623 向量的数乘运算

6.2.3向量的数乘运算课标要求素养要求通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产生发展过程中的作用，进一步提升数学运算素养及数学抽象素养.课前预习知识探究教材知识探究*情境引入一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为打，那么它在同一方向上运动4秒钟的位移对应的向量怎样表示？是4a吗？蚂蚁向西运动4秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是一4a吗？你能用图形表示吗？问题类比实数的运算“i+i+i+i=4i”你能猜想实例中a+a+a+a的结果吗？提示a+a+a+a=4a，结果为向量.>新知椅理向量的数乘运算实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算⑴定义：规定实数A与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作:也，它的长度和方向规定如下：Ual=l4llal；当A>0时，痴的方向与a的方向相同;当A<0时，痴的方向与a的方向相反.由①可知，当A=0时，扃=0；由①②知，（一1）a=—a.（2）运算律：设4,/为任意实数，则有：①吐（妃）=（加）a；

（久+如=m+她;加+b）=加+雅；特别地，有（一久）a—（加）=久（一a）；X（a—b'）=^g—Xb.（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数久，u1,u2，恒有^（u1a±u2b）=iu^±Au2b.共线向量定理三点共线问题通常转化为向量共线问题向量a（a尹0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数久，使b=a.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个韭零回量表示.教材拓展补遗［微判断］若向量b与a共线，则存在唯一的实数久使b=如（X）2.若b=a，则a与b共线（其中久为实数）.（"）3.若如=0，则a=0（其中久为实数）.（X）提示1.当b=0,a=0时，实数久不唯一.当a=0,b尹0时，不存在实数久.2.由共线向量定理可知其正确.若如=0,则a=0或久=0.［微训练］1.已知非零向量1.已知非零向量a，b满足a=4b则（A.lal=lblC.a与A.lal=lblC.a与b的方向相同Da与b的方向相反解析Va=4b,4>0,lal=4lbl.V4b与b的方向相同，.*.a与b的方向相同.答案C2.在2.在ABCD中，AB=2a，AD=3b，则AC等于（）B.a—bA.a＋bC.2a＋3bD.2a—3b解析AC=AB+ADB.a—bC.2a＋3b答案C一一.，—►一—3.已知AB=a+4b，BC=2b—aCD=2(a+b)，则()A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线解析・「BC+CD一一.，—►一—3.已知AB=a+4b，BC=2b—aCD=2(a+b)，则()又•.•两向量有公共点B,:.A,B,D三点共线.答案B[微思考]实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？提示不能进行加减，像a+4,a—4都是没有意义的.若向量a是非零向量，则向量各与向量a有什么关系？iai提示因为向量a是非零向量，所以lal>0,根据数乘向量的几何意义可知：旨是与向量a同向的单位向量.向量的共线定理：向量a(a尹0)与向量b共线，当且仅当有唯一的一个实数4,使得b=4a.其中“当且仅当”是怎样理解的？提示(1)对于向量a(a尹0)与向量b，如果有一个实数4，使得b=4a，则根据向量数乘的定义可知a，b共线；(2)反之，如果向量a(a尹0)与向量b共线，则存在一个实数4，使得b=4a.题型一向量的线性运算向量的线性运算类似于多项式的运算，主要是合并同类项，实数看作是向量的系数【例1】(1)3(6a+b)-9(a+|bj=；⑵若2&—3“]—?(c+b-3/)+b=0,其中a,b,c为已知向量，则未知向量y=.解析(1)3(6a+b)—9J+3b]=18a+3b—9a—3b=9a.(2)将原等式变形为

