机器人机构学-第二章课件

第二章串联机构拓扑结构特征与综合串联机构的结构组成及符号表示串联机构的自由度公式机构运动输出的特征矩阵螺旋理论的基本知识串联机构的综合方法第二章串联机构拓扑结构特征与综合串联机构的结构组成及符号表12.1串联机构的结构特征2.1.1串联机构的结构组成及符号表示1.运动副基本类型2.1串联机构的结构特征2.1.1串联机构的结构组成及符号表22.1串联机构的结构特征2.连杆参数与坐标系坐标轴的定义（zi-轴线方向,xii-1轴到i轴的公垂线,yi-右手准则）参数定义（杆长ai,,轴长di,,转角θi,,扭角αi,,2.1串联机构的结构特征2.连杆参数与坐标系32.1串联机构的结构特征连杆参数的特殊配置类型两运动轴线重合，即，但两运动副轴线平行，即可以任取，，两运动副轴线相交于一点，即，两运动副轴线垂直，即三个移动副平行于同一平面，即。2.1串联机构的结构特征连杆参数的特殊配置类型42.1串联机构的结构特征3.串联机构及结构组成的符号表示对由P副（移动副），R副（转动副）与H副（螺旋副），构成的串联机构（亦称单开链（SingleOpenedChain）简记为SOC），其结构组成可用符号表示。为此，约定（1）同一构件上两运动副轴线为任意方位配置，两者之间用“-”表示，如R-R,R-P,R-H,P-P等。（2）同一构件上两运动副轴线重合，两者之间用“∕”表示，如R∕R,R∕P,R∕H,P∕P等。（3）同一构件上两运动副轴线平行，两者之间用“∕∕”表示，如R∕∕R,R∕∕P,R∕∕H等。（4）同一构件上两运动副轴线相交于一点，两者共用“⌒”表示，如等。（5）若干个副平行于同一平面，用“

（—P—P…—P—）”表示（6）同一构件上两运动副轴线垂直，两者之间用“⊥”表示，如R⊥R,R⊥P,R⊥H等，特别说明∶当R⊥P⊥R∗且R∕∕R∗时，记为R（⊥P）∕∕R∗；当R—P—R∗且R∕∕R∗时，记为R（—P）∕∕R∗。如C副（圆柱副）为，U副（万向节）为，S副（球副）为2.1串联机构的结构特征3.串联机构及结构组成的符号表示52.1串联机构的结构特征2.1.2串联机构的活动度公式其中F—机构活动度m—机构运动副数fi—第i个运动副自由度数2.1串联机构的结构特征2.1.2串联机构的活动度公式其中62.1串联机构的结构特征2.1.3串联机构运动输出特征矩阵1.串联机构的位移输出是末端构件的位置与方向（位姿），为机构运动输入的函数。记为位移输出矩阵即2.1串联机构的结构特征2.1.3串联机构运动输出特征矩阵7串联机构运动输出特征矩阵在串联机构的运动输出矩阵中，我们约定1）当式（2-2）的某元素为常量时，该元素用：“‧”表示之；相应在式（2-3）的对应元素用“0”表示之。2）当式（2-2）的某元素为非独立元素时，该元素用“｛该元素｝”表示之；但不再记；相应在式（2-3）的对应元素亦用“｛该元素｝”表示之；但不再记；3）当式（2-2）的某元素为非独立元素时，该元素记法同式（2-2），但不再记为；相应在式（2-3）的对应元素记法同式（2-3），但不再记。4）机构位移输出特征矩阵与速度输出特征矩阵仍分别记为Ms与,并统称为机构运动输出特征矩阵，简称为输出特征矩阵。串联机构运动输出特征矩阵在串联机构的运动输出矩阵中，我们约定8串联机构运动输出特征矩阵例：图2-3串联机构运动输出特征矩阵例：图2-39串联机构运动输出特征矩阵例：图2-4串联机构运动输出特征矩阵例：图2-410串联机构运动输出特征矩阵若式（2-2），（2-3）诸元素皆为独立运动输出时，其位移、速度输出特征矩阵分别为机构运动输出特征矩阵的矢量形式为串联机构运动输出特征矩阵若式（2-2），（2-3）诸元素皆为11串联机构运动输出特征矩阵例：图2-5a例:图2-5b串联机构运动输出特征矩阵例：图2-5a例:图2-5b12串联机构运动输出特征矩阵2.串联机构运动输出特征矩阵类型串联机构运动输出特征矩阵2.串联机构运动输出特征矩阵类型132.2螺旋理论2.2.1螺旋定义设S与S0为三维实空间两矢量（图2-6），且满足（简称搬迁公式），则S与S0构成一个螺旋，记作（2-5）式中，为Clifford算符，有2.2螺旋理论2.2.1螺旋14若以r表示沿S的单位矢量，ρ表示参考系原点O到r上任一点的矢径，则式中：ω----螺旋＄的幅值；h----螺旋＄的节距螺旋对应于两个矢量代表的六个分量，是一个六维向量它可以表示两个刚体的相对运动和相互作用力若以r表示沿S的单位矢量，ρ表示参考系原点O到r上任一点的矢15S为刚体1的角速度，So为刚体2与刚体1重合点相对于刚体1的速度。