步步高导学设计高中数学人教A版选修2-1配套练习232双曲线的简单几何性质(含答案详析)

双曲线的简单几何性质一、基础过关1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．4222＝3的渐近线方程是()2．双曲线3x－y1A．y＝±3xB．y＝±x33C．y＝±3xD．y＝±3xx2y23．双曲线4－12＝1的焦点到渐近线的距离为()A．23B．2C.3D．14．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()11A．－4B．－4C．4D.4225．双曲线x2－y2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直ab线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()3A.6B.3C.2D.3x2y2226．已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()2222x－y＝1B.x－y＝1A.54452222C.x－y＝1D.x－y＝13663227．已知双曲线C：x－y＝1的张口比等轴双曲线的张口更广阔，则实数m的取值范围4m是________．二、能力提升22xy8．已知圆C过双曲线－＝1的一个极点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________．9．以下列图，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为____________________．10．依照以下条件，求双曲线的标准方程．x2－y2＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(1)与双曲线916x2y2(2)与双曲线16－4＝1有公共焦点，且过点(32，2)．11．已知双曲线的一条渐近线为x＋3y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．x2y212．求证：双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．三、研究与拓展22xy13．已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使sin∠PF1F2＝a，求该双曲线的离心率的取值范围．sin∠PFF答案1．C2.C3.A4.A5.B6.A167．(4，＋∞)8.39.3＋110．解(1)设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，9161将点(－3,23)代入得λ＝4，x2y21所以双曲线方程为9－16＝4，2即4x9－y4＝1.x2y2设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)．由题意易求c＝25.又双曲线过点(32，2)，22a2－b2＝1.4又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.x2y2故所求双曲线的方程为12－8＝1.x2y211．解椭圆方程为64＋16＝1，可知椭圆的焦距为83.①当双曲线的焦点在x轴上时，22xy设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，a2＋b2＝48，2∴a＝36，b3解得2＝12.a＝3，b∴双曲线的标准方程为x2－y2＝1.3612②当双曲线的焦点在y轴上时，y2x2设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，a2＋b2＝48，2＝12，∴aa＝3，解得b2＝36.b32双曲线的标准方程为12y－36x＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为x2y2y2x236－12＝1或12－36＝1.12．证明设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay＝0|bx0＋ay0|和bx－ay＝0，可得P到bx＋ay＝0的距离d1＝，a2＋b2到bx－ay＝0的距离|bx0－ay0|d2＝22.a＋b|bx0＋ay00－ay0|||bx∴d1d2＝·a2＋b2a2＋b2|b2x02－a2y02|＝.a2＋b222x0y0又P在双曲线上，∴a2－b2＝1，22222222，∴d1d2＝ab2.即bx0－ay0＝ab2a＋b故P到两条渐近线的距离之积为定值．13．解如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，a由题意及正弦定理得m＝c，a∴n＝cm.又m－n＝2a，∴m－acm＝2a