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文档简介
二次函数的图象和性质(1)二次函数的图象和性质(1)(1)观察y=x2的表达式,选择适当的x值,并计算相应的y值,完成下表:x-3-2-10123y=x29410149(1)观察y=x2的表达式,选-3-2-10123y=x2(2)在直角坐标系中描点.(按x的值从小到大,从左到右描点)(3)用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=x2的图象.(能用直线连接吗?)(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的曲线连接各点,便得到二次函数的图象与性质课件议一议对于二次函数y=x2的图象,(1)你能描述图象的形状吗?(2)图象与x轴有交点吗?
如果有,交点坐标是什么?(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢?议一议对于二次函数y=x2的图象,(1)你能描述图象的形状吗(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知可以看出,二次函数y=x2的图像是一条曲线,它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上。这条曲线叫做抛物线y=x2
。实际上,二次函数的图像都是抛物线,它们的开口或者向上或者向下。一般的,二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c可以看出,二次函数y=x2的图像是一条曲线,它的形状类似于投二次函数y=x2的图象是抛物线.
(1)抛物线的开口向上;(2)它的图象有最低点,最低点的坐标是(0,0);(3)它是轴对称图形,对称轴是y轴。在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大。二次函数y=x2的图象是抛物线.(1)抛物线的开口向上;(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的顶点,同时也是图象的最低点,坐标为(0,0);(5)因为图像有最低点,所以函数有最小值,当x=0时,y最小=0.(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称
在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=2x2的图象。x…-4-3-2-101234…y=x2…
…02288x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2…
…02288-1-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=2x2的-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20当a>0,图象开口向上顶点是抛物线的最低点,a越大开口越小反之越大对称轴-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x做一做二次函数的图象y=-x²是什么形状?先想一想,然后作出它的图象它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴交流。做一做二次函数的图象y=-x²是什么形状?它与二次函数y=x总结:二次函数y=-x2的图象是抛物线.
(1)抛物线的开口向下;(2)它的图象有最高点,最高点的坐标是(0,0);(3)它是轴对称图形,对称轴是y轴。在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少。总结:(1)抛物线的开口向下;(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的顶点,同时也是图象的最高点,坐标为(0,0);(5)因为图像有最高点,所以函数有最大值,当x=0时,y最大=0.(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称探究
画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。x…-3-2-10123…y=-x2…
…-9-4-10-1-4-9x…-4-3-2-101234…y=-x2…
…0-2-2-8-8x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=-2x2…
…0-2-2-8-8探究画出函数y=-x2,y=-x2,y1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx0y=-x2
y=-x2
y=-2x2当a〈0时,图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大。对称轴1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-2246(1)说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标(2)抛物线y=x2,当x
时,抛物线上的点都在x轴上方;当x>0时;曲线自左向右逐渐它的顶点是图像的最点。12(3)函数y=-2x2,对于一切x的值,总有函数值y0,当x
<0时,y随x的增大而;当x时,y有最值,是(1)说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标(2)抛108642-2-4-6-8-10-12-10-5510xyy=x2y=-x2
y=x2与y=-x2关于x轴对称108642-2-4-6-8-10-12-10-5510xy观察函数y=x2、y=-x2、y=x2、
y=-2x2的图像,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点12观察函数y=x2、y=-x2、y=x2、12总结:二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点是坐标原点(0,0)当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,a越大,抛物线的开口越小;在对称轴的左边,曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点,此时,函数y取得最小值0.总结:二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线,它的对当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,a越大,抛物线的开口越大;在对称轴的左边,曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边,曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线上位置最高的点,此时,函数y取得最大值0.当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,a越大,抛物线的开口二次函数的图象和性质(2)二次函数的图象和性质(2)温故知新y=ax2(a≠0)a>0a<0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x<0时,y随着x的增大而减小。当x>0时,y随着x的增大而增大。
当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时,y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,抛物线的开口就越小.温故知新y=ax2(a≠0)a>0a<0图开口方向顶点坐标问题1分析问题1分析分析我们先来看几个简单的例子。分析我们先来看几个简单的例子。例2在同一直角坐标系中,例2在同一直角坐标系中,解:列表x…-3-2-10123……………解:列表x…-3-2-10123……………解:列表x…-3-2-10123……202………解:列表x…-3-2-10123……202………解:列表x…-3-2-10123……202……313…这两个函数有什么不一样的地方?解:列表x…-3-2-10123……202……313…这两个x…-3-2-10123……202……313…描点x…-3-2-10123……202……313…描点x…-3-2-10123……202……313…描点x…-3-2-10123……202……313…描点x…-3-2-10123……202……313…这两个函数的图象的形状相同吗?相同连线你会比较这两个函数吗?x…-3-2-10123……202……313…这两个函数的图x…-3-2-10123……202……313…函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.x…-3-2-10123……202……313…函数y=y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状