则若S为刚体2对刚体1的作用力，So为刚体2对刚体1的作用力矩。则S为刚体1的角速度，So为刚体2与刚体1重合点相对于刚体116为了表示方便常用以下表示方法若S和S0在参考坐标系中表示为对于纯转动或纯力h=0，对于移动或纯力偶，h=∞为了表示方便常用以下表示方法若S和S0在参考坐标系中表示为对17为了便于运算记为又由式（2-3）可知为了便于运算记为又由式（2-3）可知182.2.2螺旋运算1.加法设有两螺旋，，两螺旋的加法为：螺旋的加法满足交换律与结合律。2.数乘设有螺旋螺旋的数乘为螺旋的数乘满足分配律与结合律。

2.2.2螺旋运算1.加法设有两螺旋，，两螺旋的加法为：螺193单位螺旋螺旋＄的单位螺旋

3单位螺旋螺旋＄的单位螺旋202.2.3螺旋系及其基本定理1定义定义1设一非空螺旋集合，若对任意一个数为螺旋系。定义2由的任意线性组合形成的螺旋系的展成螺旋系，记作

2.2.3螺旋系及其基本定理1定义定义1设一非空螺旋集合21定义3在螺旋系S中，若存在μ个线性独立的螺旋，且S中所有螺旋均是这个螺旋的线性组合，则称这μ个螺旋为螺旋系S的一个基，螺旋系一个基的螺旋数目μ称为该螺旋系的秩，记作order(s)定义4若螺旋系S的一个非空子集Si在螺旋加法与数乘下封闭，则Si为S的一个子螺旋系。定义5Si,Sj是螺旋系的两个子螺旋系的并为：两子螺旋系的交为：

定义3在螺旋系S中，若存在μ个线性独立的螺旋222螺旋系串联定理串联定理：设刚体n由μ个螺旋系依次串联到刚体0上（图2-8），则刚体n与刚体0之间的相对运动螺旋系为：2-12即，若有，由式（2-9）可知2螺旋系串联定理233单回路运动链的运动螺旋方程故两构件的相对运动螺旋。由式（2-13）可知，必有2-14式（2-14）称为单闭链运动螺旋方程3单回路运动链的运动螺旋方程24螺旋系并联定理并联定理：设刚体n由μ个螺旋系并联到刚体0上（图2-9），则刚体n与刚体0之间的相对运动螺旋系为：2-15螺旋系串、并联定理描述了刚体之间两种基本联接方式的螺旋系与各子螺旋系间的关系螺旋系并联定理252.2.4螺旋系的线性相关性1.螺旋系秩的判定设有μ个螺旋，若存在不全为零的数，使,则这μ个螺旋线线性相关；否则，这μ个螺旋线性无关。设螺旋的Pliucker坐标为，则个螺旋线线性相关可用下列矩阵的秩判定。(三维空间中最多有6个线性无关的螺旋，二维空间中最多有三个线性无关的螺旋）2.2.4螺旋系的线性相关性1.螺旋系秩的判定262.坐标系与螺旋系相关性分析表明：螺旋系的相关性与坐标系的选择无关。因此，从坐标系的选择应方便相关性判定。2.坐标系与螺旋系相关性272.3串联机构运动输出特征方程2.3.1运动副运动输出特征矩阵1.移动副输出特征矩阵在坐标系O-xyz中，构件2与构件1之间的运动螺旋矩阵为2.3串联机构运动输出特征方程2.3.1运动副运动输出特征矩282.转动副输出特征矩阵对图2-11之R副，在坐标系0-xyz中，构件2与构件1之间的运动螺旋矩阵为2.转动副输出特征矩阵293螺旋副输出特征矩阵3螺旋副输出特征矩阵302.3.2串联机构运动输出特征方程2.3.2串联机构运动输出特征方程31机构运动过程的相关性判定准则相互平行的两平移必相关，只对应一个独立平移输出。平行于同一平面的三个平移必相关，只对应平行于该平面的两个独立平移输出。但应考虑到平移的三种形式：P副平移、R(H)副的转动衍生平移和H副的轴向平移。不平行于同一平面的四个平移必相关，只对应不平行于该平面的三个独立平移输出。但应考虑到平移的三种形式：P副平移、R(H)副的转动衍生平移和H副的轴向平移。相互平行（重合）的两转动必相关，只对应一个独立转动输出。不同方向的四个转动必相关，只对应不平行于同一平面的三个独立转动输出。顺便说明：若要判定与机构运动位置有关的瞬时运动相关性，需补充更多的瞬时运动相关性判据，因机构拓扑结构设计只涉及运动过程相关性，不涉及瞬时运动相关性问题，这里不再重复。机构运动过程的相关性判定准则相互平行的两平移必相关，只对应一32式2-23中运动相关性判断1）相应于串联机构输出特征矩阵的某独立运动输出元素，式（2-23）的n个运动副输出特征矩阵的相同位置n个元素中，至少有一个为独立运动输出元素。2）相应于串联机构输出矩阵的某常量元素，式（2-23）的n个运动副输出特征矩阵的相同位置n个元素应皆为常量。