厦门理工学院高数练习题答案第一章 函数与极限

高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名

学号 一．选择题x1函数y lnx

第一节映射与极限1616x2（（，） （）(0,1)(1,4) ）(0,4) ）(),4]ylg x

arcsinx

的定义域为 [ C ]x2 3（A）(,3](3,2) （B）(0,3) （C）[3,0)（D）(3,)函数yln(x x21)是 [ A ]（A）奇函数 （B）非奇非偶函数 （C）偶函数 既是奇函数又是偶函数下列函数中为偶函数且在(,0)上是减函数的是 [ D ]1（A）yx二．填空题

2x2 （B）yx2) y( )|x|2

（D）.ylog2

|x|1. f(3x)log(9x2

6x5),则f 22. 已知f(xx2x则f(x) x2x13. f(x)

1,g(x)1x,则f[gx]x

11x4. 求函数y1lg(x2)的反函数 y210x15. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成xxytan2ln ： yu2,utanv,vlns,sxxlg2arcsinxlg2arcsinx3三.计算题

： y u,uv2,vlgs,sarcsint,tx3 _1f(x的定义域为,f(x2),f(sinx的定义域解：f(x2)的定义域[] f(sinx)的定义域为[2k,(2k

(kZ)2.设(x)1x2 |x1

,求(13,y(x的图形.2 2x1

1|x|23 解：0 (1)3

( )1

（图略）2 2 2 240（图1-2ABCD的面积为定值时s0，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系，并指明其定义域。ADADhBbC解：ABCDsinS (2BC

2h h)0 tan 2 1-22S hBC 0

SL 0

h 2hh tan h tan sin9060元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.px的函数将厂方所获的利润Lx的函数1000台，厂方可获利润多少？ 90 0x100解：（1）P

910.01x 100x1600 75 x1600 30x 0x100（2）L

31x0.01x2 100x1600 15x x1600（3）21000（元）高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名 学号 第二节数列的极限一、填空题写出下列数列的前五项：xn

n1： n1

1 1 3 20, , , , 03 2 5 3

xn

(1)n1n

：_ 1,1,11 2 3 4 51 3919 33 51

1 11 1 1 1xn

2 n2

, , , ,4 9 19 25

_

xn 3n

：_ , , , , _39 27 81243写出下列数列的通项：13 5 7 9

2n1(5)

, , , , , x35 7 9 11

(1)n

2n11 1 1 1n(6) 2468, yn

1(1)n2n(7) 0.99, 0.999, 0.9999, zn

1(110

)n1二、选择题：1．下列数列{xn

}中收敛的是 [ B ]（A）x

(1)n

n1

（B）(1)n11

nn

sin （D）x

3nn n n三、证明题

n 2 n根据数列极限的定义证明(1)lim132n12n132n2n12n132解：由于

1 10要使

4n2 4n2n12n12n12n132

，即n

1，取N[1]4n 当nN时，有

所以lim132n12n132n2n12n132若limxn

a，证明lim|xnn

||a|{|xn

|}有极限，但数列{x}n未必有极限.解：因为limx an n所以0，总存在N0，使当nN时，有xn

a又因为xn

a x an所以xn

a 即lim|xnn

||a|例如 xn

(1)n

nn设数列xn

}有界，又limyn

0，证明limxy 0n n n解：由于{x}有界，存在正数使对一切自然数n有x Mn n又limy 0n n0，总存在N0，使当nN时，有y n M所以x yn n

x yn n

M M即limxy 0n n n高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名

学号 第三节函数的极限一．填空题定义 任给 总存在极限

当 恒有limx an n

00

N0

nN时nN

|x anlimn211

N[ 21]

n211nn21

n21limf(x)A 0 0 0|xxxx0 0

|f(x)Alimx212x1x1

0x10 0x1

x212x1lim

x212x1

或1x1

x212x1lim

x212

0

x101x1

x212x1

x1

或 x1lim1x31

0

X0

xX

1x31x 2x3 2

0

xX

2x3 2lim

1x31

X 1

1x31x 2x3 2

32

2x3 2lim

1x31

X 1

xX

1x31x 2x3 2

32

2x3 2二.证明题用极限的定义证明（1）lim(5x2)12x2解：对0，要使5x212x，只要x2当0x2时，有5x212所以lim(5x2)12x2

，取，5 5x2.f(x)1

|x|1|x|1f(x的图形根据图形写出x1

f(x)，

f(x)，limx1

f(x)，limx1

f(x)limf(x与limf(x存在吗？x1 x1（1）作图如右（2）

f(x)1，

f(x)1limf(x)1，limf(x)1x1 x1（3）limf(x)1， limf(x不存在x13.f(x)

x,(x)

|x|当x0时的左、右极限，并说明它们在x0时的极限是否存x x在？

f(x)lim

x1，

f(x)lim

x1，所以limf(x)1x0lim(x)x0xlim|x|x0 x0xlim11，lim(x)lim|xx0|lim(1)1x0x0 xx0x0x0 xx0所以lim(x)lim|x|x0 x0 x

