一元二次方程根与系数的关系复习课

关于一元二次方程根与系数的关系复习课第一页，共三十四页，2022年，8月28日复习一元二次方程根与系数的关系推论1推论2第二页，共三十四页，2022年，8月28日说出下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=4(2)2x2-3x+=0x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-说一说：在使用韦达定理时，应注意：

⑴、不是一般式的要先化成一般式；⑵、在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写。（3）前提是方程有实数根即Δ≥0第三页，共三十四页，2022年，8月28日几种常见的求代数式的值第四页，共三十四页，2022年，8月28日引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,（2）若两根互为倒数,（3）若一根为0,（4）若一根为1,（5）若一根为1,（6）若a、c异号,补充规律：则b0;则ac;则c0;则abc0;则abc0;方程一定有两个实数根.第五页，共三十四页，2022年，8月28日例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值。解法一：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1

＋2=k+1x1

●2=3k解这方程组，得x1=－3k=－2答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。第六页，共三十四页，2022年，8月28日例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值。解法二：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由韦达定理，得x1●2＝3k即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。第七页，共三十四页，2022年，8月28日解：设方程的两根分别为和，则：而方程的两根互为倒数即所以：得：例2.方程的两根互为倒数，求k的值。例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。解：设方程的两根分别为x1和x2，

则：x1·x2=

∴k=-9第八页，共三十四页，2022年，8月28日例1.已知两个数的和是1，积是-2，求这两个数。解法一:设两数分别为x,y则:{解得:x=2

y=－1{或

ｘ＝－1y=2{解法二:设两数分别为一个一元二次方程的两根则:求得∴这两个数为2和-１作用2：已知两个数的和与积，求两数

第九页，共三十四页，2022年，8月28日例2.已知两数之和为14，乘积为-51，求这两数.设这两数为m,n，

解：m,n可以看作是方程x2-14x-51=0的两个根

∴这两数为17，-3作用2：已知两个数的和与积，求两数

第十页，共三十四页，2022年，8月28日作用3：求代数式的值例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1,x2。求下列代数式的值。(1)x12+x22（2）（3）（x1-x2)2解：⑴∵x1+x2=,x1·x2=-1∴x12+x22

＝(x1＋x2)2-2x1x2（2）∵x1+x2=,x1·x2=-1（3）∵x1+x2=,x1·x2=-1∴（x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2第十一页，共三十四页，2022年，8月28日作用3：求代数式的值(4)(x1+1)(x2+1)

（5）∣x1-x2∣

（6）（4）∵x1+x2=,x1·x2=-1∴原式=x1x2+x1+x2+1=（5）∵x1+x2=,x1·x2=-1（6）∵x1+x2=,x1·x2=-1第十二页，共三十四页，2022年，8月28日（7）∵x1+x2=,x1·x2=-1(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2（8）∵x1+x2=,x1·x2=-1第十三页，共三十四页，2022年，8月28日例2.已知方程的两个实数根是且

求k的值。解：由根与系数的关系得

x1+x2=-k，x1·x2=k+2又x12+x2

2=4即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

解得：k=4或k=-2∵△=K2-4k-8当k=4时，△=-8＜0∴k=4(舍去）当k=-2时，△=4＞0∴k=-2第十四页，共三十四页，2022年，8月28日1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值解：∵a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根∴a2+3a-7=0，a+b=-3，则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4．课堂练习作业：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值。第十五页，共三十四页，2022年，8月28日2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。解：∵x12+(m-2)x1+2=0,x22+(m-2)x2+2=0

∴x12+2=2x1-mx1,x22+2=2x2-mx2

又∵x1x2=2

原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2)=2x1·2x2=4x1x2=4×2=8作业：已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的两个实数根，求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。第十六页，共三十四页，2022年，8月28日3.已知m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（m≠n）求(m-1)(n-1).解:由已知条件得，m,n是方程x2+2x-2009=0的两个不相等的实数根，由韦达定理得：m+n=-2,mn=-2009(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2009-(-2)+1=-2006课堂练习第十七页，共三十四页，2022年，8月28日4.已知3m2-2m-5=0,5n2+2n-3=0.其中m,n为实数，求的值。解：∵3m2-2m-5=0与由于m,的关系没有给定，故应分两种情况：①当m=时，②当m≠时，可知m,是方程3x2-2x-5=0的两个根，则综合①，②得或第十八页，共三十四页，2022年，8月28日5.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根，且，求a的值.

解：据题意得x1+x2=1；x1·x2=a∴3a2+2a-1=0，即又∵Δ=1-4a≥0，∴a≤∴a=1/3舍去，∴a=-1.第十九页，共三十四页，2022年，8月28日第二十页，共三十四页，2022年，8月28日7.已知方程x2+3x+1=0的两个根为求的值。解：第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日

8.已知关于x的方程

x2+2（m-2）x+m2+4=0

有两个实数根，并且这两个根的平方和比两根的积大21。求m的值。

解∵△=4(m-2)2-4(m2+4)=-16m≥0∴m≤0设方程两个根为x1、x2，则由题意：

x1+x2=-2(m-2),x1x2=m²+4

x12+x22-x1x2=21

(x1+x2)2-3x1x2=21

4(m-2)2-3(m2+4)=21

m2-16m-17=0

∴m1

=-1，m2=17（不符合m≤0，舍去）∴m=-1

第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日9.当m为何值时，2x2-3mx+2m+3=0的一个根是另一个根的两倍.解：设两根分别为则由韦达定理得：①②∴①2÷②得第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是，求的m值。解：设方程两根为x1,x2.则解得：m1=-11,m2=3当m=-11时，方程为2x2+11x+23=0,⊿=112-4×2×23＜0,方程无实数根，∴m=-11不合题意，舍去当m=3时，方程为2x2－3x－5=0,⊿=(-3)2-4×2×(-5)＞0,方程有两个不相等的实数根.∴m的值为3第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日11已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的两个不相等的实数根。①求k的取值范围；②是否存在这样的实数k，使成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解：①⊿＝42-4k·(-3)＞0且k≠0∴k＞且k≠0②假设存在.＞∴存在满足条件的k值，且k=4第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日1２.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有两个不相等的实数根。①求实数k的取值范围；②是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于１？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。解：①⊿＝（2k+2)2-4k·(k-1)＞0且k-1≠0∴k＞且k≠1②假设存在,设方程的两根为x1，x2

＞∴不存在满足条件的k第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日13.是否存在实数m，使关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的两实数根的平方和为56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：假设存在,设方程的两根为x1，x2

∵x1+x2=2(m-2)=2m-4,x1x2=m2又∵x12+x22=56,∴(x1+x2)2-2x1x2=56∴(2m-4)2-2m2=56即m2-8m-20=0解得：m1=10,m2=-2当m=10时，方程为x2-16x+100=0,⊿=(-16)2-4×100＜0，方程无实数根，∴m=10不合题意，舍去当m=-2时，方程为x2+8x+4=0,⊿=82-4×4＜0,方程无实数根，∴m=-2不合题意，舍去∴不存在满足条件的m第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日例1.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2-6x+2=0的两根平方的倒数.解：设方程x2-6x+2=0的两根为m,n,设所求方程的两根为x1,x2作用4：求作一个一元二次方程第二十八页，共三十四页，2022年，8月28日2.甲、乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一次项系数p，解得根为4和-9；乙看错了常数项q，解得根为2和3；求原方程。解：甲看错了一次项系数，解得根为4和-9，得q=4×(-9)=-36，乙看错了常数项，解得根为2和3，得p=-（2+3）=-5则原方程为：x2-5x-36=0，第二十九页，共三十四页，2022年，