3）串联机构输出特征矩阵有6个元素，每一元素对应一个标量方程。由特性1易知，Ms的ξs个独立元素对应的ξs个方程必含有互不相关的运动副独立输出元素，故ξs个方程之间互不相关；又由特性2易知：Ms的（6-ξs）个非独立输出元素对应的（6-ξs）个方程中，皆为运动副的非独立输出元素，即（6-ξs）个方程与上述个互不相关方程之间皆存在相关性。因此，的独立输出元素ξs亦是串联机构运动输出特征方程的秩ξs（简称为串联机构或单开链的秩），且有2-24式中---的独立转动输出数-----的独立平移输出数式2-23中运动相关性判断1）相应于串联机构输出特征矩阵的某33运动输出特征矩阵运算确定Ms的主要步骤Step1串联机构结构组成的符号表示Step2建立坐标系应使尽可能多R副（H副）轴线通过坐标系原点，并注意使运动副轴线平行于坐标轴。Step3自机架始，依次串联机构的各运动副输出特征矩阵，并代入运动输出特征方程。（式（2-23））。Step4自机架始，依次标定各运动副输出特征矩阵的独立输出与非独立输出运动输出特征矩阵运算确定Ms的主要步骤34基于运动相关性，独立运动输出的标定原则为第i个运动副为P副时（1）若副平移与第1～（i-1）个运动副的独立平移不相关，则取其为独立输出，记作。（2）若副平移与第1～（i-1）个运动副的独立平移相关，则为非独立输出，记作；该副输出特征矩阵称为无标定矩阵，即不含独立输出的特征矩阵。当第i个运动副为R副时（1）若副转动副平移与第1～（i-1）个运动副的独立转动不相关，则取其为独立输出，记作，其转动衍生平移为非独立输出，记作。（2）若副转动副平移与第1～（i-1）个运动副的独立转动相关，该转动为非独立输出，记作；若其转动衍生平移与第1～（i-1）个运动副的独立平移不相关，则取该衍生平移为独立输出，记作；否则，为非独立输出，记作。（3）若副的转动与衍生平移皆为非独立输出，则副输出特征矩阵称为无标定矩阵。当第i个运动副为H副时（1）若副转动副与第1～（i-1）个运动副的独立转动不相关，则取其为独立输出，记作，其轴向平移与转动衍生平移皆为非独立输出，记作。（2）若副转动副与第1～（i-1）个运动副的独立转动相关，取轴向平移为独立输出，记作，而其转动与转动衍生平移皆为非独立输出，分别记为与。（3）若副转动与轴向平移皆为非独立输出，取转动衍生平移为独立输出，记作；转动与轴向平移皆为非独立输出，分别记作与。（4）若副的转动、轴向平移与转动衍生平移皆为非独立输出，则副输出特征矩阵称为无标定矩阵。总之，标定运动副的独立输出是判定相关性的过程，并将运动副输出特征矩阵分为两类：含独立输出的标定矩阵和不含独立输出的无标定矩阵。基于运动相关性，独立运动输出的标定原则为35Step5确定的独立运动输出基于已标定运动副输出特征矩阵，可得到的独立运动输出类型：所有标定运动副输出特征矩阵的独立平移数为的平移维数，其平移方向为所有独立平移的合成。所有标定运动副输出特征矩阵的独立转动为和独立转动维数，其转动方向为所有独立转动的合成。Step6确定的非独立运动输出由Ms的独立运动输出特性，易判定非独立输出是常量或非独立变量。若是常量，则判定其方位。Step7确定串联机构的秩，即ξsStep5确定的独立运动输出362．4．2举例例1图2-13a所示6R串联机构的结构组成为,依次标定各运动副输出特征矩阵的独立输出，并代入式（2-23），得到2．4．2举例例1图2-13a所示6R串联机构的结构组成为,37例2图2-13b所示6R串联机构的结构组成为，依次标定各运动副输出特征矩阵的独立输出，并代入式（2-23），得到例2图2-13b所示6R串联机构的结构组成为，依次标定各运38图2-14所示5H串联机构组成为依次标定各运动副输出特征矩阵的独立输出，并代入式（2-23），得到