,只是位置不同;当k>0时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到,当k<0时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到。上加下减相同上k下|k|函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到;y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到。(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位,所得的抛物线的函数式是
。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是
。(2)将函数y=-3x2+4的图象向
平移
个单位可得
y=-3x2的图象;将y=2x2-7的图象向
平移
个单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向
平移
个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
;当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上y轴(0,k)减小增大0小k向下y轴(0,k)增大减小0大k观察思考当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口(4)抛物线y=-3x2+5的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,这个值等于
。(5)抛物线y=7x2-3的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,这个值等于
。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小增大0小-3小试牛刀(4)抛物线y=-3x2+5的开口,对称轴是及时小结y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(0,k)(0,k)y轴y轴当x<0时,y随着x的增大而减小。当x>0时,y随着x的增大而增大。当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时,y随着x的增大而减小。x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.及时小结y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下y轴y轴(0,k)(0,k)练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下y轴y轴(0谈谈你的收获小结:谈谈你的收获小结:第10页第2题作业:第10页第2题作业:二次函数的图象和性质(3)二次函数的图象和性质(3)y=ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性回顾:二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下|a|越大,开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点当x<0时,y随x的增大而减小当x>0时,y随x的增大而增大k>0k<0k<0k>0(0,k)当x<0时,y随x的增大而增大当x>0时,y随x的增大而减小y=ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性回顾:二次例3在同一直角坐标系中,例3在同一直角坐标系中,解:列表x…-3-2-10123……………解:列表x…-3-2-10123……………解:列表x…-3-2-10123……202………解:列表x…-3-2-10123……202………解:列表x…-3-2-10123……202……820…这两个函数有什么不一样的地方?解:列表x…-3-2-10123……202……820…这两个x…-3-2-10123……202……820…描点x…-3-2-10123……202……820…描点x…-3-2-10123……202……820…连线这两个函数的图象的形状相同吗?相同你会比较这两个函数吗?x…-3-2-10123……202……820…连线这两个函数x…-3-2-10123……202……820…函数y=(x-2)2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=(x-2)2的图象可由y=x2的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.x…-3-2-10123……202……820…函数y=函数y=-(x-2)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.函数y=-(x+3)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到.图象向左移还是向右移,移多少个单位长度,有什么规律吗?y=-(x+3)2y=-x2y=-(x-2)2函数y=-(x-2)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向右平观察开口方向对称轴顶点坐标向上向上y轴x=2(0,0)(2,0)它们有哪些相同?有哪些不同?观察开口方向对称轴顶点坐标向上向上y轴x=2(0,0这两个函数的图象有什么关系?这两个函数的图象开口方向相同但是对称轴和顶点坐标不同这两个函数的图象有什么关系?这两个函数的图象开口方向相同但是函数的图象可由的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.它的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0)它的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0)函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状
,只是位置不同;当h>0时,函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到,当h<0时,函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到。相同函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到;y=4(x-11)2的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到。(3)将抛物线y=4x2向左平移3个单位,所得的抛物线的函数式是
。将抛物线y=-5(x+1)2向右平移5个单位,所得的抛物线的函数式是
。(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向
平移
个单位可得
y=-3x2的图象;将y=2(x-7)2的图象向
平移
个单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象向
平移
个单位可得到y=x2+2的图象。左5右11右4左7左9y=4(x+3)2y=-5(x-4)2小试牛刀(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的h0当a>0时,抛物线y=a(x-h)2的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
;当a<0时,抛物线y=a(x-h)2的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
。向上x=h(h,0)小向下(h,0)增大减小h大0观察思考x=h这是函数的性质哦!减小增大h0当a>0时,抛物线y=a(x-h)2的开口(4)抛物线y=-3(x+5)2的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,这个值等于
。(5)抛物线y=7(x-3)2的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,这个值等于
