成矩阵G和信息组就可以产生全部码字生成矩阵的特点：G为k×n阶矩阵，各行也是线性无关的生成矩阵也可以分为两部分：9.4线性分组码其中：生成矩阵G和信息组就可以产生全部码字生成矩阵的特点：Q为k×r阶矩阵,Ik为k阶单位阵典型生成矩阵：可以写成式形式的G矩阵9.4.5伴随式(校正子)S和检错9.4线性分组码Q为k×r阶矩阵,Ik为k阶单位阵典型生成矩阵：可以写成式设发送码组：A=［an-1,an-2,…,a1,a0］接收码组：B=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］传输过程中可能发生误码误差矢量：收发码组之差定义为错误图样E。其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且当bi=ai

当bi≠ai

9.4线性分组码设发送码组：A=［an-1,an-2,…,a1,a0］接收令S=BHT，称为伴随式或校正子。总结：伴随式S与错误图样E之间有确定的线性变换关系。接收端译码器的任务就是从伴随式确定错误图样，然后从接收到的码字中减去错误图样。9.4线性分组码令S=BHT，称为伴随式或校正子。总结：伴随式S与错误图样表9-7(7,4)码S与E的对应关系

9.4线性分组码表9-7(7,4)码S与E的对应关系9.4线性分已知（6，3）汉明码(能纠正单个错误的线性分组码)的生成矩阵如下，(1)列出所有许用码组;(2)最小码距d0;(3)检错纠错能力(4)编码效率9.4线性分组码已知（6，3）汉明码(能纠正单个错误的线性分组码)的生成矩阵（1）信息码编码码字码重00000000000010011103010010011301101110141001001013101101011411011011041111110003（1）信息码编码码字码重00000000000（3）（4）（2）9.4线性分组码（3）（4）（2）9.4线性分组码设（7,4）线性码的生成矩阵G为：当信息位为0001时，（1）试求其后的监督位。（2）监督矩阵H9.4线性分组码设（7,4）线性码的生成矩阵G为：当信息位为0001时，9.解：（1）9.4线性分组码解：9.4线性分组码（2）监督矩阵H根据生成矩阵和监督矩阵的关系：

G=[Ik·Q]，H=[P·Ir]其中P=QT，可得监督矩阵H为：9.4线性分组码（2）监督矩阵H9.4线性分组码9.4.6线性分组码的性质

有封闭性有零码有负元满足结合律满足交换律最小码距等于线性分组码中非全零码组的最小重量9.4线性分组码9.4.6线性分组码的性质有封闭性有零码有负元满足结合律9.5循环码9.5.1循环特性循环码：任一码字循环移位所得的码字仍为该码组中的一个码字，这种具有循环性的线性分组码称为循环码。循环码的码字常用码多项式（以降幂顺序排列）表示。9.5循环码9.5.1循环特性循环码：任一码字循表9-8(7,3)循环码的全部码组

9.5循环码表9-8(7,3)循环码的全部码组9.5循环9.5.2生成多项式及生成矩阵码的生成多项式：如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式举例：上述(7,3)循环码其它码多项式都是g(x)的倍式，即9.5循环码9.5.2生成多项式及生成矩阵码的生成多项式：如果一种结论：1）循环码中次数最低的码多项式(全0码字除外)就是生成多项式g(x)；2）g(x)是常数项为1的r=n-k

次多项式，

是xn+1的一个因式9.5循环码结论：1）循环码中次数最低的码多项式(全0码字除外)就是循环码的生成矩阵用多项式形式表示：其中：

9.5循环码循环码的生成矩阵用多项式形式表示：其中：9.5循环举例：(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4,其生成多项式及生成矩阵分别为：9.5循环码举例：(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4,其生成9.5.3监督多项式及监督矩阵监督多项式：其中：g(x)是常数项为1的r次多项式，是生成多项式；h(x)是常数项为1的k次多项式，称为监督多项式。监督矩阵H：9.5循环码9.5.3监督多项式及监督矩阵监督多项式：其中：g(x)是其中：是h(x)的逆多项式。9.5循环码其中：是h(x)的逆多项式。9.5循环码举例：(7，3)循环码则：

9.5循环码举例：(7，3)循环码则：9.5循环码即：

9.5.4编码方法和电路

9.5循环码即：9.5.4编码方法和电路9.5循环码

思路：在编码时，首先要根据给定的(n,k)值选定生成多项式g(x)，即应在xn+1的因式中选一r=n-k次,常数项为1的多项式作为g(x)。设编码前的信息多项式m(x)为:

