2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(八)

一、选择题：本大题共

小题，每小题

分，共

分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

是正六边形

ABCDEF

相等的向量是（ ）A． B

． ． ．．如图是谢宾斯基（）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{}的前

}的通项公式可以是（ ）A．=3 B．=2n﹣

．=3

．=2．已知平面向量

，

满足

•

=1

|=2

|=1，则

，

的夹角为（ ）A． B． ． ．．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．π

B．π

．π

．π．设

m，

是不同的直线，α，β

是不同的平面，以下四个命题中正确的是（ ）A．若

α⊥β，m∥α，则

m⊥β

B．若

α∥β，m⊥α，∥β，则

m∥．若

α∥β，m∥α，∥β，则

m∥

．若α⊥β，⊥α，m⊥β，则m⊥．如图正方体

ABCD﹣AB中，点

E

是棱

AB的中点，则直线

AE

与直线

B

所成角的余弦值为（ ）A．．

B．﹣

．

．化简的结果为（

）A．﹣+

B．﹣+．﹣

．﹣﹣ABC

A，B，

所对的边分别为

，b，则△ABC

的形状是（ ）A．直角三角形

B．等腰三角形．等腰直角三角形

．等腰或直角三角形

=

，．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A

处时测得公路北侧一铁塔底部

在西偏北

的方向上，行驶

后到达

B

在西偏北

的仰角为

，则此铁塔的高度为（ ）A． m

B． m ． m ． meq

\o\ac(△,10)．在 ABC

中，∠ |=2 |=3，点

满足 =2 ，则 • =（ ）A．

B．

．

．．如图所示，⊥平面

，∠，△

与△

全等，且二面角

B﹣﹣

是直二面角，动点

在线段

AB

上，则

与平面

所成角的正切的最大值为（ ）A．

B． ． ．．等差数列，，，，，，…），（，），（（，，），

，，，），…则第

组中

）（A． B．（﹣） ．﹣

．二、填空题（共

小题，每小题

分，满分

分）．计算：﹣= ．}满足+=2项和= ．．已知

（α﹣β）=

，β=

，则

（α+ ）= ．

﹣ABC

的所有顶点都在球

AB⊥AC，SA⊥AC，，

，若顶点

到

BC

边中点的距离为

，则球

的体积为

．三、解答题：本大题共

小题，共

分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.eq

\o\ac(△,17)．已知锐角 ABC

中内角

A，B，

所对的边分别是

，b，，且满足 ．（）求角

B

的大小；（）若

b= ，+，求△ABC

的面积．．已知向量

=（，

），

=（，﹣）．（）当

∥

时，求

的值；（）设函数

（）=（

+

）•

，已知

（θ）=

且

＜θ＜

，求

θ的值．．如图，正方形

ADEF

与梯形

ABCD

所在的平面互相垂直，⊥，AB∥，，，

为

CE

的中点．（I）求证：∥平面

ADEF；（Ⅱ）求证：平面

BDE⊥平面

BEC．}中，=1，设}的前

项和，且满足n+1+．（+}的通项公式；（）设b= ，T为数列{b}的前

项和，函数（）=﹣+﹣+﹣，若T＞（）对所有的∈*和

∈R

都成立，求实数

的范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共

小题，每小题

分，共

分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

是正六边形

ABCDEF

相等的向量是（ ）A． B

． ． ．【考点】相等向量与相反向量．【分析】用向量相等的定义：不但模相等且方向相同判断即可．【解答】解：如图示：与 相等的向量是： ， ， ，故选：．．如图是谢宾斯基（）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{}的前

}的通项公式可以是（ ）A．=3 B．=2n﹣

．=3

．=2【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】}的前

项，分别得出，即可得出{}的通项公式．【解答】}的前

项，分别为：=1，=3，=3×，=3×，因此{}的通项公式可以是：=3．故选：A．．已知平面向量

，

满足

•

=1

|=2

|=1，则

，

的夹角为（ ）A． B． ． ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用向量的数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：平面向量