。下x=-5(-5,0)减小增大-5大0上x=3(3,0)减小增大3小0小试牛刀(4)抛物线y=-3(x+5)2的开口,对称及时小结y=a(x-h)2(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,0)(h,0)x=hx=h当x<h时,y随着x的增大而减小。当x>h时,y随着x的增大而增大。当x<h时,y随着x的增大而增大。当x>h时,y随着x的增大而减小。x=h时,y最小值=0x=h时,y最大值=0抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过左右平移得到.及时小结y=a(x-h)2(a≠0)a>0a<0开口方向顶练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下x=hx=h(h,0)(h,0)练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下x=hx=h(谈谈你的收获小结:谈谈你的收获小结:第13页第2题作业:第13页第2题作业:二次函数的图象和性质(4)二次函数的图象和性质(4)y=ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性回顾:二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下|a|越大,开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点当x<0时,y随x的增大而减小当x>0时,y随x的增大而增大k>0k<0k<0k>0(0,k)当x<0时,y随x的增大而增大当x>0时,y随x的增大而减小y=ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性回顾:二次问题1分析问题1分析分析分析分析分析分析分析试一试试一试试一试试一试试一试(1)填写下表的图象的图象的图象开口方向对称轴顶点试一试(1)填写下表的图象的图象的图象开口方向对称轴顶点我来试一试我来试一试试一试试一试抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,当a>0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
;当a<0时,抛物线y=a(x-h)2+k开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
。hk向上x=h(h,k)小向下(h,k)增大减小h大k观察思考x=h这是函数的性质哦!减小增大当a>0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开口练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,-2)向下向下(3,7)(2,-6)向上直线x=-3直线x=1直线x=3直线x=2(-3,5)y=-3(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-61.完成下列表格:练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上2.请回答抛物线y=4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎样平移得到?3.抛物线y=-4(x-3)2+7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?练习2.请回答抛物线y=4(x-3)2+7由抛物线y=4x2练习y=−2(x+3)2-2画出下列函数图象,并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点,最大值或最小值各是什么及增减性如何?。y=2(x-3)2+3y=−2(x-2)2-1y=3(x+1)2+1练习y=−2(x+3)2-2画出下列函数图象,并说出抛物线结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同。结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k及时小结y=a(x-h)2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当x<h时,y随着x的增大而减小。当x>h时,y随着x的增大而增大。当x<h时,y随着x的增大而增大。当x>h时,y随着x的增大而减小。x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.及时小结y=a(x-h)2+k(a≠0)a>0a<0开口方练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下x=hx=h(h,k)(h,k)练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下x=hx=h(谈谈你的收获小结:谈谈你的收获小结:第15页第2题作业:第15页第2题作业:二次函数的图象和性质(5)y=ax2+bx+c的图象与性质二次函数的图象和性质(5)y=ax2+bx+c的图象与性质回顾:二次函数y=a(x-h)2+k的性质y=a(x-h)2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当x<h时,y随着x的增大而减小。当x>h时,y随着x的增大而增大。当x<h时,y随着x的增大而增大。当x>h时,y随着x的增大而减小。x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.回顾:二次函数y=a(x-h)2+k的性质y=a(x-h)2问题1分析问题1分析分析你知道吗?用配方法分析你知道吗?用配方法试一试y=x2-2x+312解:试一试y=x2-2x+31解:试一试∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1).要记住方法哦!试一试∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1)∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1).∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1).我来模仿∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1).我来模仿∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1我来模仿∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1).我来模仿∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1我来模仿∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1).∴开口方向:向上;对称轴:x=3;顶点坐标:(3,-5).我来模仿∴开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,1分析你知道吗?用配方法分析你知道吗?用配方法试一试试一试试一试∴开口方向:由a决定;要记住公式哦!试一试∴开口方向:由a决定;要记住公式哦!试一试试一试我来模仿试一试我来模仿试一试我来模仿试一试我来模仿试一试小试牛刀1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是。(0,3)(1,0)或(3,0)抛物线与y轴的交点有什么特征?抛物线与x轴的交点有什么特征?小试牛刀1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是最值,最值y=。小试牛刀4.函数y=4x2-3x-1,当x=时,函数值y取得5.抛物线y=x2-5x+6与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是。1.把二次函数y=-5(x-)2+写成y=ax2+bx+c的形式,1214则a=b=c=。3.抛物线y=-x2-x+的顶点坐标是,1252对称轴是。2.抛物线y=2x2-4x-5化成y=a(x-h)2+k的形式为5-5-1y=2(x-1)2-7(-1,3)x=-1(0,6)(2,0)或(3,0)382516小小最值,最值y=谈谈你的收获小结:谈谈你的收获小结:第22页第2题作业:第22页第2题作业:二次函数的图象和性质(6)二次函数的应用二次函数的图象和性质(6)二次函数的应用回顾:二次函数y=ax2+bx+c的性质y=ax2+bx+c(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小。在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大。在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小。x=-b2ax=-b2ay最小值=4ac-b24ax=-b2a(-,)b2a4ac-b24a(-,)b2a4ac-b24ay最大值=4ac-b24ax=-b2a回顾:二次函数y=ax2+bx+c的性质y=ax2+bx+探究问题1要用总长为20米的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃。怎样围法,才能使围成的面积最大?
