2022年四川省达州市中考数学试卷

2022年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个数中，最小的数是A．0 B． C．1 D．2．（3分）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是A． B． C． D．3．（3分）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金垭机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为A．元 B．元 C．元 D．元4．（3分）如图，，直线分别交，于点，，将一个含有角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于A． B． C． D．5．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为A． B． C． D．6．（3分）下列命题是真命题的是A．相等的两个角是对顶角 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．若，则 D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是7．（3分）如图，在中，点，分别是，边的中点，点在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是A． B． C． D．8．（3分）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为A．9 B．12 C．15 D．189．（3分）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为A． B． C． D．10．（3分）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，，在该函数图象上，则；⑤方程，为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）计算：．12．（3分）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为．13．（3分）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为．14．（3分）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是．15．（3分）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．，，记，，，，则．16．（3分）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．点，在运动过程中，始终保持，连接，，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）计算：．18．（6分）化简求值：，其中．19．（7分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：92，92，94，94．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数96众数98方差28.628根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中，，；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？20．（8分）某老年活动中心欲在一房前高的前墙上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到．（参考数据：，，；，，21．（8分）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．（1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？22．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（8分）如图，在中，，点为边上一点，以为半径的与相切于点，分别交，边于点，．（1）求证：平分；（2）若，，求的半径．24．（11分）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】（1）如图2，当时，则；（2）如图3，当点，重合时，请直接写出，，之间的数量关系：；【深入探究】（3）如图4，当点，不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（4）如图5，在与中，，若，为常数）．保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．25．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接，在该二次函数图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点．若点为轴上方二次函数图象上一动点，过点作直线，分别交直线于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

2022年四川省达州市中考数学试卷答案与试题解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个数中，最小的数是A．0 B． C．1 D．【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出答案．解：，最小的数是．故选：．2．（3分）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．解：．是轴对称图形，故此选项符合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：．3．（3分）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金垭机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为A．元 B．元 C．元 D．元【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．解：26.62亿．故选：．4．（3分）如图，，直线分别交，于点，，将一个含有角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于A． B． C． D．【分析】根据平行线的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，即可得到结论．解：，，，，故选：．5．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为A． B． C． D．【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．故选：．6．（3分）下列命题是真命题的是A．相等的两个角是对顶角 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．若，则 D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是【分析】根据对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式判断即可．解：、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；、若，时，则，原命题是假命题；、在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是，是真命题；故选：．7．（3分）如图，在中，点，分别是，边的中点，点在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是A． B． C． D．【分析】利用三角形中位线定理得到，，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．解：，分别是，的中点，是的中位线，，，、当，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；、，，，，四边形为平行四边形，故本选项符合题意；、根据，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；、，，，由，，，不能判定，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；故选：．8．（3分）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为A．9 B．12 C．15 D．18【分析】证明，求得，设，用表示、，由勾股定理列出方程即可求解．解：四边形是矩形，，，将矩形沿直线折叠，，，，，，，，，设，则，，，中，，，解得（舍去0根），，故选：．9．（3分）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为A． B． C． D．【分析】此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长为，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就三角形的面积三个弓形的面积．解：设等边三角形的边长为，，解得，即正三角形的边长为2，这个曲边三角形的面积，故选：．10．（3分）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，，在该函数图象上，则；⑤方程，为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有个．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①正确，判断出，，的正负，可得结论；②正确．利用对称轴公式可得，，当时，，解不等式可得结论；③错误．当时，；④错误．应该是，；⑤错误．当有四个交点或3个时，方程，为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程，为常数）的所有根的和为2．解：抛物线开口向上，，抛物线与轴交于点，，，，，故①正确，，当时，，，，故②正确，当时，，故③错误，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，点，到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，，，故④错误，方程，为常数）的解，是抛物线与直线的交点，当有四个交点或3个时，方程，为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程，为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，故选：．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）计算：．【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．解：，故．12．（3分）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为．【分析】根据，求出，即可．解：，，，由作图可知，垂直平分线段，，，，故．13．（3分）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为52．【分析】菱形的四条边相等，要求周长，只需求出边长即可，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理求边长即可．解：四边形是菱形，，，，，，，，，在中，，菱形的周长．故52．14．（3分）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为：，恰有3个整数解，，，故．15．（3分）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．，，记，，，，则5050．【分析】利用分式的加减法则分别可求，，，，利用规律求解即可．解：，，，，，，，，故5050．16．（3分）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．点，在运动过程中，始终保持，连接，，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是①②④⑤．【分析】①正确．证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论．解：如图，四边形是正方形，，，在和中，，，，故①正确，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，故④正确，，，，，四点共圆，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故②正确，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，，，，，，，，故③错误，连接，，，，，的最小值为，故⑤正确，故①②④⑤．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）计算：．【分析】根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．解：原式．18．（6分）化简求值：，其中．【分析】先对分子分母因式分解，再通分，将除法变为乘法，约分后代入求值即可．解：原式，把代入．19．（7分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：92，92，94，94．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数96众数98方差28.628根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中30，，；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；（2）根据八年级的众数高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；（3）利用样本估计总体思想求解可得．解：（1），八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，；在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，，故30，96，93；（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是：（人，答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是540人．20．（8分）某老年活动中心欲在一房前高的前墙上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到．（参考数据：，，；，，【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得的长，然后再根据锐角三角函数，即可得到的长．解：作交于点，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，解得，，，，即此遮阳篷的长度约为．21．（8分）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．（1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；（2）设每件恤衫的标价至少是元，根据题意列出不等式解答即可．（1）解：设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据题意可得：，解得：，经检验是方程的解，，答：该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元；（2）解：（件，设每件恤衫的标价至少是元，根据题意可得：，解得：，答：每件恤衫的标价至少是80元．22．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法求解即可；（2）解方程组求出点的坐标，利用割补法求三角形的面积；（3）有三种情形，画出图形可得结论．解：（1）一次函数经过点，，，，反比例函数经过点，，反比例函数的解析式为；（2）由题意，得，解得或，，，；（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点的坐标为或或．23．（8分）如图，在中，，点为边上一点，以为半径的与相切于点，分别交，边于点，．（1）求证：平分；（2）若，，求的半径．【分析】（1）连接，证明，再利用等腰三角形的性质平行线的性质即可解决问题；（2）连接，过点作于点，，推出，设，，则，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，再根据，构建方程求解即可．（1）证明：连接．是的切线，是半径，是切点，，，，，，，，平分；（2）解：连接，过点作于点，是直径，，，，设，，则，，，，，，，，的半径为．24．（11分）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】（1）如图2，当时，则；（2）如图3，当点，重合时，请直接写出，，之间的数量关系：；【深入探究】（3）如图4，当点，不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（4）如图5，在与中，，若，为常数）．保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由平行线的性质和等腰直角三角形的定义可得的值；（2）先根据证明，得，