2016届高考数学大一轮总复习(理科)第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积

学必求其心得，业必贵于专精第2讲空间几何体的表面积与体积一、选择题1．棱长为2的正周围体的表面积是（）．A.错误!B．4C．4错误!D．16剖析每个面的面积为：错误!×2×2×＝错误!。∴正周围体的表错误!面积为:43.答案C2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（）．A．2倍B．2倍C。倍D.错误!错误!错误!倍剖析由题意知球的半径扩大到原来的错误!倍,则体积V＝错误!πR3，知体积扩大到原来的22倍．答案B3．一个几何体的三视图以下列图，那么此几何体的侧面积（单位:cm2)为（）．学必求其心得，业必贵于专精A．48

B．64

C．80

D．120剖析

据三视图知

,该几何体

是一个正四棱锥(底面边长为8），直观图如△PAB的边AB上的高，且PE体的侧面积是S＝4S△PAB＝4×

图，PE为侧面＝5.∴此几何错误!×8×5＝80（cm2）．答案C4．已知三棱锥S－ABC的所有极点都在球O长为1的正三角形，SC为球O的直径，且积为

的球面上,△ABC是边SC＝2，则此棱锥的体(

)．A。错误!B.错误!C.错误!D.错误!剖析在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝错误!＝错误!；同理SB＝错误!。过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB,因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形,因∠ASC＝30°，故AD＝错误!SA＝错误!，学必求其心得，业必贵于专精则△ABD的面积为错误!×1×错误!＝错误!，则三棱锥的体积为错误!×错误!×2＝错误!。答案A5．某品牌香水瓶的三视图以下（单位：cm)，则该几何体的表面积为（)．A.错误!cm2B。错误!cm2C.错误!cm2D.错误!cm2剖析该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2错π×误!1－2×π错误!2＝94＋错误!。答案C6．已知球的直径SC＝4,A，B是该球球面上的两点，AB＝错误!，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为(）．学必求其心得，业必贵于专精A．3错误!B．2错误!C.错误!D．1剖析由题可知AB必然在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D,设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即切割成两个棱锥S—ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝错误!x，又因为SC为直径，因此∠SBC＝∠SAC＝90°,因此∠DCB＝∠DCA＝60°,在△BDC中，BD＝错误!4－x)，因此错误!x＝错误!（4－x），因此x＝3，AD＝BD＝错误!,因此三角形ABD为正三角形，因此V＝错误!S△ABD×4＝错误!。答案C二、填空题7．已知S、A、B、C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC，AB⊥BC,SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于________．剖析将三棱锥S－ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，因此2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π。答案4π8．以下列图,已知一个多面体的平面张开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．学必求其心得，业必贵于专精剖析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为错误!，连接极点和底面中心即为高，可求得高为错误!,因此体积V＝错误!×1错误!＝错误!.×1×答案错误!9．已知某几何体的直观图及三视图以下列图，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．剖析借助常有的正方体模型

解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面

AB1D1

与面CB1D1

截去两个角所得

,其表面

由两个等边三角形、四个直角三角形和一个

正方形组成．计算得其表面积为

12＋4错误!。答案

12＋4错误!学必求其心得，业必贵于专精10．以下列图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为极点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．剖析设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心,O到平面AB1D1的距离是体对角线长的错误!,即为错误!。又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3错误!，由勾股定理可知,截面圆的半径为错误!＝2错误!，圆锥底面面积为S1＝π·（2错误!)2＝24π，圆锥的母线即为球的半径3错误!，圆锥的侧面积为S2＝π×2错误!×3错误!＝18错误!π.因此圆锥的全面积为S＝S2＋S1＝18错误!π＋24π＝18（错误!＋π.答案(18错误!＋24）π三、解答题11.一个几何体的三视图以下列图．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为错误!，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1）求该几何体的体积V;（2）求该几何体的表面积S.学必求其心得，业必贵于专精解（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为错误!，因此V＝1×1×错误!＝错误!.(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1,因此AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S＝2×(1×1＋1错×误!＋1×2）＝6＋2错误!.12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，以下列图，求CP＋PA1的最小值．解PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转变成平面上的问题解决．铺平平面A1BC1、平面BCC1，以下列图．计算A1B＝AB1＝错误!，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．CP＋PA1≥A1C。在△AC1C中，由余弦定理，得A1C＝错误!＝错误!＝5错误!，学必求其心得，业必贵于专精故（CP＋PA1)min＝5错误!.13．某高速公路收费站入口处的安全表记墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该表记墩的主视图和俯视图．1)请画出该安全表记墩的左视图;(2）求该安全表记墩的体积．解（1）左视图同主视图，以下列图:2)该安全表记墩的体积为V＝VPEFGH＋VABCDEFGH22×20＝错误!×40×60＋4064000（cm3）．14．如图(a），在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°,CD∥AB，AB4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC，获取几何体D－ABC，如图（b)所示．学必求其心得，业必贵于专精（1)求证：BC⊥平面ACD;(2）求几何体D－ABC的体积．1)证明在图中,可得AC＝BC＝2错误!，从而AC2＋BC2＝AB2，故A