你会解吗?看课本的第2页探究问题1要用总长为20米的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的1.要用总长为20米的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃。怎样围法,才能使围成的面积最大?
解:设矩形的靠墙的一边AB的长为x米,矩形的面积为y米。由题意得:y=x(20-2x)(0<x<10)即:y=-2x2+20x将这个函数关系式配方,得:y=-2(x-5)2+50∴抛物线的顶点坐标是(5,50)∵抛物线的开口方向向下∴当x=5,y最大值=50答:与墙垂直的一边长为5m时,花圃的面积最大,最大面积为50m2。1.要用总长为20米的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃。2.某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售,一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?探究问题2你会解吗?请同学们完成这个问题的解答2.某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售,一天可售例6:用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的长、宽各为多少时,它的透光面积最大?最大透光面积是多少?解:设矩形的宽为x米,矩形的透光面积为y米。由题意得:配方,得:∴它的顶点坐标是(1,1.5)答:当矩形窗框的宽为5m时,长为1.5m时,它的透光面积最大,最大面积为1.5m2。y=x·(0<x<2)6-3x2即:y=-x2+3x32y=-(x-1)2+3232∴当x=1,y最大值=1.5因为x=1时,满足0<x<2,这时=1.56-3x2例6:用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗练习(1)y=x2-3x+41.求下列函数的最大值或最小值:(2)y=1-2x-x2(4)y=100-5x2(5)y=-6x2+12x(3)y=7x2-x+32(6)y=-x2-4x+132练习(1)y=x2-3x+41.求下列函数的最大值或最小值:2.有一根长为40cm的铁丝,把它弯成一个矩形框。当矩形框的长、宽各是多少时,矩形的面积最大?练习3.已知两个正数的和是60,它们的积最大是多少?(提示:设其中的一个正数为x,将它们的积表示为x的函数)2.有一根长为40cm的铁丝,把它弯成一个矩形框。当矩形框的谈谈你的收获小结:谈谈你的收获小结:第22页第3题作业:第22页第3题作业:
二次函数的图象和性质(1)二次函数的图象和性质(1)(1)观察y=x2的表达式,选择适当的x值,并计算相应的y值,完成下表:x-3-2-10123y=x29410149(1)观察y=x2的表达式,选-3-2-10123y=x2(2)在直角坐标系中描点.(按x的值从小到大,从左到右描点)(3)用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=x2的图象.(能用直线连接吗?)(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的曲线连接各点,便得到二次函数的图象与性质课件议一议对于二次函数y=x2的图象,(1)你能描述图象的形状吗?(2)图象与x轴有交点吗?
如果有,交点坐标是什么?(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢?议一议对于二次函数y=x2的图象,(1)你能描述图象的形状吗(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知可以看出,二次函数y=x2的图像是一条曲线,它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上。这条曲线叫做抛物线y=x2
。实际上,二次函数的图像都是抛物线,它们的开口或者向上或者向下。一般的,二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c可以看出,二次函数y=x2的图像是一条曲线,它的形状类似于投二次函数y=x2的图象是抛物线.
(1)抛物线的开口向上;(2)它的图象有最低点,最低点的坐标是(0,0);(3)它是轴对称图形,对称轴是y轴。在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大。二次函数y=x2的图象是抛物线.(1)抛物线的开口向上;(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的顶点,同时也是图象的最低点,坐标为(0,0);(5)因为图像有最低点,所以函数有最小值,当x=0时,y最小=0.(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称
在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=2x2的图象。x…-4-3-2-101234…y=x2…
…02288x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2…
…02288-1-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=2x2的-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20当a>0,图象开口向上顶点是抛物线的最低点,a越大开口越小反之越大对称轴-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x做一做二次函数的图象y=-x²是什么形状?先想一想,然后作出它的图象它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴交流。做一做二次函数的图象y=-x²是什么形状?它与二次函数y=x总结:二次函数y=-x2的图象是抛物线.