图2-14所示5H串联机构组成为依次标定各运动副输出特征矩阵39运动副轴线配置与输出特征1.运动副轴线恒重合运动副轴线配置与输出特征1.运动副轴线恒重合40运动副轴线配置与输出特征2.运动副轴线恒平行运动副轴线配置与输出特征2.运动副轴线恒平行41运动副轴线配置与输出特征3.运动副轴线恒共点运动副轴线配置与输出特征3.运动副轴线恒共点42运动副轴线配置与输出特征4.运动副轴线恒共面运动副轴线配置与输出特征4.运动副轴线恒共面43运动副轴线配置与输出特征5.运动副轴线恒垂直运动副轴线配置与输出特征5.运动副轴线恒垂直442.5串联机构的拓扑综合基于运动输出特征方程（式（2-23））与不同尺度类型的输出特性，可进行串联机构的拓朴综合。即已知单开链的秩ξs与活动度F，求单开链的结构组成（运动副类型与数目以及运动副轴线方位的配置类型等）。本节讨论只含R和P副、且非独立输出皆为常量的单开链拓朴结构综合，并分为两类：①f=ξs的非冗余度单开链拓朴结构综合；②f>ξs的冗余度单开链拓朴结构综合。2.5串联机构的拓扑综合基于运动输出特征方程（式（2-2345串联机构的拓扑综合步骤已知条件：单开链的秩与活动度FStep1选定单开链的运动输出特征矩阵由确定单开链独立转动输出数与独立平移输出数。Step2确定运动副类型与数目R副数目mR与P副数目mP应满足F=mR+mP；mR的最小值为ξsr；mP的最大值为ξsp；由上述约束条件，可得到运动副类型与数目的多种组合方案。Step3确定运动副轴线方位的配置类型轴线方位配置基本原则：当mR＞ξsr且ξsr=1或2时，mR个R副应按ξsr个方向线恒平行（或重合），以免出现不需要的独立转动输出。当mR＞ξsp时，应配置若干R副轴线恒共点，以免出现不需要的独立衍生平移输出。当需要R副衍生平移且其方向垂直于R副轴线，应配置若干R副轴线相互平行。当需要R副衍生平移且其方向垂直于R副轴线的矢径时，应配置若干R副轴线交于一点，但交点不是坐标系原点。若mP＞ξsp=2，应配置所有P副平行于同一平面。若需R副衍生的两个平移与P副平移共面（或R副转动衍生的一个平移与两个P副的平移共面），应配置P副垂直于R副轴线。Step4检验运动输出特征矩阵Ms对Step3得到的单开链拓朴结构，确定其运动输出特征矩阵，以检验是否满足选定的Ms。若相应于Ms的F=ξs+1的单开链结构中，包含相应于其他Ms*的F*=ξs*+1的子单开链，则予以删除。Step5绘出机构简图串联机构的拓扑综合步骤已知条件：单开链的秩与活动度F46例1已知串联机构秩ξs=3（ξsr=1，ξsp=2）、活动度F=ξs=3及F=ξs+1=4，试综合其结构类型。Step1选定Step2确定运动副组合方案对F=3，运动副组合方案：3R、2R1P与1R2P。对F=4，运动副组合方案：4R、3R1P、2R2P与1R3P。Step3确定运动副轴线方位的配置类型对F=3的3R、2R1P与1R2P运动副组合方案，R副之间只能是恒平行配置，即其结构组成分别为、与。对F=4的4R、3R1P、2R2P与1R3P组合方案，R副只能为恒平行配置，即其结构组成分别为、、、Step4检验运动输出特征矩阵易知，Step3得到的7种单开链都满足选定的。但应注意到：中，包含子单开链，该子链的且，应予删除，但其他单开链结构类型无此特点。一般地，该特点可表述为：相应于输出特征矩阵的F=的单开链结构中，若包含相应于其他输出特征矩阵的的子单开链，则该类单开链应予删除。Step5绘出机构简图F=4的串联机构简图如图2-20所示。F=3机构简图从略。、、、例1已知串联机构秩ξs=3（ξsr=1，ξsp=2）、活47机器人机构学-第二章课件48例2已知串联机构秩ξs=4（ξsr=ξsp=2）、活动度F=ξs=4及F=ξs+1=5，试综合其结构类型。Step1选定Step2确定运动副组合方案对F=4，运动副组合方案：4R、3R1P与2R2P。对F=5，运动副组合方案：5R、4R1P、3R2P与2R3P。Step3确定运动副轴线方位的配置类型对F=4的4R、3R1P与2R2P运动副组合方案，R副应配置在两不同方向，其相应单开链结构组成分别为、与。对F=5的5R、4R1P、3R2P与2R3P组合方案，R副应配置在两不同方向，其相应单开链结构组成分别为、、与Step4检验运动输出特征矩阵由运动输出特征方程（式（2-23）），易知，Step3得到的7种单开链的皆满足要求。但F=5的前3个单开链分别含有的的子单开链：、与；F=5的第4个单开链含有的的子单开链，皆应删除之。例2已知串联机构秩ξs=4（ξsr=ξsp=2）、活动49例3已知串联机构秩ξs=5（ξsr=2，ξsp=3）及活动度F=ξs=5与F=ξs+1=6，试综合其结构类型Step1选定Step2确定运动副组合方案对F=5，运动副组合方案：5R、4R1P、3R2P与2R3P。对F=6，运动副组合方案：6R、5R1P、4R2P、3R3P与2R4P。Step3确定运动副轴线方位的配置类型因=2，所有R副应配置在两不同方向，并考虑到转动衍生平移和P副平移，应有3个独立平移输出。