2020高中数学 阶段质量检测（四）圆与方程（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精阶段质量检测（四)圆与方程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0）与点B(2，－1，6）的距离是(）A．2eq\r（43) B．2eq\r(21)C．9 D.eq\r(86）解析:选D由空间直角坐标系中两点间距离公式得:|AB｜＝eq\r(－3－22＋4＋12＋0－62）＝eq\r(86）。2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是（)A。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2),＋∞)）B.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－∞，－\f（1,2））)C。eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞,－\f(1,2))）D.eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2），＋∞)）解析：选A由题意得1＋1＋4m>0，解得m>－eq\f(1，2)。3．已知圆O以点（2,－3）为圆心，半径等于5，则点M（5，－7)与圆O的位置关系是（)A．在圆内 B．在圆上C．在圆外 D．无法判断解析:选B点M（5，－7)到圆心(2,－3)的距离d＝eq\r(5－22＋－7＋32)＝5，故点M在圆O上．4．已知A（2，0),B(1，－2），则以AB为直径的圆的方程为()A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（3，2）))2＋(y－1）2＝eq\f（3,4）B.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（3，2）))2＋(y＋1)2＝eq\f（3,4）C.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（3，2））)2＋(y－1)2＝eq\f（5，4）D。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（3,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f（5,4)解析:选D以AB为直径的圆的方程为（x－2）(x－1)＋（y－0)（y＋2)＝0，化简得x2＋y2－3x＋2y＋2＝0，即eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(3,2)))2＋（y＋1)2＝eq\f（5，4），故选D.5．若直线l：y＝kx＋1(k＜0）与圆C:（x＋2)2＋（y－1）2＝2相切，则直线l与圆D：（x－2）2＋y2＝3的位置关系是(）A．相交 B．相切C．相离 D．不确定解析:选A依题意，直线l与圆C相切,则eq\f（|－2k－1＋1|,\r(k2＋1）)＝eq\r(2），解得k＝±1.又k＜0，所以k＝－1,于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D（2，0)到直线l的距离d＝eq\f（｜2＋0－1｜，\r(2）)＝eq\f（\r(2）,2)＜eq\r(3),所以直线l与圆D相交，故选A。6．已知过点P(2,2）的直线与圆（x－1）2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(）A．－eq\f(1,2) B．1C．2 D。eq\f（1,2）解析：选C因为点P(2,2）为圆(x－1）2＋y2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心（1，0）与点P(2,2)的连线与过点P(2，2）的切线垂直．因为圆心(1，0)与点P（2，2)的连线的斜率k＝2，故过点P（2,2)的切线斜率为－eq\f(1，2)，所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2。7．一条光线从点A(－1,1)出发，经x轴反射到⊙C：(x－2)2＋（y－3）2＝1上，则光走过的最短路程为（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选DA（－1，1)关于x轴的对称点B（－1，－1),圆心C（2,3)，所以光走过的最短路程为|BC｜－1＝4.8．过点M(1，2）的直线l与圆C：(x－2）2＋y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A．x＝1 B．y＝1C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0解析:选D当CM⊥l，即弦长最短时，∠ACB最小，∴kl·kCM＝－1,∴kl＝eq\f(1，2），∴l的方程为：x－2y＋3＝0。9．若点P（1，1）为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x－3）2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P（1，1）为弦MN的中点,所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝eq\f(1－0，1－3)＝－eq\f（1,2)，所以直线MN的斜率为2,所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0。10．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2＋(y－4）2＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P,使得以该点为圆心,2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是（)A。eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3,4），0）) B.eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，4），＋∞)）C。eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(3,4)）) D。eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3，4）））解析:选D依题意，圆M的圆心为M(0,4），半径r＝2.若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则在直线上至少存在一点P，使得｜MP|≤2＋2成立，又点M到直线的距离为eq\f（|4m＋2|，\r(m2＋1））,则eq\f(|4m＋2｜,\r(m2＋1）)≤4，解得m≤eq\f（3,4)，故选D。11．过点（3，1）作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A，B，则直线AB的方程为(）A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0解析：选A设P（3,1），圆心C（1，0），切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB的外接圆方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f（1,2)))2＝eq\f(5，4)，①圆C：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．12．已知圆C1：(x－2)2＋（y－3）2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4）2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点,P为x轴上的动点,则｜PM|＋|PN|的最小值为()A．5eq\r（2）－4B。eq\r（17）－1C．