(1)抛物线的开口向下;(2)它的图象有最高点,最高点的坐标是(0,0);(3)它是轴对称图形,对称轴是y轴。在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少。总结:(1)抛物线的开口向下;(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的顶点,同时也是图象的最高点,坐标为(0,0);(5)因为图像有最高点,所以函数有最大值,当x=0时,y最大=0.(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称探究
画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。x…-3-2-10123…y=-x2…
…-9-4-10-1-4-9x…-4-3-2-101234…y=-x2…
…0-2-2-8-8x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=-2x2…
…0-2-2-8-8探究画出函数y=-x2,y=-x2,y1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx0y=-x2
y=-x2
y=-2x2当a〈0时,图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大。对称轴1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-2246(1)说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标(2)抛物线y=x2,当x
时,抛物线上的点都在x轴上方;当x>0时;曲线自左向右逐渐它的顶点是图像的最点。12(3)函数y=-2x2,对于一切x的值,总有函数值y0,当x
<0时,y随x的增大而;当x时,y有最值,是(1)说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标(2)抛108642-2-4-6-8-10-12-10-5510xyy=x2y=-x2
y=x2与y=-x2关于x轴对称108642-2-4-6-8-10-12-10-5510xy观察函数y=x2、y=-x2、y=x2、
y=-2x2的图像,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点12观察函数y=x2、y=-x2、y=x2、12总结:二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点是坐标原点(0,0)当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,a越大,抛物线的开口越小;在对称轴的左边,曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点,此时,函数y取得最小值0.总结:二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线,它的对当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,a越大,抛物线的开口越大;在对称轴的左边,曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边,曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线上位置最高的点,此时,函数y取得最大值0.当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,a越大,抛物线的开口二次函数的图象和性质(2)二次函数的图象和性质(2)温故知新y=ax2(a≠0)a>0a<0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x<0时,y随着x的增大而减小。当x>0时,y随着x的增大而增大。
当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时,y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,抛物线的开口就越小.温故知新y=ax2(a≠0)a>0a<0图开口方向顶点坐标问题1分析问题1分析分析我们先来看几个简单的例子。分析我们先来看几个简单的例子。例2在同一直角坐标系中,例2在同一直角坐标系中,解:列表x…-3-2-10123……………解:列表x…-3-2-10123……………解:列表x…-3-2-10123……202………解:列表x…-3-2-10123……202………解:列表x…-3-2-10123……202……313…这两个函数有什么不一样的地方?解:列表x…-3-2-10123……202……313…这两个x…-3-2-10123……202……313…描点x…-3-2-10123……202……313…描点x…-3-2-10123……202……313…描点x…-3-2-10123……202……313…描点x…-3-2-10123……202……313…这两个函数的图象的形状相同吗?相同连线你会比较这两个函数吗?x…-3-2-10123……202……313…这两个函数的图x…-3-2-10123……202……313…函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.x…-3-2-10123……202……313…函数y=y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状
,只是位置不同;当k>0时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到,当k<0时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到。上加下减相同上k下|k|函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到;y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到。(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位,所得的抛物线的函数式是
。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是
。(2)将函数y=-3x2+4的图象向
平移
个单位可得
y=-3x2的图象;将y=2x2-7的图象向
平移
个单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向
平移
个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
;当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上y轴(0,k)减小增大0小k向下y轴(0,k)增大减小0大k观察思考当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口(4)抛物线y=-3x2+5的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,这个值等于
。(5)抛物线y=7x2-3的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,这个值等于
