一元二次方程单元复习精品

关于一元二次方程单元复习精品第一页，共五十五页，2022年，8月28日定义及一般形式:

只含有一个未知数,未知数的最高次数是______的___式方程,叫做一元二次方程。一般形式:________________二次整ax2+bx+c=o(a≠o)练习一第二页，共五十五页，2022年，8月28日一、与一元二次方程定义有关的题目：1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？（1）4x-x²+2=0

（2）3x²-y-1=0（3）ax²+ｂx+c=0（a、b、c为常数）（4）x+=02、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-2）x-2m+1=0，当m

时是一元二次方程，当m=

时是一元一次方程。第三页，共五十五页，2022年，8月28日3、把方程（1-x)(2-x)=3-x2化为一般形式是：___________,其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.4、方程（m-2)x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2

2x2-3x-1=02-3-1C第四页，共五十五页，2022年，8月28日(1)直接开平方法(2)配方法(3)公式法(4)因式分解法解一元二次方程的方法有几种?第五页，共五十五页，2022年，8月28日

例:解下列方程１、用直接开平方法：(x+2)2=９2、用配方法解方程4x2-8x-5=0

解:两边开平方,得:x+2=±3∴x=-2±3∴x1=1,x2=-5右边开平方后，根号前取“±”。两边加上相等项“1”。第六页，共五十五页，2022年，8月28日①二次项系数化为1；②移常数项到右边；③两边同时加上一次项系数一半的平方；④化直接开平方形式;⑤解方程。步骤归纳配方法步骤第七页，共五十五页，2022年，8月28日

解:移项,得:3x2-4x-7=0

a=3b=-4c=-7

∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0

∴

∴x1=x2=

解:原方程化为（y+2)2﹣3（y+2）=0

(y+2)(y+2-3)=0(y+2)(y-1)=0y+2=0或y-1=0∴y1=-2y2=1先变为一般形式，代入时注意符号。

把y+2看作一个未知数，变成(ax+b)(cx+d)=0形式。

3、用公式法解方程3x2=4x+74、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）-1第八页，共五十五页，2022年，8月28日①先化为一般形式；②再确定a、b、c,求b2-4ac；③当b2-4ac≥0时,代入公式:步骤归纳若b2-4ac＜0,方程没有实数根。公式法步骤第九页，共五十五页，2022年，8月28日①右边化为0,左边化成两个因式的积；②分别令两个因式为0，求解。步骤归纳分解因式法步骤第十页，共五十五页，2022年，8月28日选用适当方法解下列一元二次方程1、(2x+1)2=64(法）2、(x-2)2-４(x+１)2=0(法）3、(５x-４)2-(4-５x)=０(法）4、x２-４x-10=０(法）5、３x２-４x-５=０

(法）6、x２＋６x-1=0(法）7、x２-x-３=０(法）8、y2-y-1=0

(法）

小结：选择方法的顺序是：直接开平方法→分解因式法→配方法→公式法分解因式分解因式配方公式配方公式公式直接开平方练习三第十一页，共五十五页，2022年，8月28日

典型例题：

(1)x2-10x+24=0;(2)x2-8x+15=0;(3)x2+2x-99=0;(4)y2+5y+2=0;(5)3x2-1=4x;(6)2x2+2x-30=0;(7)x2+px+q=0(p2-4q≥0)；

第十二页，共五十五页，2022年，8月28日解方程:(x+1)(x+2)=62.已知:(a2+b2)(a2+b2-3)=10

求a2+b2的值。中考直击思考第十三页，共五十五页，2022年，8月28日

一元二次方程根的判别式

两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程一元二次方程根的判式是:判别式的情况根的情况定理与逆定理两个不相等实根

两个相等实根

无实根(无解)二、第十四页，共五十五页，2022年，8月28日例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）解：（1）=

判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况第十五页，共五十五页，2022年，8月28日例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；解：△=(1).当△>0，方程有两个不相等的实根,8k+9>0,即

(2).当△=0，方程有两个相等的实根,8k+9=0,即

(3).当△<0

，方程有没有实数根,8k+9<0,即

2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围

说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待定系数的取值范围K＜第十六页，共五十五页，2022年，8月28日3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：∵方程有两个不相等的实数根题目解好了吗？知识运用第十七页，共五十五页，2022年，8月28日例：是否存在k，使方程有两个相等的实数根？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

解：a=(k-1)b=-（k+2)c=4∵方程有两个相等的实数根即第十八页，共五十五页，2022年，8月28日归纳一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）第十九页，共五十五页，2022年，8月28日1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当

b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.3.可以通过一元二次方程系数判断方程根的情况.第二十页，共五十五页，2022年，8月28日补充规律：两根均为负的条件：X1+X2

且X1X2

。

两根均为正的条件：X1+X2

且X1X2

。

两根一正一负的条件：X1+X2

且X1X2

。

当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：＜0＞0＞0＞0＜0第二十一页，共五十五页，2022年，8月28日设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则

X1+X2=

___

X1X2=____，

X12+X22=

；

(X1-X2)2

=

；

基础练习第二十二页，共五十五页，2022年，8月28日拓广探索当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。第二十三页，共五十五页，2022年，8月28日2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓广探索解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。∴k=0第二十四页，共五十五页，2022年，8月28日例题回顾：例1：如果是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.