9.5循环码循环码的码多项式可表示为:用xr乘m(x)，相当于把信息码后附加上r个“0”思路：在编码时，首先要根据给定的(n,k)值

用g(x)除xrm(x)，得到商式Q(x)和余式为R(x)9.5循环码编出码组为：A(x)=xrm(x)+R(x)用g(x)除xrm(x)，得到商式Q(x)和余式为R(x即余式r(x)=x2+1于是，对应码组A(x)=xn-km(x)+r(x）=x6+x5+

x2+1编码为1100101[例题]设（7，3）循环码的生成多项式为g(x)=x4+x2+x+1，待编码信息位为110，求对应循环码码组。解：m(x)=x2+x，xn-km(x)=x4(x2+x)=x6+x59.5循环码即余式r(x)=x2+1[例题]设（7，3）循环码的生成多例：已知（7，4）循环码的全部码组为：试写出该循环码的生成多项式g(x)和生成矩阵G，并将G化成典型矩阵。9.5循环码例：已知（7，4）循环码的全部码组为：试写出该循环码的生成多解：n=7，k=4，n-k=3上述码组中的(n-k)=3次码多项式为第2组，它所对应的码多项式g(x)即为生成多项式：g(x)=x3+x+1。生成矩阵为：解：n=7，k=4，n-k=3本章小结本章重点授课教师：黄双萍授课时间：2010年线性分组码循环码作业：9-12、9-13、9-20、9-24、9-25本章小结本章重点授课教师：黄双萍线性分组码9.1概述9.2检错与纠错原理9.3简单分组码9.4线性分组码9.5循环码Chapter9差错控制编码9.1概述Chapter9差错控制编码9.1概述9.1.1信源编码与信道编码信源编码：信道编码：加入冗余度去掉冗余度提高通信可靠性及模数转换提高通信有效性9.1概述9.1.1信源编码与信道编码信源编码：信道编提高数字系统的抗干扰性能的途径：加大发射功率降低接收设备本身的噪声选择调制、解调方法信道编码9.1.2差错控制方式9.1概述提高数字系统的抗干扰性能的途径：加大发射功率降低接收设备本身图9-1差错控制方式

9.1概述图9-1差错控制方式9.1概述1.前向纠错方式特点：单向传输，实时性好，译码设备较复杂2.检错重发方式特点：需要反馈信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效，实时性差，主要应用于计算机数据通信中9.1概述1.前向纠错方式特点：单向传输，实时性好，译码设备较复杂23.混合纠错方式特点：结合自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率4.几个重要概念随机信道：差错出现是随机的，且错误之间是统计独立的。例如，恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道突发信道：错误成串成群出现，在短时间内出现大量错误。例如，脉冲干扰的信道是典型的突发信道9.1概述3.混合纠错方式特点：结合自动纠错和检错重发的优点，可达到混合信道：随机错误和成串错误都占有相当比例。例如，短波信道和对流层散射信道。说明：不同类型的信道，应采用不同的差错控制方式9.1概述混合信道：随机错误和成串错误都占有相当比例。例如，短波信道和9.2检错与纠错原理9.2.1纠错码的分类1.根据纠错码各码组信息元和监督元的关系线性码非线性码2.信息元和监督元的关系涉及的范围：分组码卷积码9.2检错与纠错原理9.2.1纠错码的分类1.根据纠错3.根据码的用途检错码纠错码9.2.2检纠错的基本原理1.分组码(n,k)分组码：k每组二进制信息码元的数目n码组长度，或码长n-k=r监督码元数目9.2检错与纠错原理3.根据码的用途检错码纠错码9.2.2检纠错的基本原理1重要概念：许用码组、禁用码组、码重（码字的汉明重量）、码距、最小码距问题：许用码组个数？禁用码组个数？2.检错和纠错能力