〜2113_,2y—3«—2^—2^+^^+^—0,211^721…1—3a—2c+2。=0,尹=3”一]b+]c答案(1)9a(2)2ya—7b+7c2。11)2。11)4•7=7顷—2b+2c户并7"17c.规律方法向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段.【训练1】化简下列各式：2125(a—b)—3(2a+4b)+妥(2a+13b)；⑵(2m—n)a—mb—(m—n)(a—b)(m，n为实数).(224),(24,26\解(1)原式—5—3+13*+[—5—3+正b=0.原式=2ma—na—mb—m(a—b)+n(a—b)=2ma—na—mb—ma+mb+na—nb=ma—nb.题型二向量共线的判定及应用向量共线的判定(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线【例2】设a,b是不共线的两个非零向量.⑴若OA=2a—b,OB=3a+b,OC=a—3b，求证：A,B,C三点共线;⑵若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值.⑴证明yAB=dB—dA=(3a+b)—(2a—b)=a+2b,―►―►―►一,一一,一一―►WBC=OC—OB=(a—3b)—(3a+b)=—(2a+4b)=—2AB,・•.疝与无共线，且有公共点B,「.A,B,C三点共线.⑵解...8a+kb与ka+2b共线，存在实数4,使得8a+kb=4(ka+2b),即(8—M)a+侬一24)8=0.•.•&与b不共线，,J8—M=0,\k-24=0,解得4=±2,.*.k=24=±4.规律方法1.证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A,B,C三点是否共线，只需看是否存在实数4,使得疝=4AC(或BC=4AB等)即可.利用结论：若A,B,C三点共线，O为直线外一点存在实数尤，y,使OA=xOB+yOC且x+y=1.2.利用向量共线求参数的方法已知向量共线求4,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得4的值.题型三用已知向量表示其他向量利用已知向量表示未知向量时要善于运用三角形法则及平行四边形法则，还应重视平面几何定理的应用【例3】如图所示，四边形OADB是以向量OA=a,oB=b为邻边的平行四边形.又bm=\bc，CN=3cD，试用a，b表示OM，ON,MN.OpA解因为BM=|bC=1BA=6((9A—oB)=^(a—b),所以OM=OB+BM=b+§a--1b=6a+6b.因为cn=3cd=：od,所以oN=oC+CN=2oD+}oD=2OD=2(OA+OB)=2(a+b).V-ZJJJ

MN=ON—C^M=|(a+^)—ga—|b=|a—».【迁移1】在例3中，试用a,b表示（M.解CM=—2BM=—2X|(a—b)=—3a+3，.【迁移2】在例3中，若CD=a,AB=b,其他条件不变，试用a,b表示亦.解]MN=CN—(CM=la—13b.规律方法用已知向量表示其他向量的两种方法⑴直接法批合国毋的特征.把持求向堂盘在、【二＞‘匚甫那就平我时辿书中JL［诂备，■的三篱彬法则就平有四边/〔旗示）一形法则及向量暴嵯定浬用已加向黄

