高等工程数学3内积空间Win7

第一章线性空间和线性变换§1线性空间§2线性变换及其矩阵表示§3内积空间内积空间定义§3内积空间

设V为上的实线性空间，若，存在唯一实数与之对应，且满足：②对称性：③可加性：①正定性：，且④齐次性：称实数为与的内积，称为(实)内积空间.内积空间也称为欧氏空间(Euclid空间).§3内积空间常见的内积空间例1，定义容易验证是内积，即是欧氏空间.例2容易验证是内积.给定正定矩阵，定义

可见同一线性空间可以定义多个不同的内积§3内积空间例3

，定义容易验证是内积，即为欧氏空间。§3内积空间简单性质②①内积空间的子空间仍是内积空间；③④⑤§3内积空间向量的长度定义

，称为向量的长度.若，称为单位向量.若，记，称为的单位化向量问长度的本质特征是什么？①正定性：②齐次性：③三角不等式：且§3内积空间Cauchy-Schwartz不等式定理设为欧氏空间，有且线性相关。推论设为欧氏空间，有三角不等式§3内积空间在中有Cauchy-Schwartz不等式的应用：在中有§3内积空间向量的正交定义则称相互正交，记为.

设为欧氏空间，，若定理

(勾股定理)设V为欧氏空间，，若即与正交，则有§3内积空间标准正交基定义若是正交向量组，则必线性无关.若非零向量两两正交，则称为正交向量组.均为单位向量，则称为标准正交基.在欧氏空间Vn中，若=是正交向量组，

则称为正交基；又若定理定义§3内积空间

显然在欧氏空间中=

是标准正交基称为的度量矩阵.问

欧氏空间Vn中是否存在标准正交基？§3内积空间Schmidt正交化定理欧氏空间必存在标准正交基.这种由普通基出发构造标准正交基的方法称为Schmidt标准正交化法.§3内积空间Schmidt正交化过程基=§3内积空间即标准正交基基ε=到基

=的变换矩阵是上三角矩阵.§3内积空间例4设的基是=用Schmidt标准正交化方法求的标准正交基.§3内积空间化简坐标计算：ε

x①总结：设=

为Vn的基，用Schmidt正交化方法可求得标准正交基ε=.②=εR

，R为上三角阵

x

y§3内积空间正交补空间定义有设W1，W2都是欧氏空间的子空间，若则称W1，W2相互正交，记为，即§3内积空间问题在中，两平面相互垂直是否有？若直线垂直平面是否有？§3内积空间定理若，则定义则称互为正交补，记为设都是欧氏空间V的子空间，若称为V的正交直和分解.定理欧氏空间Vn

的任一子空间W都有唯一的正交补.§3内积空间正交变换定义设T是欧氏空间Vn的线性变换，若有则称T为正交变换.§3内积空间定理设T

是欧氏空间Vn的线性变换，则下列条件等价①T是正交变换②T保持向量长度不变，即③T将标准正交基映射为标准正交基④T

在标准正交基下的矩阵为正交阵§3内积空间常用的正交变换定义设=是欧氏空间的标准正交基，若线性变换T在基下的矩阵为即T=，则称T为初等旋转变换.•

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i

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j

§3内积空间Householde变换

考虑平面直线，单位法向量试求关于的镜像实际背景

长度一样是正交变换§3内积空间定义设

是单位向量，记.定义线性变换T

:称矩阵为Householder

矩阵；

线性变换T为Householder变换.例4在中，取，.试求.§3内积空间Householde矩阵的性质：(Hermite阵)(酉矩阵)设T是欧氏空间Vn的线