最小码距是码的一个重要参数，是衡量码检、纠错能力的依据。关系如下：9.2检错与纠错原理重要概念：许用码组、禁用码组、码重（码字的汉明重量）、码距、(3)纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小距离d0≥t+e+1。(1)检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1;(2)纠正t个随机错误，则要求码的最小距离d0≥2t+1;举例：重复码(2,1)，许用码组是00与11，d0=2，收端译码，出现01、10禁用码组时，可以发现传输中的一位错误。9.2检错与纠错原理(3)纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小重复码(3,1)，许用码组000与111,d0=3;当收端出现两个或三个1时，判为1，否则判为0。可纠单个错误，或者检两个错误。3.编码效率差错控制编码提高通信系统的可靠性，以降低有效性为代价编码效率：R=k/nk是信息元的个数，n为码长9.2检错与纠错原理重复码(3,1)，许用码组000与111,d0=3;4.对纠错码的要求检错和纠错能力尽量强编码效率尽量高编码规律尽量简单9.2检错与纠错原理4.对纠错码的要求检错和纠错能力尽量强编码效率尽量高编码规9.3常用的几种简单分组码9.3.1奇偶监督码编码规则：在原信息码后面附加一个监督元，使得码组中“1”的个数是奇数或偶数设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有：偶监督码奇监督码9.3常用的几种简单分组码9.3.1奇偶监督码编码规则奇监督码：两者的检错能力相同。特点：奇监督码的码重为奇数，偶监督码的码重为偶数。(n,n-1)系统分组码编码效率R为：不能检测突发错误，不能发现偶数个错误9.3常用的几种简单分组码奇监督码：两者的检错能力相同。特点：奇监督码的码重为奇数，偶9.3.2水平奇偶监督码编码规则：将奇偶监督的码元排成方阵，每行为一组奇偶监督码。发送按列的顺序传输，接收将码元序列还原成发送时的方阵，并按行进行奇偶校验。举例：信息码元监督码元11100110001101001101100001110100010000101100111011101019.3常用的几种简单分组码9.3.2水平奇偶监督码编码规则：将奇偶监督的码元排成方能够发现某行上所有奇数个错误以及突发长度不大于方阵行数的突发错误编码效率：9.3常用的几种简单分组码能够发现某行上所有奇数个错误以及突发长度不大于方阵行数的突发水平奇偶监督码接收端出现突发误码示例:1101×××结论：能够发现突发长度不大于方阵行数的突发错误水平奇偶监督码接收端出现突发误码示例:1×××结论：能够发现9.3.3行列监督码编码规则：不仅对水平(行)方向的码元，而且对垂直(列)方向的码元实施奇偶监督。举例：图9-2(66,50)行列监督码

9.3常用的几种简单分组码9.3.3行列监督码编码规则：不仅对水平(行)方向的码元

又称为方阵码、行列监督码、二维奇偶监督码。将水平奇偶监督码推广到二维。即在水平监督基础上再对方阵中每一列进行奇偶校验，发送时按列的顺序传输接收端将码元排成发送时的方阵形式，再分别按行、按列进行奇偶校验9.3常用的几种简单分组码又称为方阵码、行列监督码、二维奇偶监督码。9.3常用的几水平垂直奇偶监督码接收端纠错示例011例如：当码组中仅在一行有奇数个错误时，能够确定错误位置，并纠正它。√√√√√√√√√√√√√××××水平垂直奇偶监督码接收端纠错示例011例如：当码组中仅在一行水平垂直奇偶监督码接收端检错示例011构成矩形的偶数个误码检测不出。√√√√√√√√√√√√√00√√√√水平垂直奇偶监督码接收端检错示例011构成矩形的偶数个误码检水平垂直奇偶监督码接收端检错示例01有可能检测出偶数个误码。√√√√√√√√√√√00√√1√√××水平垂直奇偶监督码接收端检错示例01有可能检测出偶数个误码。特点：L×M个信息元附加L+M+1个监督元，组成(LM+L+M+1,LM)行列监督码的一个码字(L+1行，M+1列)具有较强的检测能力，适于检测突发错误，还可用于纠错9.3.4群计数码编码规则：把信息码元中“1”的个数用二进制数字表示，作为监督码元放在信息码元的后面。特点：具有较强的检测能力。9.3常用的几种简单分组码特点：L×M个信息元附加L+M+1个监督元，组成(LM+L+9.3.5恒比码码字中1的数目与0的数目保持恒定比例。表9-13∶2恒比码

举例：9.3常用的几种简单分组码9.3.5恒比码码字中1的数目与0的数目保持恒定9.4线性分组码9.4.1基本概念线性分组码：在(n,k)分组码中，若每一个监督元都是码组中某些信息元按模二和而得到，即监督元是按线性关系相加而得到。举例：(7,3)线性分组码设其码字为A=［a6

a5

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a0］前3位是信息元，后4位是监督元9.4线性分组码9.4.1基本概念线性分组表9-4(7,3)码的码字表

序号码元信息元监督元00000000100111012010011130111010410011105101001161101001711101009.4线性分组码表9-4(7,3)码的码字表序号码元信息元监督元09.4.2汉明码汉明码：用于纠正单个错误的线性分组码。举例：(7,4)汉明码设其码字为A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］前4位是信息元，后3位是监督元s3

s2

s1三个校正子9.4线性分组码9.4.2汉明码汉明码：用于纠正单个错误的线性分组码。S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001010100011a0a1a2a3101110111000a4a5a6无错表9-5校正子与错码位置的对应关系3个监督方程：9.4线性分组码S1S2S3错码S1S2S3错码001a0101a4表9-当三个校正子均为0，则有：推导出监督元满足：9.4线性分组码当三个校正子均为0，则有：推导出监督元满足：9.4线性(7,4)汉明码的许用码组如下：表9-6(7,4)汉明码的16个许用码组