对F=5，相对于4种运动副组合方案的单开链结构组成分别为：、、、与。对F=6，相应于其前3种运动副组合方案的单开链结构组成分别为：、与、、与。Step4检验运动输出特征矩阵由运动输出特征方程（式（2-23）），易知，Step3得到的所有单开链皆满足选定的（参阅图2-13a）。但F=6的所有单开链结构类型中，只有、与3种不含其他的的子单开链。Step5绘出机构简图（从略）F=6的3种单开链如图2-21所示，它们皆不含其他的的子单开链。a)b)c)图2-21且F=6的单开链结构类型例3已知串联机构秩ξs=5（ξsr=2，ξsp=3）及活50机器人机构学-第二章课件51例4已知串联机构秩ξs=5（ξsr==3，ξsp=2）及活动度F=ξs=5与F=ξs+1=6，试综合其结构类型。Step1选定Step2确定运动副组合方案对F=5，运动副组合方案：5R、4R1P与3R2P。对F=6，运动副组合方案：6R、5R1P与4R2P。Step3确定运动副轴线方位的配置类型考虑到：1）当mR＞时，为避免出现不需要的衍生平移，应将3个R副配置恒共点。2）因转动副的衍生应与P副平移共面。3）R副转动的衍生平移总垂直于R副轴线和其矢径，故衍生平移与P副平移共面可分两类：在垂直于R副轴线的平面内，或在垂直于R副矢径的平面内。为此，对F=5的3种运动副组合方案，单开链结构组成分别为：对F=5，相对于4种运动副组合方案的单开链结构组成分别为：、、、与。对F=6，相应于其前3种运动副组合方案的单开链结构组成分别为：、与、、与。Step4检验运动输出特征矩阵由运动输出特征方程（式（2-23）），易知，Step3得到的所有单开链皆满足选定的（参阅图2-13a）。但F=6的所有单开链结构类型中，只有、与3种不含其他的的子单开链。Step5绘出机构简图（从略）F=6的3种单开链如图2-21所示，它们皆不含其他的的子单开链。a)b)c)图2-21且F=6的单开链结构类型例4已知串联机构秩ξs=5（ξsr==3，ξsp=2）52机器人机构学-第二章课件53串联机构的结构类型串联机构的结构类型54串联机构的结构类型串联机构的结构类型55第二章串联机构拓扑结构特征与综合串联机构的结构组成及符号表示串联机构的自由度公式机构运动输出的特征矩阵螺旋理论的基本知识串联机构的综合方法第二章串联机构拓扑结构特征与综合串联机构的结构组成及符号表562.1串联机构的结构特征2.1.1串联机构的结构组成及符号表示1.运动副基本类型2.1串联机构的结构特征2.1.1串联机构的结构组成及符号表572.1串联机构的结构特征2.连杆参数与坐标系坐标轴的定义（zi-轴线方向,xii-1轴到i轴的公垂线,yi-右手准则）参数定义（杆长ai,,轴长di,,转角θi,,扭角αi,,2.1串联机构的结构特征2.连杆参数与坐标系582.1串联机构的结构特征连杆参数的特殊配置类型两运动轴线重合，即，但两运动副轴线平行，即可以任取，，两运动副轴线相交于一点，即，两运动副轴线垂直，即三个移动副平行于同一平面，即。2.1串联机构的结构特征连杆参数的特殊配置类型592.1串联机构的结构特征3.串联机构及结构组成的符号表示对由P副（移动副），R副（转动副）与H副（螺旋副），构成的串联机构（亦称单开链（SingleOpenedChain）简记为SOC），其结构组成可用符号表示。为此，约定（1）同一构件上两运动副轴线为任意方位配置，两者之间用“-”表示，如R-R,R-P,R-H,P-P等。（2）同一构件上两运动副轴线重合，两者之间用“∕”表示，如R∕R,R∕P,R∕H,P∕P等。（3）同一构件上两运动副轴线平行，两者之间用“∕∕”表示，如R∕∕R,R∕∕P,R∕∕H等。（4）同一构件上两运动副轴线相交于一点，两者共用“⌒”表示，如等。（5）若干个副平行于同一平面，用“

（—P—P…—P—）”表示（6）同一构件上两运动副轴线垂直，两者之间用“⊥”表示，如R⊥R,R⊥P,R⊥H等，特别说明∶当R⊥P⊥R∗且R∕∕R∗时，记为R（⊥P）∕∕R∗；当R—P—R∗且R∕∕R∗时，记为R（—P）∕∕R∗。如C副（圆柱副）为，U副（万向节）为，S副（球副）为2.1串联机构的结构特征3.串联机构及结构组成的符号表示602.1串联机构的结构特征2.1.2串联机构的活动度公式其中F—机构活动度m—机构运动副数fi—第i个运动副自由度数2.1串联机构的结构特征2.1.2串联机构的活动度公式其中612.1串联机构的结构特征2.1.3串联机构运动输出特征矩阵1.