。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小增大0小-3小试牛刀(4)抛物线y=-3x2+5的开口,对称轴是及时小结y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(0,k)(0,k)y轴y轴当x<0时,y随着x的增大而减小。当x>0时,y随着x的增大而增大。当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时,y随着x的增大而减小。x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.及时小结y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下y轴y轴(0,k)(0,k)练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下y轴y轴(0谈谈你的收获小结:谈谈你的收获小结:第10页第2题作业:第10页第2题作业:二次函数的图象和性质(3)二次函数的图象和性质(3)y=ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性回顾:二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下|a|越大,开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点当x<0时,y随x的增大而减小当x>0时,y随x的增大而增大k>0k<0k<0k>0(0,k)当x<0时,y随x的增大而增大当x>0时,y随x的增大而减小y=ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性回顾:二次例3在同一直角坐标系中,例3在同一直角坐标系中,解:列表x…-3-2-10123……………解:列表x…-3-2-10123……………解:列表x…-3-2-10123……202………解:列表x…-3-2-10123……202………解:列表x…-3-2-10123……202……820…这两个函数有什么不一样的地方?解:列表x…-3-2-10123……202……820…这两个x…-3-2-10123……202……820…描点x…-3-2-10123……202……820…描点x…-3-2-10123……202……820…连线这两个函数的图象的形状相同吗?相同你会比较这两个函数吗?x…-3-2-10123……202……820…连线这两个函数x…-3-2-10123……202……820…函数y=(x-2)2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=(x-2)2的图象可由y=x2的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.x…-3-2-10123……202……820…函数y=函数y=-(x-2)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.函数y=-(x+3)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到.图象向左移还是向右移,移多少个单位长度,有什么规律吗?y=-(x+3)2y=-x2y=-(x-2)2函数y=-(x-2)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向右平观察开口方向对称轴顶点坐标向上向上y轴x=2(0,0)(2,0)它们有哪些相同?有哪些不同?观察开口方向对称轴顶点坐标向上向上y轴x=2(0,0这两个函数的图象有什么关系?这两个函数的图象开口方向相同但是对称轴和顶点坐标不同这两个函数的图象有什么关系?这两个函数的图象开口方向相同但是函数的图象可由的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.它的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0)它的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0)函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状
,只是位置不同;当h>0时,函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到,当h<0时,函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到。相同函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到;y=4(x-11)2的图象可由y=4x2的图象向
平移
个单位得到。(3)将抛物线y=4x2向左平移3个单位,所得的抛物线的函数式是
。将抛物线y=-5(x+1)2向右平移5个单位,所得的抛物线的函数式是
。(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向
平移
个单位可得
y=-3x2的图象;将y=2(x-7)2的图象向
平移
个单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象向
平移
个单位可得到y=x2+2的图象。左5右11右4左7左9y=4(x+3)2y=-5(x-4)2小试牛刀(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的h0当a>0时,抛物线y=a(x-h)2的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
;当a<0时,抛物线y=a(x-h)2的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
。向上x=h(h,0)小向下(h,0)增大减小h大0观察思考x=h这是函数的性质哦!减小增大h0当a>0时,抛物线y=a(x-h)2的开口(4)抛物线y=-3(x+5)2的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,这个值等于
。(5)抛物线y=7(x-3)2的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,这个值等于
。下x=-5(-5,0)减小增大-5大0上x=3(3,0)减小增大3小0小试牛刀(4)抛物线y=-3(x+5)2的开口,对称及时小结y=a(x-h)2(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,0)(h,0)x=hx=h当x<h时,y随着x的增大而减小。当x>h时,y随着x的增大而增大。当x<h时,y随着x的增大而增大。当x>h时,y随着x的增大而减小。x=h时,y最小值=0x=h时,y最大值=0抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过左右平移得到.及时小结y=a(x-h)2(a≠0)a>0a<0开口方向顶练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下x=hx=h(h,0)(h,0)练习开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0向上向下x=hx=h(谈谈你的收获小结:谈谈你的收获小结:第13页第2题作业:第13页第2题作业:二次函数的图象和性质(4)二次函数的图象和性质(4)y=ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性回顾:二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下|a|越大,开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点当x<0时,y随x的增大而减小当x>0时,y随x的增大而增大k>0k<0k<0k>0(0,k)当x<0时,y随x的增大而增大当x>0时,y随x的增大而减小y=ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性回顾:二次问题1分析问题1分析分析分析分析分析分析分析试一试试一试试一试试一试试一试(1)填写下表的图象的图象的图象开口方向对称轴顶点试一试(1)填写下表的图象的图象的图象开口方向对称轴顶点我来试一试我来试一试试一试试一试抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,当a>0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
;当a<0时,抛物线y=a(x-h)2+k开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,函数取得最
值,这个值等于
。hk向上x=h(h,k)小向下(h,k)增大减小h大k观察思考x=h这是函数的性质哦!减小增大当a>0时,抛物线y=a(x-h
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