问题：汉明码的编码效率为多少？(7,4)汉明码的许用码组如下：表9-6(7,4)汉9.4.3监督矩阵H以上述(7,4)码为例：3个监督方程式可以改写为：线性方程用矩阵形式表示：9.4线性分组码9.4.3监督矩阵H以上述(7,4)码为例：3个监督其中，AT是A的转置，0T是0=［000］的转置，HT是H的转置。

简记为：监督矩阵H为r×n阶矩阵，H矩阵每行之间是彼此线性无关的。H矩阵的特点：H矩阵可分成两部分：9.4线性分组码其中，AT是A的转置，0T是0=［000］的转置，HT是其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵典型监督矩阵：可以写成H=［PIr］形式的矩阵。HAT=0T

，H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接收码字A是否出错的依据9.4.4生成矩阵G

9.4线性分组码其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵典型监督矩阵：若把监督方程补充为下列方程：仍以上述(7,4)码为例：改写为矩阵形式：9.4线性分组码若把监督方程补充为下列方程：仍以上述(7,4)码为例：改写变换为：即：

9.4线性分组码变换为：即：9.4线性分组码其中：

生成矩阵G和信息组就可以产生全部码字生成矩阵的特点：G为k×n阶矩阵，各行也是线性无关的生成矩阵也可以分为两部分：9.4线性分组码其中：生成矩阵G和信息组就可以产生全部码字生成矩阵的特点：Q为k×r阶矩阵,Ik为k阶单位阵典型生成矩阵：可以写成式形式的G矩阵9.4.5伴随式(校正子)S和检错9.4线性分组码Q为k×r阶矩阵,Ik为k阶单位阵典型生成矩阵：可以写成式设发送码组：A=［an-1,an-2,…,a1,a0］接收码组：B=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］传输过程中可能发生误码误差矢量：收发码组之差定义为错误图样E。其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且当bi=ai

当bi≠ai

9.4线性分组码设发送码组：A=［an-1,an-2,…,a1,a0］接收令S=BHT，称为伴随式或校正子。总结：伴随式S与错误图样E之间有确定的线性变换关系。接收端译码器的任务就是从伴随式确定错误图样，然后从接收到的码字中减去错误图样。9.4线性分组码令S=BHT，称为伴随式或校正子。总结：伴随式S与错误图样表9-7(7,4)码S与E的对应关系

9.4线性分组码表9-7(7,4)码S与E的对应关系9.4线性分已知（6，3）汉明码(能纠正单个错误的线性分组码)的生成矩阵如下，(1)列出所有许用码组;(2)最小码距d0;(3)检错纠错能力(4)编码效率9.4线性分组码已知（6，3）汉明码(能纠正单个错误的线性分组码)的生成矩阵（1）信息码编码码字码重00000000000010011103010010011301101110141001001013101101011411011011041111110003（1）信息码编码码字码重00000000000（3）（4）（2）9.4线性分组码（3）（4）（2）9.4线性分组码设（7,4）线性码的生成矩阵G为：当信息位为0001时，（1）试求其后的监督位。（2）监督矩阵H9.4线性分组码设（7,4）线性码的生成矩阵G为：当信息位为0001时，9.解：（1）9.4线性分组码解：9.4线性分组码（2）监督矩阵H根据生成矩阵和监督矩阵的关系：

G=[Ik·Q]，H=[P·Ir]其中P=QT，可得监督矩阵H为：9.4线性分组码（2）监督矩阵H9.4线性分组码9.4.6线性分组码的性质

有封闭性有零码有负元满足结合律满足交换律最小码距等于线性分组码中非全零码组的最小重量9.4线性分组码9.4.6线性分组码的性质有封闭性有零码有负元满足结合律9.5循环码9.5.1循环特性循环码：任一码字循环移位所得的码字仍为该码组中的一个码字，这种具有循环性的线性分组码称为循环码。循环码的码字常用码多项式（以降幂顺序排列）表示。9.5循环码9.5.1循环特性循环码：任一码字循表9-8(7,3)循环码的全部码组

9.5循环码表9-8(7,3)循环码的全部码组9.5循环9.5.2生成多项式及生成矩阵码的生成多项式：如果一种码的所有码多项式都是