，

满足

•

=1

|=2，|

|=1，设

，

的夹角为

θ，可得

θ=可得 ．故选：B．

=

=

，．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．π

B．π

．π

．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体为底面半径直径为，高为

的圆柱的一半，求出体积即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为，高为

．体积

故选：A．

=π．．设

m，

是不同的直线，α，β

是不同的平面，以下四个命题中正确的是（ ）A．若

α⊥β，m∥α，则

m⊥β

B．若

α∥β，m⊥α，∥β，则

m∥．若

α∥β，m∥α，∥β，则

m∥

．若α⊥β，⊥α，m⊥β，则m⊥【考点】的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由题意和线面垂直的定义，对答案项逐一验证，即可找出答案．【解答】解：若

α⊥β，m∥α，则

m、β

的位置关系不确定，故A

不正确；若

α∥β，m⊥α，∥β，则

m⊥，故

B

不正确；若

α∥β，m∥α，∥β，则

m∥

或

m，

相交或

m，

异面，故

不正确；在

β

内作直线

垂直于两个平面的交线l

⊥lα⊥β⊥α，∵⊥α，∴∥，∵m⊥β， β，∴m⊥，∴m⊥，正确．故选：．．如图正方体

ABCD﹣AB中，点

E

是棱

AB的中点，则直线

AE

与直线

B

所成角的余弦值为（ ）A． B． ． ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设

，则

（，，），A（，，），（，，），E（，，），B（，，）．=（，，）， =（，，）．∴ = = = ．∴直线

AE

与直线

B

所成角的余弦值为故选：A．

．． ﹣ 化简的结果为（ ）A．﹣+

B．﹣+．﹣

．﹣﹣【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简去根号，即可得解．【解答】解：= ﹣+﹣﹣．故选：．

﹣ABC

A，B，

所对的边分别为

，b，

=

，则△ABC

的形状是（ ）A．直角三角形

B．等腰三角形．等腰直角三角形

．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简可得，通过两角差的正弦函数，求出A

与

B

的关系，得到三角形的形状．【解答】解：因为：所以由正弦定理可得：

=

，可得：，

=

，整理可得：，所以

，所以

或

π﹣，所以

或

A+．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：．．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A