不存在高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名

学号 第四、五节无穷小与无穷大,极限运算法则一、填空题若limf(x),limg(x),则必有 [ D ]xa xa（A）f(x)g(x)] （B）f(x)g(x)]0xa xa（C）lim

1 0 （D）limkf(x)(k0)xa

f(x)g(x)

xa当x0,下列变量中是无穷小量的为 [ D ]1ex

1x

ln(2x) （D）1cosx下列命题正确的是 [ D ]（A）无穷小量是个绝对值很小很小的数 （B）无穷大量是个绝对值很大很大的数（C）无穷小量的倒数是无穷大量 无穷大量的倒数是无穷小量x(x1)3(x1)变量f(xx(x1)3(x1)x1（A）x0 （B）x1 x1 （D）x2下列命题肯定正确的是 [ A ]若limf(x存在,limg(x,则limf(xg(x)].xx xx xx0 0 0limf(xlimg(x,则limf(xg(x)].xx0（C）若limxx xx0 0f(x)存在, limg(x)不存则lim[f(x)g(x)]必不存.xx0xx xx0 0（D）若limf(x,则lim|f(x|.xx0xx0若limx22xk4 ,求k的值为 [ C ]x3 x3（A）0 （B）1 （C）3 二、填空题

x21= －5

x23= 0 x2x3 x3x23

x23=_ (4) lim4x32x2x= 1 x2x2 x0

3x

2x 2(5) lim(6

11

)=_6

（6）

x21= 0x x x2

x2x4x1(7) lim2arctanx=_ 0 （8）

11

......

1)=_ 2x x n 2 4 2nlim(1

2......

n 1 )=_

lim x21

(2cosx)=_0 _nn2 n2

n2 2

xx3x2三、计算题（1）lim(xh)2x2h0 hx22hxh2x2lim

（2）lim(2x1)30(3x2)20x (2xlim2x1303x220= h

2x1

2x1h02x

x 320= = 211x323xx8

lim( 1x11x

3 1x3((x8)(423x3x2(8x)(1x3)

=

1xx23x8

x1 1x3(x1)(x1)= 2

= limx1(1x)(1xx2)= 1高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名 第六节极限存在准则两个重要极限

学号 一、选择题下列极限中，正确的是 [ B ]sin1（A）limsinx

1 （B）limxsin1

1 （C）limsinx

1

x1x x x x下列极限中，正确的是1

x0 2x 1

1x[ D ]x

x)xe

x)xex

13x)xex0

lim(1x)12exx0x二、填空题limsin3x 3 _x0 2x 2x

limtan5xx0 x2

_ 5 lim2nn

= x _2n2

4.x)x x0

e2 _21cos2x x2x0

xsinx = 2

6. )xxx

=_ e1 _三、计算题limsinxtanxx0 sin3x解：原式limtanx(cosx1)x0 sin3x

limxsinxx0xsinxxtanx2sin2lim 2x0 sin3xtanx

2

xsin22

1sinx x x2sin3xx312

解：原式lim xx01sinxx=0x1xlim( )xx

1

1x

2)lnn]}n解：原式lim

x 解：原式limn1)1n1x1 xe1

n

2n e2 limln1 e x nlne22四、利用极限存在准则证明limn(n

1 ...... 1 )1n2 n2n证：设x

n2 ，y n2n n2

n

n而 y n

1 ...... 1 xn2 n2n limxn

1，limy 1n n由极限的收敛准则1（夹逼准则）1 1所以limn(n

...... )1n2 n2n高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名 第七节无穷小的比较

学号 一、填空题当x0时，下列变量与x为等价无穷小量的是 [ C ]1x1x（A）sin2x （B）1cosx （C） （D）1x1x当x0时，xsinx与x 相比，是 [ A ]（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶无穷小 （D）等价无穷小x0时，若sinax与tanx等价,则a21

