2020高中数学 阶段质量检测（三）直线与方程（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精阶段质量检测（三）直线与方程(时间:120分钟满分:150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分）1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为（）A．30° B．45°C．60° D．135°解析：选D由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan135°＝－1,可知直线l的倾斜角为135°。2．已知过点M（－2，a)，N（a,4）的直线的斜率为－eq\f（1，2)，则｜MN｜＝（）A．10 B．180C．6eq\r（3） D．6eq\r(5）解析：选D由kMN＝eq\f（a－4，－2－a）＝－eq\f（1，2），解得a＝10，即M(－2，10），N（10,4),所以|MN|＝eq\r（－2－102＋10－42)＝6eq\r(5)，故选D.3．已知直线nx－y＝n－1和直线ny－x＝2n的交点在第二象限，则实数n的取值范围是（)A．(0，1） B.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2）))∪（1，＋∞）C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1，2）)) D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），＋∞))解析:选C由题意，知当n＝1时,两直线平行,当n＝－1时，两直线重合，故n≠±1。解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（nx－y＝n－1,,ny－x＝2n,））得x＝eq\f（n,n－1)，y＝eq\f(2n－1，n－1）.∴eq\f（n，n－1)＜0且eq\f(2n－1，n－1)＞0，解得0＜n＜eq\f(1,2）.4．已知直线l1：（2m2－5m＋2)x－（m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则实数m等于()A．2或3 B．2C．3 D．－3解析：选C直线l1的斜率为eq\f（2m2－5m＋2，m2－4)，直线l2的斜率为1，则eq\f（2m2－5m＋2,m2－4)＝1，即2m2－5m＋2＝m2－4，整理得m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3.当m＝2时，2m2－5m＋2＝0，－(m2－4)＝0，不符合题意,故m＝3。5．若直线(m2－1）x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是(）A。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，1)） B。eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（－1，\f(1，2）））C。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，1）） D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，1）)解析：选D若直线（m2－1）x－y－2m＋1＝0不经过第一象限,则直线经过第二、四象限或第三、四象限或第二、三、四象限，所以直线的斜率和截距均小于等于0.直线方程变形为y＝(m2－1）x－2m＋1,则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m2－1≤0,,－2m＋1≤0,））解得eq\f(1,2)≤m≤1。6．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为eq\f（1，3)，则m,n的值分别为（）A．4和3 B．－4和3C．－4和－3 D．4和－3解析:选C由题意知：－eq\f(m，n)＝－eq\f（4,3)，即3m＝4n，且有－eq\f（1，n)＝eq\f（1，3)，∴n＝－3，m＝－4。7．两点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b）关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值为（）A．a＝－1，b＝2 B．a＝4，b＝－2C．a＝2，b＝4 D．a＝4，b＝2解析：选DA、B关于直线4x＋3y＝11对称,则kAB＝eq\f(3，4)，即eq\f（b＋2－－b，a＋2－b－a）＝eq\f(3,4),①且AB中点eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2）,1））在已知直线上，代入得2(b＋2）＋3＝11，②解①②组成的方程组得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝4，，b＝2.)）8．直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上,且l1⊥l2，则直线l1在y轴上的截距是(）A．－4 B．4C．－eq\f(8,3) D。eq\f（8，3）解析：选C设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2，则k2＝－eq\f（3,2）。∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k1＝－eq\f（1，k2)＝－eq\f（1，－\f（3，2)）＝eq\f(2,3).设直线l1的方程为y＝eq\f（2,3）x＋b，直线l2与x轴的交点为(4，0）．将点(4,0）代入l1方程，得b＝－eq\f(8，3）.9．光线从点A(－3,5）射到x轴上,经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的路程为()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10） D．10eq\r(5)解析:选C点A（－3，5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即A′B的长，｜A′B｜＝eq\r(－5－102＋－3－22）＝5eq\r（10）。10．数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1，0），C（0,2)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0解析：选D本题考查欧拉线方程，∵B(－1,0），C(0，2）,∴线段BC中点的坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2），1))，线段BC所在直线的斜率kBC＝2，则线段BC的垂直平分线的方程为y－1＝－eq\f（1，2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，2))），即2x＋4y－3＝0。∵AB＝AC，∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线方程为2x＋4y－3＝0.故选D。11．已知点M（1，0)和N（－1，0），直线2x＋y＝b与线段MN相交，则b的取值范围为(）A．［－2,2］ B．[－1,1］C.eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1，2)）) D．［0,2］解析：选A直线可化成y＝－2x＋b，当直线过点M时，可得b＝2；当直线过点N时，可得b＝－2，所以要使直线与线段MN相交，b的取值范围为[－2,2]．12．若直线l1：y－2＝（k－1)x和直线l2关于直线y＝x＋1对称,那么直线l2恒过定点（)A．（2，0） B．（1，－1)C．（1,1) D．(－2,0)解析:选C∵l1：kx＝x＋y－2，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，,x＋y－2＝0，))得l1恒过定点（0，2)，记为点P,∴与l1关于直线y＝x＋1对称的直线l2也必恒过一定点，记为点Q，且点P和Q也关于直线y＝x＋1对称．令Q(m，n)，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（n＋2,2）＝\f（m，2)＋1，，\f(n－2，m）×1＝－1,））⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝1，，n＝1,)）即Q(1，1）,∴直线l2恒过定点(1,1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．已知点A(2，1),B(－2，3)，C（0，1），则△ABC中，BC边上的中线长为________．解析：BC中点为（－1，2)，所以BC边上中线长为eq\r(2＋12＋1－22)＝eq\r（10)。答案：eq\r（10）14．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A,B两点，线段AB的中点为M（1，－1),则直线l的斜率为________．解析：设A(x1，y1)，B（x2,y2)，则eq\f（y1＋y2,2）＝－1，又y1＝1,∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3),又eq\f(x1＋x2，2）＝1，∴x1＝－2，即A（－2,1)，∴kAB＝eq\f(－3－1，4－－2）＝－eq\f(2,3）。