处时测得公路北侧一铁塔底部

在西偏北

的方向上，行驶

后到达

B

在西偏北

的仰角为

，则此铁塔的高度为（ ）A． m

B． m ． m ． m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设此山高

（eq

\o\ac(△,m)），在 BCD

BC，进而在△ABC

中利用正弦定理求得．【解答】解：设此山高

（m），则

，在△ABC

中，∠，∠，∠，．根据正弦定理得

，解得

h=故选

A．

（m）eq

\o\ac(△,10)．在 ABC

中，∠ |=2 |=3，点

满足 =2 ，则 • =（ ）A．

B．

．

．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得其几何意义求得 • =

=0，再利用两个向量的加减法的法则以及+

•

，从而求得结果．【解答】解：△ABC

中，∵∠ |=2，| |=3，点

满足 =2 ，∴ =0，则 • =（ + ）• =（ +

• ）• =[ +

•（ ﹣ ）]• =（ + ）• = +

•=

•=0=3，故选：．．如图所示，⊥平面

，∠，△

与△

全等，且二面角

B﹣﹣

是直二面角，动点

在线段

AB

上，则

与平面

所成角的正切的最大值为（ ）A．

B． ． ．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由

⊥平面

是

与平面

所成的角，当

最小时，∠

最大，由此能求出

与平面

所成角的正切值的最大值．【解答】解：∵⊥平面

，∠，△

与△

全等，且二面角

B﹣﹣

是直二面角，∴∠，则

⊥平面

，连接

，，则∠

是

与平面

所成的角，设

，则

，

，且

∠ = ，∴当

最小时，∠

最大，即

⊥AB，∴即

，

=

=

，∠

=

=

=

，∴

与平面

所成角的正切值的最大值是故选：．

．．等差数列，，，，，，…），（，），（（，，），

，，，），…则第

组中

）（A． B．（﹣） ．﹣

．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知求出前

﹣

组含有非负偶数个数，进一步求出第组的第一个数，再由等差数列的前

项和得答案．【解答】解：由已知可得，前﹣

组含有非负偶数个数为+++…+（﹣）= （≥），则第

组的第一个数为：

，∴第

组中

个数的和是故选：B．

．二、填空题（共

小题，每小题

分，满分

分）．计算：﹣=

．【考点】二倍角的余弦．【分析】由二倍角的余弦公式可得

﹣，从而得到结果．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，﹣=

．故答案为：

．}满足

+=2，则该数列前

项和

= ．【考点】等差数列的前

项和．【分析】由等差数列前

项和公式和等差数列的性质能求出结果．【解答】}满足

+=2，∴该数列前

项和：=故答案为：．

=

．．已知

（α﹣β）=

，β=

，则

（α+

）=

﹣

．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵（α﹣β）=

，β=

，则

α=tan[（α﹣β）+β]=

=

，（α+ ）=

=

=﹣

，故答案为：﹣

．

﹣ABC

的所有顶点都在球

AB⊥AC，SA⊥AC，，为 ，则球

的体积为

，若顶点

到

BC

边中点的距离．【考点】球的体积和表面积．【分析】取

BC

的中点

，连接

，，证明

SA⊥平面

ABC，将三棱锥

﹣ABC

， ，可得三棱锥

﹣ABC

的外接球的半径，即可求出球

的体积．【解答】解：取

BC

的中点

，连接

，，则∵AB⊥AC，∴，∴

，∵，顶点

到

BC

边中点的距离为∴SA⊥，∵SA⊥AC，∩，

，∴SA⊥平面

ABC，∵AB⊥AC，∴三棱锥

﹣ABC

可以扩充为长方体，三边长为∴长方体是对角线长为 =2 ，

，

，，∴三棱锥

﹣ABC

的外接球的半径为

，∴球

的体积为故答案为： ．

=

．三、解答题：本大题共

小题，共

分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.eq

\o\ac(△,17)．已知锐角 ABC

中内角

A，B，

所对的边分别是

，b，，且满足 ．（）求角

B

的大小；（）若

b= ，+，求△ABC

的面积．【考点】正弦定理．（【分析】

）由已知根据正弦定理得 ，结合＞（，可求

，结合

B

的范围，即可求

B

的值．（）由余弦定理

，利用三角形面积公式即可得解得解．【解答】（本题满分为

分）解：（）由 ，根据正弦定理得，…∵＞，∴ ，则由△ABC

为锐角三角形，得

．

…（）∵b= ，+， ，∴由余弦定理有

b=a+﹣，…得

b=（+）﹣﹣，即

﹣（+

），解得

．…∴△ABC

的面积

=

．

…．已知向量

=（，

），

=（，﹣）．（）当

∥

时，求

的值；（）设函数

（）=（

+

）•

，已知

（θ）=

且

＜θ＜

，求

θ的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．（【分析】

（求解即可．（）利用向量的数量积化简求解，通过角的三角函数求出角的大小即可．）∵向量

=（，

），

=（，﹣）．

∥

，∴

+，于是

﹣

，…∴ = ．…（）∵函数（）=（

+

）•

=（+，﹣

）•（，﹣））++== （+

+）+

，…由题得 （θ+

）+

=

，即

（θ+

）=

，由

＜θ＜

，得

＜θ+

，∴θ+ = ，解得

．…．如图，正方形

ADEF

与梯形

ABCD

所在的平面互相垂直，⊥，AB∥，，，

为

CE

的中点．（I）求证：∥平面

ADEF；（Ⅱ）求证：平面

BDE⊥平面

BEC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．（【分析】

I）取DE

中点

，连接，，由三角形中位线定理易（得，四边形

为平行四边形，即∥，再由线面平行的判定定理即可得到

∥平面

ADEF；（II）由已知中正方形ADEF

与梯形

ABCD

所在的平面互相垂直，⊥，AB∥，，，我们易得到

ED⊥BC，解三角形

BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得

BC⊥平面

BDE

BDE⊥平面

BEC．【解答】证明：（I）取

DE

中点

，连接

，在△EDC

中，，

分别为

EC，ED

的中点∴∥，且

，由已知中

AB∥，，，∴∥AB，且

∴四边形

为平行四边形∴∥又∵⊂

平面

ADEF

平面

ADEF∴∥平面

ADEF（II）∵ADEF

为正方形∴ED⊥又∵正方形

ADEF

与梯形

ABCD