串联机构的位移输出是末端构件的位置与方向（位姿），为机构运动输入的函数。记为位移输出矩阵即2.1串联机构的结构特征2.1.3串联机构运动输出特征矩阵62串联机构运动输出特征矩阵在串联机构的运动输出矩阵中，我们约定1）当式（2-2）的某元素为常量时，该元素用：“‧”表示之；相应在式（2-3）的对应元素用“0”表示之。2）当式（2-2）的某元素为非独立元素时，该元素用“｛该元素｝”表示之；但不再记；相应在式（2-3）的对应元素亦用“｛该元素｝”表示之；但不再记；3）当式（2-2）的某元素为非独立元素时，该元素记法同式（2-2），但不再记为；相应在式（2-3）的对应元素记法同式（2-3），但不再记。4）机构位移输出特征矩阵与速度输出特征矩阵仍分别记为Ms与,并统称为机构运动输出特征矩阵，简称为输出特征矩阵。串联机构运动输出特征矩阵在串联机构的运动输出矩阵中，我们约定63串联机构运动输出特征矩阵例：图2-3串联机构运动输出特征矩阵例：图2-364串联机构运动输出特征矩阵例：图2-4串联机构运动输出特征矩阵例：图2-465串联机构运动输出特征矩阵若式（2-2），（2-3）诸元素皆为独立运动输出时，其位移、速度输出特征矩阵分别为机构运动输出特征矩阵的矢量形式为串联机构运动输出特征矩阵若式（2-2），（2-3）诸元素皆为66串联机构运动输出特征矩阵例：图2-5a例:图2-5b串联机构运动输出特征矩阵例：图2-5a例:图2-5b67串联机构运动输出特征矩阵2.串联机构运动输出特征矩阵类型串联机构运动输出特征矩阵2.串联机构运动输出特征矩阵类型682.2螺旋理论2.2.1螺旋定义设S与S0为三维实空间两矢量（图2-6），且满足（简称搬迁公式），则S与S0构成一个螺旋，记作（2-5）式中，为Clifford算符，有2.2螺旋理论2.2.1螺旋69若以r表示沿S的单位矢量，ρ表示参考系原点O到r上任一点的矢径，则式中：ω----螺旋＄的幅值；h----螺旋＄的节距螺旋对应于两个矢量代表的六个分量，是一个六维向量它可以表示两个刚体的相对运动和相互作用力若以r表示沿S的单位矢量，ρ表示参考系原点O到r上任一点的矢70S为刚体1的角速度，So为刚体2与刚体1重合点相对于刚体1的速度。则若S为刚体2对刚体1的作用力，So为刚体2对刚体1的作用力矩。则S为刚体1的角速度，So为刚体2与刚体1重合点相对于刚体171为了表示方便常用以下表示方法若S和S0在参考坐标系中表示为对于纯转动或纯力h=0，对于移动或纯力偶，h=∞为了表示方便常用以下表示方法若S和S0在参考坐标系中表示为对72为了便于运算记为又由式（2-3）可知为了便于运算记为又由式（2-3）可知732.2.2螺旋运算1.加法设有两螺旋，，两螺旋的加法为：螺旋的加法满足交换律与结合律。2.数乘设有螺旋螺旋的数乘为螺旋的数乘满足分配律与结合律。

2.2.2螺旋运算1.加法设有两螺旋，，两螺旋的加法为：螺743单位螺旋螺旋＄的单位螺旋

3单位螺旋螺旋＄的单位螺旋752.2.3螺旋系及其基本定理1定义定义1设一非空螺旋集合，若对任意一个数为螺旋系。定义2由的任意线性组合形成的螺旋系的展成螺旋系，记作

2.2.3螺旋系及其基本定理1定义定义1设一非空螺旋集合76定义3在螺旋系S中，若存在μ个线性独立的螺旋，且S中所有螺旋均是这个螺旋的线性组合，则称这μ个螺旋为螺旋系S的一个基，螺旋系一个基的螺旋数目μ称为该螺旋系的秩，记作order(s)定义4若螺旋系S的一个非空子集Si在螺旋加法与数乘下封闭，则Si为S的一个子螺旋系。定义5Si,Sj是螺旋系的两个子螺旋系的并为：两子螺旋系的交为：

定义3在螺旋系S中，若存在μ个线性独立的螺旋772螺旋系串联定理串联定理：设刚体n由μ个螺旋系依次串联到刚体0上（图2-8），则刚体n与刚体0之间的相对运动螺旋系为：2-12即，若有，由式（2-9）可知2螺旋系串联定理783单回路运动链的运动螺旋方程故两构件的相对运动螺旋。由式（2-13）可知，必有2-14式（2-14）称为单闭链运动螺旋方程3单回路运动链的运动螺旋方程79螺旋系并联定理并联定理：设刚体n由μ个螺旋系并联到刚体0上（图2-9），则刚体n与刚体0之间的相对运动螺旋系为：2-15螺旋系串、并联定理描述了刚体之间两种基本联接方式的螺旋系与各子螺旋系间的关系螺旋系并联定理802.2.4螺旋系的线性相关性1.螺旋系秩的判定设有μ个螺旋，若存在不全为零的数，使,则这μ个螺旋线线性相关；否则，这μ个螺旋线性无关。