答案:－eq\f(2,3)15．已知点M（a,b)在直线3x＋4y＝15上，则eq\r(a2＋b2）的最小值为________．解析:eq\r(a2＋b2)的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝eq\f(｜0＋0－15｜，\r（32＋42))＝3。答案：316．在△ABC中，已知C（2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上的高所在的直线方程是y＝2x－1,则顶点B的坐标为________．解析:依题意，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝x，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1,，y＝1，)）则A（1，1）．因为角A的平分线所在的直线方程是y＝x,所以点C(2，5)关于直线y＝x的对称点C′(5,2)在边AB所在的直线上,所以边AB所在的直线方程为y－1＝eq\f(2－1，5－1）（x－1)，整理得x－4y＋3＝0。又边BC上的高所在的直线方程是y＝2x－1，所以边BC所在的直线的斜率为－eq\f（1,2)，所以边BC所在的直线方程是y－5＝－eq\f（1,2)（x－2),整理得x＋2y－12＝0.由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,x＋2y－12＝0,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝\f（5,2),))则Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（7，\f(5，2)）).答案：eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（7,\f（5,2)）)三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知直线l经过点P(－2，1)，且与直线x＋y＝0垂直．(1）求直线l的方程;（2）若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为eq\r(2）,求直线m的方程．解：(1)由题意得直线l的斜率为1,故直线l的方程为y－1＝x＋2,即x－y＋3＝0。（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0,由点到直线的距离公式得eq\f(｜－2－1＋c｜，\r（2)）＝eq\r（2）,即｜c－3｜＝2，解得c＝1或c＝5.故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.18．（本小题满分12分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋2m＝0，当m为何值时,l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3）重合．解：当m＝0时,l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1与l2相交．当m≠0且m≠2时，由eq\f(1，m－2)＝eq\f（m2，3m)得m＝－1或m＝3，由eq\f（1，m－2）＝eq\f（6，2m），得m＝3.故（1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．(2)当m＝－1或m＝0时,l1∥l2。(3）当m＝3时，l1与l2重合．19．（本小题满分12分）等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l的斜率为eq\f（1，2），且经过点（4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解：设直角顶点为C，点C到直线y＝3x的距离为d，则eq\f(1,2)d·2d＝10,∴d＝eq\r(10).∵直线l的斜率为eq\f（1,2），且经过点(4，－2)，∴直线l的方程为y＋2＝eq\f(1，2）（x－4）．即x－2y－8＝0.设直线l′是与直线y＝3x平行且距离为eq\r(10）的直线，则直线l′与l的交点就是C点，设直线l′的方程是3x－y＋m＝0,∴eq\f（|m｜，\r（32＋－12))＝eq\r（10）,∴m＝±10,∴直线l′的方程是3x－y±10＝0.由方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y－8＝0，，3x－y－10＝0））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y－8＝0，,3x－y＋10＝0,)）得点C的坐标是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（12,5),－\f(14,5）)）或eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（28,5)，－\f（34,5)）).20．(本小题满分12分)如图,已知点A（2，3）,B（4，1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l：x－2y＋2＝0上．（1）求AB边上的高CE所在直线的方程;(2）求△ABC的面积．解:（1）由题意可知，E为AB的中点，∴E(3,2），且kCE＝－eq\f（1，kAB)＝1，∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0。（2)由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0，)）得C(4,3),∴｜AC｜＝｜BC|＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2）｜AC|·|BC|＝2。21．(本小题满分12分）已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0）；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3:x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是eq\f（7\r（5），10)。(1)求a的值．（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的eq\f（1,2）；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是eq\r(2）∶eq\r（5）。若能,求点P的坐标；若不能,说明理由．解：（1)直线l2的方程等价于2x－y－eq\f(1，2)＝0,所以两条平行线l1与l2间的距离d＝eq\f（\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)）)）)，\r(22＋－12）)＝eq\f（7\r（5)，10)，即eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（a＋\f（1,2)）)＝eq\f（7,2）。又因为a＞0，解得a＝3。（2）假设存在点P，设点P(x0，y0),若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上,且eq\f(|c－3｜,\r(5）)＝eq\f(1,2)·eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（c＋\f（1，2))),\r（5)），解得c＝eq\f（13，2）或eq\f（11，6），所以2x0－y0＋eq\f(13，2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11，6）＝0.若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，得eq\f(｜2x0－y0＋3|，\r（5)）＝eq\f(\r（2)，\r(5））·eq\f(|x0＋y0－1|,\r(2）)，即｜2x0－y0＋3|＝｜x0＋y0－1｜，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0。若点P满足条件①，则3x0＋2＝0不合适．解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x0－y0＋\f(13，2）＝0，,x0－2y0＋4＝0，))得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝－3,,y0＝\f（1，2).)）不符合点P在第一象限，舍去．解方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x0－y0＋\f（11,6）＝0，，x0－2y0＋4＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1，9），,y0＝\f(37,18)。）)符合条件①.所以存在点Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，9）,\f(37，18)）)同时满足三个条件．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1,AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上．(1）若折痕所在直线的斜率为k,试求折