[ C ]1（A）1 （B）0 （C）2 （D）34．当x时，若sin( )1x2

,则axa

[ A ]1（A）1 （B）2 （C）3二、填空题

21.lim2x)= 2 x0 sin3x 3

limarcsin3x 3 1sinx1sinx1lim1cosx 1 x0 tanx2 2

limx0 x2

_ _三、利用等价无穷小的性质,求下列极限(31x2(31x21sinxx0(31x21sinx(31x21sinxx0x2x( )lim 2

3x013

x2

1sinx2limtanxsinxx0 xsin2x解：原式= limtancosx)x0 xsin2xlim

xx22 1x0 x3 2x x lim 2cos )x1解：原式limx2

(x)2 1x 2 2limsin2x)x0 x(ex1)解limsin2x1x0xx高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名 第八节函数的连续性与间断点

学号 一、选择题如果limf(x存在,f(x)xxx0

处 [ C ]（A）一定有定义 （B）一定无定义（C）可以有定也可以无定义 （D）一定连续函数f(x)在点x处有定,是f(x)在x处连续的 [A ]0 0（A）必要不充分条件 （B）非必要又非充分条件（C）充要条件 (D)充分又非必要条件函数f(x)在x点处左、右极限存在且相等，则它是f(x)在x处连续的 [B ]0 0(A)充分非必要条件 （Ｂ）必要非充分条(C)充要条件 （Ｄ）既不是充分也不是必要条件x21y

x24x

间断点的个数为 [ B ]（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

x0５．设f(x)k x0 在x0处连续，则k [ A ]xsin1 x

x0（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）－１ 二、填空题x33x2x31．f(x) 的连续区间是 (,3)(3,2)(2,)x2x61f(x)

xexx0f(0)1x函数f(x) x 的间断点为xk，xk

，(k0,1,2, )tanx 2可去间断点为 x0, xk ，2第一类间断点为x0, xk2

,第二类间断点为 xkabx2, x0设f(x)sinbx, x0 x

在x0处连续，则a与b应满足的关系是 ab三、计算题

x2 0x1１．研究下列函数f(x) 的连续性，并画出函数的图.2x 1x2解当0x1fx)x2是连续的；当1x2fx)2x是连续的。x1x1

f(x)limx21x1limf(x)lim(2x)1x1 x1所以f(x)在x1处是连续的故 f(x)在[0，2]是连续的。２．求下列函数间断点并判断其间断点类型，若是可去间断点，请补充定义使之连续x21（１）y

x23x2x1,x2没有定义，所以是函数的间断点。

x21

lim

x1

2x1是函数的第一类间断点且为可去间x1x2

3x2 x1x2断点；只要补充当x1时，y2就可使它连续。又limx2x2

x21 x2是函数的第二间断点。3x20 x1（２）f(x)2x1 1x2x2 2xlimfx)0，limfx)lim(2x3，limfx)不存在x1

x1

x1

x1limf(x)lim(2x5，limf(x)limx2)5，limf(x)5x2

x2

x2

x2

x2高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名

学号 第九、十节连续函数的运算与初等函数的连续性5一、填空题5x2x22x5x0

=

limln(2cos2x)= 0 x61

1 x1x11(3)limex=0(4)limxx0limlnsinx

= 0

limsinxsina=

cosa x0 x二、计算题

xa

xa2lim(3x)x121.x

6x

x1x

32

31x1 1x x

3x2

x

3x2 e2 3解：原式= lim

x6x

xx

= = e2x1

6x

x

6 6x

61 1 2 e 2 x2.3tanx0

x)cot2x解：原式=limecot2xln(13tan2x)x0limcot2

x3tan2

x)limcot2

x3tan2

x3x0 x03tan2x)cot2xe3x0三、证明题f(x)e

2,求证区间(,)内至少有一点x 使ex02x.0 0解：设F(x)ex2x在[0,2]上连续，又F(01210F(2)e2220由零点定理，在（0，2）xFxex02x00 0 0即ex0

2x01证明方程4x2x在(0, )内至少有一个实.121解：设f(x)4x2x在[0, ]上连续，1221又f(0)10，f( )2 0212由零点定理，在(0,1)内至少有一点使得2f0 即201故为方程4x2x在(0, )内至少有一个实.12高等数学练习题 第一章函数与极限 系 专业 班级 姓名 综合练习

学号 一、选择题2x x 0 x2 x01．设g(x) ,f(x) ,则g[f(x)] [ D ]x2 x0 x x 02x2

x

2x2

x

2x2

x0

2x2

x0（A）2x

x 0（B）2x

x 0（C）2x

x 0 2x x 0已知lim

x1x

limesin4x,则k [ B ]xxx

xx