设螺旋的Pliucker坐标为，则个螺旋线线性相关可用下列矩阵的秩判定。(三维空间中最多有6个线性无关的螺旋，二维空间中最多有三个线性无关的螺旋）2.2.4螺旋系的线性相关性1.螺旋系秩的判定812.坐标系与螺旋系相关性分析表明：螺旋系的相关性与坐标系的选择无关。因此，从坐标系的选择应方便相关性判定。2.坐标系与螺旋系相关性822.3串联机构运动输出特征方程2.3.1运动副运动输出特征矩阵1.移动副输出特征矩阵在坐标系O-xyz中，构件2与构件1之间的运动螺旋矩阵为2.3串联机构运动输出特征方程2.3.1运动副运动输出特征矩832.转动副输出特征矩阵对图2-11之R副，在坐标系0-xyz中，构件2与构件1之间的运动螺旋矩阵为2.转动副输出特征矩阵843螺旋副输出特征矩阵3螺旋副输出特征矩阵852.3.2串联机构运动输出特征方程2.3.2串联机构运动输出特征方程86机构运动过程的相关性判定准则相互平行的两平移必相关，只对应一个独立平移输出。平行于同一平面的三个平移必相关，只对应平行于该平面的两个独立平移输出。但应考虑到平移的三种形式：P副平移、R(H)副的转动衍生平移和H副的轴向平移。不平行于同一平面的四个平移必相关，只对应不平行于该平面的三个独立平移输出。但应考虑到平移的三种形式：P副平移、R(H)副的转动衍生平移和H副的轴向平移。相互平行（重合）的两转动必相关，只对应一个独立转动输出。不同方向的四个转动必相关，只对应不平行于同一平面的三个独立转动输出。顺便说明：若要判定与机构运动位置有关的瞬时运动相关性，需补充更多的瞬时运动相关性判据，因机构拓扑结构设计只涉及运动过程相关性，不涉及瞬时运动相关性问题，这里不再重复。机构运动过程的相关性判定准则相互平行的两平移必相关，只对应一87式2-23中运动相关性判断1）相应于串联机构输出特征矩阵的某独立运动输出元素，式（2-23）的n个运动副输出特征矩阵的相同位置n个元素中，至少有一个为独立运动输出元素。2）相应于串联机构输出矩阵的某常量元素，式（2-23）的n个运动副输出特征矩阵的相同位置n个元素应皆为常量。3）串联机构输出特征矩阵有6个元素，每一元素对应一个标量方程。由特性1易知，Ms的ξs个独立元素对应的ξs个方程必含有互不相关的运动副独立输出元素，故ξs个方程之间互不相关；又由特性2易知：Ms的（6-ξs）个非独立输出元素对应的（6-ξs）个方程中，皆为运动副的非独立输出元素，即（6-ξs）个方程与上述个互不相关方程之间皆存在相关性。因此，的独立输出元素ξs亦是串联机构运动输出特征方程的秩ξs（简称为串联机构或单开链的秩），且有2-24式中---的独立转动输出数-----的独立平移输出数式2-23中运动相关性判断1）相应于串联机构输出特征矩阵的某88运动输出特征矩阵运算确定Ms的主要步骤Step1串联机构结构组成的符号表示Step2建立坐标系应使尽可能多R副（H副）轴线通过坐标系原点，并注意使运动副轴线平行于坐标轴。Step3自机架始，依次串联机构的各运动副输出特征矩阵，并代入运动输出特征方程。（式（2-23））。Step4自机架始，依次标定各运动副输出特征矩阵的独立输出与非独立输出运动输出特征矩阵运算确定Ms的主要步骤89基于运动相关性，独立运动输出的标定原则为第i个运动副为P副时（1）若副平移与第1～（i-1）个运动副的独立平移不相关，则取其为独立输出，记作。（2）若副平移与第1～（i-1）个运动副的独立平移相关，则为非独立输出，记作；该副输出特征矩阵称为无标定矩阵，即不含独立输出的特征矩阵。当第i个运动副为R副时（1）若副转动副平移与第1～（i-1）个运动副的独立转动不相关，则取其为独立输出，记作，其转动衍生平移为非独立输出，记作。（2）若副转动副平移与第1～（i-1）个运动副的独立转动相关，该转动为非独立输出，记作；若其转动衍生平移与第1～（i-1）个运动副的独立平移不相关，则取该衍生平移为独立输出，记作；否则，为非独立输出，记作。（3）若副的转动与衍生平移皆为非独立输出，则副输出特征矩阵称为无标定矩阵。当第i个运动副为H副时（1）若副转动副与第1～（i-1）个运动副的独立转动不相关，则取其为独立输出，记作，其轴向平移与转动衍生平移皆为非独立输出，记作。（2）若副转动副与第1～（i-1）个运动副的独立转动相关，取轴向平移为独立输出，记作，而其转动与转动衍生平移皆为非独立输出，分别记为与。