袅示未如向量，⑵方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.【训练2】在AABC中，若点D满足BCD=2DC,贝魅方等于（b.|ab—|acA1O,2CA.3AC+3AB1一—3AB-2c[1cD.|AC+|AB解析示意图如图所示，由题意可得ad=ab+bD=aB+|Bc=ab+|(ac—ab)=|ab+|ac.b.|ab—|ac1一—3AB核心素养IMIIIII全面提升IBM网|―、素养落地通过学习平面向量数乘运算及运算法则，提升数学运算素养.通过学习两个平面向量共线定理，培养数学抽象素养.核心素养实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如4+a,X~a是没有意义的.勿几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的I刀倍，向量各表示与向量a同向的单位向量.lai共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.二、素养训练下列各式计算正确的有()©(—7)6a=—42a；7(a+/)—8A=7a+15/；a—2，+a+2ft=2a；4(2a+/)=8a+4反A.1个B.2个C.3个D.4个解析①③④正确，②错，7(a+b)—8b=7a+7b—8b=7a—b.答案C设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=~e1+ke2(k^R)与向量n=e2~2e1共线，则()1A.k=0B.k=1C.k=2D.k=2解析由共线向量定理可知存在实数4,使m=Xn,即一e】+ke2=A(e2—2e1)=4e2—24e1，「fk=1f—1=—24,Jk2，又e1与e2是不共线向量，...，。解得[1[k=4,〔4=|.3.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AB^AD=XAb，则4=解析..•四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O,\AB^Aj）=AC=2AO,.•以=2.答案24.如图所示，已知Ap=|aB，用OA,OB表示OP.课后作业［巩固提高ii基础达标一、选择题1.下列说法中正确的是（）加与a的方向不是相同就是相反（4为实数）若a，b共线，则b=4a（4为实数）若lbl=2lal，则b=±2a若b=±2a，则lbl=2lal解析显然当b=±2a时，必有lbl=2lal.答案D2.3（2a-4b）等于（）A.5a+7bB.5a-7bC.6a+12bD.6a-12b解析利用向量数乘的运算律，可得3（2a_4b）=6a_12b，故选D.答案D3.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD=2DB，CD=*A+4CB，则4等于（）1C.23D-41A.3TOC\o"1-5"\h\z1.2解析・A,B,D三点共线，..3+4=1,4=3.1C.23D-4答案B4.设D,E,F分别为^ABC的三边BC,CA,AB的中点，则eB+FC等于（.e1Ee1E^A.BCB.2ADC.ADD.2BC解析如图，eb+FC=Ec+cB+fB+bC=Ec+fB1一|一1c一一=2（AC+AB）=2X2AD=AD.答案C已知P,A,B,C是平面内四点，且PA+pB+pC=AC，则下列向量一定共线的是()A.PC与PBB.PA与PBC.PA与PC。花与疝解析因为pa+pB+pC=ac,所以pa+pB+pC+ca=o,即一2pa=pB，所以PA与PB共线.答案B二、填空题如果实数p和非零向量a与b满足pa+(p+1)b=0,则向量a和b(填“共线”或“不共线”).p+1解析由题知实数p尹0,则pa+(p+1)b=0可化为a=b,由向量共线定理可知a,b共线.答案共线

7.已知在AABC中，点M满足MA^MB^MC=Q,若存在实数秫使得疝+成?=秫疝f成立，贝I]m=.解析•诡+协+辰=0,・.・点M是△ABC的重心..*.AB+AC=3AM,.顼=3.答案38.已知。，A,8是平面内任意三点，点尸在直线A8上，若亦=3房+尤施，则x=.解析因为点尸在直线A8上,所以AP=AAB,4ER,OP-dA=X(OB-Oi),(]—久—3即OP=XOB^r(l-^OA,所以七’所以x=~2.[A=x,答案一2三、解答题9.计算:2(3。+2万)—^a—b⑴6(3〃一涉)+2(3。+2万)—^a—b即+%)7(3)6(&—5+c)—4(打一2/+c)—2(—2a+c).解(1)原式—18a—12b—18“+9》=—3b.7(2)原式_7(3)原式=6a~6bJr6c~4a~\~Sb~4c~\-4a~2c=(6a—4a+4a)+(8,一6b)+(6c一4c_2c)=6a+2b.10.在ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NT,M为BC的中点，求疝V(用a,b表示).

解法一如图所示，在ABCD中，AC交BD于O点,则O平分AC和BD.・AN=3NC,/.2vC=1AC,・・・N为OC的中点，又M为BC的中点，・MN^?BO,■—1-^1—1-..MN=2BO=4BD=4（b—a）.」ii法二M法二MlN=MlB+BA+AN=^1b-a131、=—]b—a+4（a+b）=4（b—a）.能力提升11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,贝修万等于（）1,1A.,a1,1A.,a+2bC.ga+jbB.3a+3b,1D.^a+^bDFDE1解析•「△DEFsABEA,A岳=瓦=3,adf=|ab=|dc,aAf=Ad+2）F=AD+|Ab.・AC=AB^AD=a,BD=AD—AB=b,联立得：AB=2（a-b）,AD=2（a+b）,"1,i…1/,、2|1..・入尸=2（“+万）+6（"一力）=铲+3反答案D12.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且1BN=^D.DD求证：M,N,C三点共线.证明设BA=a,BC=b,则由向量减法的三角形法则可知:11_CM=BM—BC=^BA—BC=a—b.又,:N在BD上且BN=BD,1—►1—>•.—