国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1

PAGEPAGE9(精华版)国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务11-6100%通过考试说明：20216×50%+终结性考试×50%11三章的名称是（．选择一项：A262成性考核作业的名称是（．选择一项：C33（．选择一项：AD.44（．选择一项：D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（．选择一项：B7100—1000方程的特解。等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。易程度可见一斑。问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。2（11（一阶线性非齐次微分）2（可降阶的高阶）3（克莱洛）方程4（伯努利5（一阶线性非齐次微分6（恰当导数）方程题目7（变量可分离）方程题目8（一阶隐式微分）9（全微分）10（齐次微分333文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完一、填空题1．微分方程是二阶微分方程．2．初值问题的解所满足的积分方3（就方程可积类型而言）4分方程是全微分方程（就方程可积类型而言5（方程可积类型而言（1）答：一阶，非线性答：四阶，线性答：三阶，非线性2．分离变量法求解下列方程：（1（2（3）2（1）解通积分为（2）即通积分为另外，是常数解，注:在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（积分）即可，常数解可以不求。（3）3．解下列齐次线性微分方程（1（2（1）方程可化为.令,则原方程可化为,即易于看出,是上面方程的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得(C)将换成,便得到原方程的解,(C)的通解为（为任意常数）原方程可化为,即易于看出,是上式的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得(C).将换成,便得到原方程的解(C).故原方程的通解为.4．解下列一阶线性微分方程：（1（2（1解先解齐次方程.其通解为.用常数变易法,令非齐次方程通解解先解齐.5．解下列伯努利方程1（2（1）解显然解显然是方程解.当时,两端同除,得.令,代入有它的解为，于是原方程的解，及6．解下列全微分方程：（1（2（1个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即.7．求下列方程的积分因子和积分：（1（2（1）yx1.58yx（1.58）得积分因子，即于是方程为全微分方程.取.于是通积分为.即.8．求解下列一阶隐式微分方程（1（2（1）（解显然是方程的解.当时,方程可变为,令,则上面的式子可变为.解出u得,.即.9（1（2（1解令,则.代入（为任意常数解化1．（a,b．求y=y(x)y(x0)=y0,ε＞0,存在＞x0,x＞[x0，x1y(x)M2，2．1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比,已知空152100kg30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：物体运动的微分方程；求5s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．1．解设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题其中为常数．解得设物体冷却到40℃所需时间为于是由得解得52分钟解取初始下滑点为原点轴正向垂直向下，设时刻速度为,距离为,由题意满足初值问题解得再由解得于是得到 5秒后,形考任务4常微分方程学习活动4第二章基本定理的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习第二章基本定理的综合练习第三章和第四章的综合练习目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争尽快掌握要求首先请同学们下载作业附件文档并进行填写文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分1.x李普希兹条件是保证一方程+ysinx=ex5．方程满XOY6．方程满足解的存在唯一性定XOY．7．XOY8．（x9．10．展解的存在在区间一定是开区间．二、计算题1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？（12）1．解（1)因为及在整个平面上连续,且满足存在唯一性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.（2)因为及在整个2.2解因为方程在整个平面上连续,除轴外,在整个平面上有界,所以除轴外在整个平面2.1（1（23．解1)因为在半平面上连续,当时无因为在的区域上连续,当时无界,所以如果方程有奇解,则奇解只能是显然是方程的解,是否为奇解还需要进一步讨论.为此先求出方程的通解由此可见对于轴上点存在通过该1．程的解在上存在．2．设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程的任一解在区间上有定义．3．设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为．4．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．5．假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，II=不可能出=-0=-=0即=这与解惟一矛盾6．证明由已知条件知方程存在零解．该方程满足解的存在7．证x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是．8．证明方程在全平面上满足解的存在1．1．解首先,由解析几何知识可知,满足的直线都是所求曲线.设(x,y)为所求曲线上的点，(X,Y)为其切线上的点,则过(x,y)的切线方程为.显然有此处abOxOyy,得到克莱洛方程,通解为所以,即为所求曲线方程.2．解设(x,y)为所求曲线上的点,(X,Y)为其切线上的点,则过(x,y)ab线在OxOy51（0,0）的积分曲线（．选择一项：2xoy（．选择一项：3（．选择一项：题目4方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是().选择一项：x5(0,0)择一项：6A(x),F(x)≠0一非零解()．选择一项：可以与x7nn+1（择一项：B.一条曲线题目8方程的任一非零解在平面上（）零点．选择一项：D.有无穷多个题目9三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间．选择一项：A.310（66n31．A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组，的任一x．2．n+1Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)线性相关的必要条件是n+15．若函数组在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式在区9．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零10N11y″+p(x)y′+q(x)y=0xOyx2n1．将下列方程式化为一阶方程组1（2）1（1）（2）2．求解下列方程组：（1（2（1）解方程组的系数阵为特征方程为：det(A-E)=a,b(A-E)==0,a+b=0．a=1,b=1,则得一特解同理,当时，所以方程组的解为（2）解方程组的系数阵为.特征方程为:det(A-E)=a,b(A-E)==0,是方程组对应于=故特征根所对应的实解为=,=所以方程组的解为程组：（1（2（1解方程组的系数阵为.特征方程为:det(A-E)==a,b(=0,即第一个方程有令，则于是由解得通解=.（2）征方程为:det(A-E)==.特征根为.通解解为.4．求解下列方程组：（1（2）4．解方程组的系数阵为，其特征方程为：det(A-E)==.特征根为,方程组有如下形式的解:代入原方程组有消去得令,则令,则所以方程组的解为（2）解首先求出相应齐次线性方程组的通解.对应齐次方程的系数阵为.其特征方程为：det(A-E)==a,b(A-E)==0,ab=0a=b=1,则得一特解同理,当时，所以对应齐次线性方程组的通解为然后运用常数变易法5．已知方程的一个解，求其通解．解：由通解公式6．试求下n（1（2）6（1）它们对应的解为:方程通解为:.（2）解特征方程为:特征根为:它们对应的解为:方程通解为:.7．试求下述各方程满足给定的初始条件的解：（1（2，7（1）由初始条件有:,解得.所以方程的初值解为n程的通解：（1（28（1）.（2）解由于，.因为不是特征根，故已知方程有形如的特解．将上式代入原方程，可得，所求通解为.三、证明题1．