（3）若副转动与轴向平移皆为非独立输出，取转动衍生平移为独立输出，记作；转动与轴向平移皆为非独立输出，分别记作与。（4）若副的转动、轴向平移与转动衍生平移皆为非独立输出，则副输出特征矩阵称为无标定矩阵。总之，标定运动副的独立输出是判定相关性的过程，并将运动副输出特征矩阵分为两类：含独立输出的标定矩阵和不含独立输出的无标定矩阵。基于运动相关性，独立运动输出的标定原则为90Step5确定的独立运动输出基于已标定运动副输出特征矩阵，可得到的独立运动输出类型：所有标定运动副输出特征矩阵的独立平移数为的平移维数，其平移方向为所有独立平移的合成。所有标定运动副输出特征矩阵的独立转动为和独立转动维数，其转动方向为所有独立转动的合成。Step6确定的非独立运动输出由Ms的独立运动输出特性，易判定非独立输出是常量或非独立变量。若是常量，则判定其方位。Step7确定串联机构的秩，即ξsStep5确定的独立运动输出912．4．2举例例1图2-13a所示6R串联机构的结构组成为,依次标定各运动副输出特征矩阵的独立输出，并代入式（2-23），得到2．4．2举例例1图2-13a所示6R串联机构的结构组成为,92例2图2-13b所示6R串联机构的结构组成为，依次标定各运动副输出特征矩阵的独立输出，并代入式（2-23），得到例2图2-13b所示6R串联机构的结构组成为，依次标定各运93图2-14所示5H串联机构组成为依次标定各运动副输出特征矩阵的独立输出，并代入式（2-23），得到

图2-14所示5H串联机构组成为依次标定各运动副输出特征矩阵94运动副轴线配置与输出特征1.运动副轴线恒重合运动副轴线配置与输出特征1.运动副轴线恒重合95运动副轴线配置与输出特征2.运动副轴线恒平行运动副轴线配置与输出特征2.运动副轴线恒平行96运动副轴线配置与输出特征3.运动副轴线恒共点运动副轴线配置与输出特征3.运动副轴线恒共点97运动副轴线配置与输出特征4.运动副轴线恒共面运动副轴线配置与输出特征4.运动副轴线恒共面98运动副轴线配置与输出特征5.运动副轴线恒垂直运动副轴线配置与输出特征5.运动副轴线恒垂直992.5串联机构的拓扑综合基于运动输出特征方程（式（2-23））与不同尺度类型的输出特性，可进行串联机构的拓朴综合。即已知单开链的秩ξs与活动度F，求单开链的结构组成（运动副类型与数目以及运动副轴线方位的配置类型等）。本节讨论只含R和P副、且非独立输出皆为常量的单开链拓朴结构综合，并分为两类：①f=ξs的非冗余度单开链拓朴结构综合；②f>ξs的冗余度单开链拓朴结构综合。2.5串联机构的拓扑综合基于运动输出特征方程（式（2-23100串联机构的拓扑综合步骤已知条件：单开链的秩与活动度FStep1选定单开链的运动输出特征矩阵由确定单开链独立转动输出数与独立平移输出数。Step2确定运动副类型与数目R副数目mR与P副数目mP应满足F=mR+mP；mR的最小值为ξsr；mP的最大值为ξsp；由上述约束条件，可得到运动副类型与数目的多种组合方案。Step3确定运动副轴线方位的配置类型轴线方位配置基本原则：当mR＞ξsr且ξsr=1或2时，mR个R副应按ξsr个方向线恒平行（或重合），以免出现不需要的独立转动输出。当mR＞ξsp时，应配置若干R副轴线恒共点，以免出现不需要的独立衍生平移输出。当需要R副衍生平移且其方向垂直于R副轴线，应配置若干R副轴线相互平行。当需要R副衍生平移且其方向垂直于R副轴线的矢径时，应配置若干R副轴线交于一点，但交点不是坐标系原点。若mP＞ξsp=2，应配置所有P副平行于同一平面。若需R副衍生的两个平移与P副平移共面（或R副转动衍生的一个平移与两个P副的平移共面），应配置P副垂直于R副轴线。Step4检验运动输出特征矩阵Ms对Step3得到的单开链拓朴结构，确定其运动输出特征矩阵，以检验是否满足选定的Ms。若相应于Ms的F=ξs+1的单开链结构中，包含相应于其他Ms*的F*=ξs*+1的子单开链，则予以删除。Step5绘出机构简图串联机构的拓扑综合步骤已知条件：单开链的秩与活动度F101例1已知串联机构秩ξs=3（ξsr=1，ξsp=2）、活动度F=ξs=3及F=ξs+1=4，试综合其结构类型。Step1选定Step2确定运动副组合方案对F=3，运动副组合方案：3R、2R1P与1R2P。对F=4，运动副组合方案：4R、3R1P、2R2P与1R3P。Step3确定运动副轴线方位的配置类型对F=3的3R、2R1P与1R2P运动副组合方案，R副之间只能是恒平行配置，即其结构组成分别为、与