第二十五页，共五十五页，2022年，8月28日《根与系数的关系》练习一、填空：1、已知方程的两根是,则

，

=

。2、已知方程的一个根是1，则另一个根是

，k的值是

..3、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______;若两根互为倒数，则q=_____．

4、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是–1、3，则

b=

，c=

.31-2101-4-6第二十六页，共五十五页，2022年，8月28日5.已知方程3x2+2x-6=0,则它的两根的倒数和为

.6.已知方程x2-bx+22=0的一根为5-,则另一根为

,b=

.返回10第二十七页，共五十五页，2022年，8月28日二、选择1、若方程中有一个根为零，另一个根非零，则的值为()ABCD

2、两根均为负数的一元二次方程是(

)A.4x2+2x+5=0B.6x2-13x-5=0

C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x+8=0AD第二十八页，共五十五页，2022年，8月28日三、解答题：1、已知关于x的方程(a2–3)x2–(a+1)x+1=0的两个实数根互为倒数，求a的值.2、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?第二十九页，共五十五页，2022年，8月28日1.审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。2.恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。3.根据题中的等量关系列出方程。4.解方程得出方程的解。5.检验看方程的解是否符合题意。6.作答注意单位。列方程解应用题的解题过程。一元二次方程的应用第三十页，共五十五页，2022年，8月28日第三十一页，共五十五页，2022年，8月28日数字一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数。解:设十位上的数位X,则个位上的数为×第三十二页，共五十五页，2022年，8月28日一二三四五六日

１２３４５６７８９１０１１１２１４１５１６１７１８１９２１２２２３２４２５２６２７２８２９３０３１

X-1XX+1

X-7XX+7X+7X+8XX+1XX+7X-7X-8X-6X-1X+1X+8X+6第三十三页，共五十五页，2022年，8月28日第三十四页，共五十五页，2022年，8月28日第三十五页，共五十五页，2022年，8月28日第三十六页，共五十五页，2022年，8月28日例1.(中考）某工厂计划在两年内把产量翻一番，如果每年比上年提高的百分数相同，求这个百分数（精确到1%）增长率问题解：设这个百分数为x,根据题意得

解答略第三十七页，共五十五页，2022年，8月28日典型题:

某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25％的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量是x，则经过一年木材存量达到

，经过两年木材存量达到

.返回第三十八页，共五十五页，2022年，8月28日利润问题

某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?解题过程分析：个利润×销售量=总利润第三十九页，共五十五页，2022年，8月28日解:设每千克水果应涨价x元,依题意得:(500-20x)(10+x)=6000整理得:x2-15x+50=0解这个方程得:x1=5x2=10（舍去）要使顾客得到实惠应取x=5答:每千克水果应涨价5元.第四十页，共五十五页，2022年，8月28日

某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至

元/千克,则本月份销售量(千克)与(元/千克)之间满足一次函数关系.且当时；当时．（1）求与之间的函数关系式；第四十一页，共五十五页，2022年，8月28日

某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至

元/千克,则本月份销售量(千克)与(元/千克)之间满足一次函数关系.且当时；当时．（2）已知该种水果上月份的成本价为5元／千克，本月份的成本价为4元／千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？第四十二页，共五十五页，2022年，8月28日面积问题有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）提醒：一般从面积或体积找等量关系解：设这个台布的长为x尺,根据题意得（6+2x）（3+2x）=6×3×2

解答略第四十三页，共五十五页，2022年，8月28日复习一元二次方程第四十四页，共五十五页，2022年，8月28日一元二次方程与其他知识结合1.一元二次方程与分式结合典型题:若分式的值为零,

则x的值是

.第四十五页，共五十五页，2022年，8月28日一元二次方程与几何图形结合典型题:若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是

.第四十六页，共五十五页，2022年，8月28日

在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，求：（1）几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半？（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？BAC动态几何PQ第四十七页，共五十五页，2022年，8月28日PABCQ第四十八页，共五十五页，2022年，8月28日效果检测1.方程x2=7x

的解是

.2.对于任意的实数x,代数式x2－5x＋10的值是一个()A.非负数B.正数C.整数D.不能确定的数3.能使分式的值为零的所有的值是()A、1B、-1C、1或-1D、2或-14.方程2x2-2x-1=0的解是

．5.若关于的方程x2-3x+q=0的一个根x1的值是2．则另一根x2及q的值分别是（）

A.x2=1,q=2B.x2=-1,q=2C.x2=1,q=-2D.x2=-1,q=-2返回第四十九页，共五十五页，2022年，8月28日效果检测6.把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式,在方程的两边需同时加上的式子是A.9m2 B.9m