6－2eq\r(2)D.eq\r(17）解析:选A由题意知，圆C1：（x－2)2＋（y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2，3),C2(3,4),且|PM|＋｜PN｜＝|PC1|＋｜PC2｜－4，点C1(2，3）关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以｜PC1｜＋｜PC2|＝｜PC|＋｜PC2|≥｜CC2｜＝5eq\r（2），即｜PM|＋｜PN|＝｜PC1|＋|PC2｜－4≥5eq\r（2）－4.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．在如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中,已知A1(a,0，c)，C(0，b，0），则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知,点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1（a，b，c）．答案：（a，b,c）14．在平面直角坐标系中，若圆Q：x2＋y2－4ax＋2ay＋5a2－1＝0上所有的点都在第二象限内,则实数a的取值范围是________．解析：依题意,圆Q的方程可化为(x－2a)2＋（y＋a）2＝1,圆心为Q(2a，－a)，半径为r＝1.若圆Q上所有的点都在第二象限内，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2a＜－1，,－a＞1，))解得a＜－1。答案：（－∞,－1)15．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1）2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.解析：依题意，知圆C的半径是2，圆心C(1，a）到直线ax＋y－2＝0的距离等于eq\f(\r（3),2）×2＝eq\r(3），于是有eq\f（｜1×a＋a－2|，\r(a2＋1））＝eq\r(3)，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15)。答案：4±eq\r(15)16．设点M（x0,1）,若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N,使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P（0，1）．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N（±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP＝45°时,有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为［－1,1］．答案：［－1，1]三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分)已知圆C的方程是（x－1）2＋（y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，(1）直线平分圆；(2）直线与圆相切．解：（1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0。(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径,∴d＝eq\f(|1－1＋m｜，\r（12＋－12）)＝eq\f（|m|,\r（2)）＝2,m＝±2eq\r(2）。即m＝±2eq\r(2）时，直线l与圆相切．18．（本小题满分12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y＋14＝0，直线l3:3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C（a，a－1)，半径为r,则点C到直线l2的距离d1＝eq\f(|4a＋3a－1＋14|,5)＝eq\f（｜7a＋11｜,5)。点C到直线l3的距离d2＝eq\f(|3a＋4a－1＋10｜，5）＝eq\f(|7a＋6|,5)。由题意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(|7a＋11|，5）＝r，，\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(|7a＋6｜,5）))2＋32＝r2.））解得a＝2，r＝5，即所求圆的方程是（x－2)2＋(y－1）2＝25.19．（本小题满分12分)一座圆拱桥,当水面在如图所示位置时,拱顶离水面2米，水面宽12米,当水面下降1米后，水面宽多少米?解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A,B，则由已知可得A(6，－2），设圆的半径长为r,则C（0,－r），即圆的方程为x2＋（y＋r）2＝r2。将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋（y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设A′（x0，－3)(x0＞0），代入x2＋（y＋10)2＝100，解得2x0＝2eq\r(51），即当水面下降1米后，水面宽2eq\r(51)米．20．（本小题满分12分）已知△ABC的三个顶点A(－1，0），B（1,0)，C（3，2），其外接圆为圆H。(1）求圆H的标准方程；(2）若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M,N,使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．解：（1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0），则由题意，可知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1－D＋F＝0,，1＋D＋F＝0，,9＋4＋3D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝－6，,F＝－1，)）所以圆H的标准方程为x2＋（y－3）2＝10。（2)设圆心到直线l的距离为d,则1＋d2＝10，所以d＝3。若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，则直线方程为x＝3,满足题意；若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y＝k(x－3)＋2，圆心到直线l的距离为d＝eq\f（|－3k－1|，\r（－12＋k2））＝3，解得k＝eq\f（4，3),所以直线l的方程为4x－3y－6＝0.综上可知，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.(3)由题意得0＜|CP｜－r≤2r，即r＜|CP|≤3r恒成立,所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(r＜|CP｜min＝\f(4\r（10），5)，,3r≥|CP|max＝｜CH|＝\r(10），））解得eq\f（\r（10)，3）≤r＜eq\f（4\r（10），5).于是圆C的半径r的取值范围为eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(10)，3)，\f(4\r(10),5))）.21．(本小题满分12分)已知圆C:x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外,过P作圆C的切线，设切点为M。(1)若点P运动到（1,3)处，求此时切线l的方程;(2)求满足条件|PM｜＝｜PO｜的点P的轨迹方程．解：把圆C的方程化为标准方程为(x＋1）2＋(y－2)2＝4，∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1,C到l的距离d＝2＝r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k(x－1），即kx－y＋3－k＝0,则eq\f（|－k－2＋3－k|,\r（1＋k2）)＝2，解得k＝－eq\f(3，4)。∴l的方程为y－3＝－eq\f（3，4)