初中数学：最短路径求最值12个模型详解

第第页共8页初中数学：最短路径求最值12个模型详解姓名：指导：日期：初二数学最短路径问题【问题槪溢】银卡R路径冋題是團论研究中的一个经典算法问题：盲在寻找图〔由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括；:①确定起点的最短路径问題-即已知起始结点’求锻短路径的问题.②确定终点的最垣路径问题-与确定起点的冋题相反，该问题是已知终结结点，求最垣路径的问题.冷确定起点终点的爲短路径问题-即已知起点和线点’求两结点之间餉勰短路径.④全局蟲短路徑问题-求图中所有的最短踣径.【问題原型】“将军牧马3“造桥选址二“辭点：【涉及知谊】■■網点之间线嚴氨短冷“垂线段巔短”「-三毎刑三边关系叫嘲对称\“平移叙【出題背景〕角、三角形、蓋形、拒吆正方晦、拂形，圆1坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对栢点实甥“折”转“直二近两年出现“三折垓”转“启T芳变式问题若査.【十二个基本问题】【问题1]柞法图舷原理1At•甘在直线/上求一点巴便刖+PB值最蕊连如与/交痰即为巴AR两点之间线段最短，鬼+PR最極值为「敗【问题21«»军饮马、作法原理叫J作西关于/的对称点连A/i\与/交点即为厂简单初中生J「两点之间线段蟲短.用+円?最小值为讨/}\

在直线F上求一点巴ffi瘗册值最小.tHK3]作法J團矗腫理/“zh在直线IJ上井别求点仏N,i^A/>WV的周长罐小+分别件点F关于两自线的对称点P1和P'；连a;与两直线交点即为必M@简单初中主M,•p»两点之间线段呆短.pmzz的最伞值为线逾厂严,的长，【问題4】作法图矗原理厶在直线,仃上分别*点M、■使四边出/\>u.v的周长眾小.分别作点0*P关于直线人，心的对称点0'和P连0卩；与两直线交点即为业N.V"严两点之间线段锻张鼻四边時心爪周长的最小值为线段P'P、‘的£【问题刃“适桥选址F惮法图磷膿理-•_*■1V•J直线册//kt在也、n.上分别求点M.曲使MN丄刖，且总灯+械加+阳的值最小.將点A向下平移处的长度单位得A\连用战交”于点他过N作胡制丄加于忧=^=-■/T两点之间线段蛊短.A\f+X/\^iN的最肌值为A'fl+VA；

【问题"作法图刑原理□1t1MITN在直线/上求两点科5在左儿使AfjV=a,并便的值撮小.梅点A向右平移M牛长度单位^A\作.4'关于/的对称点彳；连A黑交直线丿于点#将N点向左平移灯个单位得W.4ArM:A■.|T*Atl两点之间结段锻斑-.^f+MN+fiN的最屮2直为A仲他i【问题门作法图形原理£在h上求点A.在儿上求点乩使PA+AJ1慣作点P关于人前对称点尸：件尸;?丄匚于/?,交打于A.£◎b点到直线，垂线段最短.PA^AB的巔小値为线段P7?的长*【问题8】作法图形原理.VR彳为片上一定点，k为4上一定点，在4上求点磧在人上求点鼠使/f.-W+M'V+A'W的值最小.件点A芙于人的对称点川\作点*关于人的对称点「连AH1交4干慎交片于臥IT«/\/\/tlA'两点之间线段長短.AM+MN+NK的蟲小值为线段川矿的论

【问题叮作法图形原理1在直线/上求一点耳使鬥-纲的值最少.连労乩作丿加的中垂线与:M钱丿的交点即垂直平分上的点到线段两端点的距离相|F4-?7i|=氏【剛£10]作法图形原理-■J在直线/上求…点匕便\PA-纲的値噩大.作直线4艮与直线/的交点即为只.rl三甬盘任意两边之差小于第三边*懈-纲曲因\pa-ph\的最大值=AB.【问题11】件法图形原理A»/在直线f上求一点匕便'rA-pn\的值最大.件R关于/的对称点H1作直线AH；与/交点即为P.■711ff三角形任意两边之差小于第三边+|旳-』训MRS戶i-f购最人值=4/J'.【问题"】“赛马点”件法图形原理厶me中每一宵爲都小于120°,在内求一点P、便^4+PB+PC值備小.所求点为“费马点S即满足fiPC=WAP(J120°,以AB、A「为边向外作等边AABD.H：、连C7JxHE相交于P,点F即为所求.AC两点之间短.PA+PR+PC>小值=CD.【例题及解析】例1如图1,在直角梯AB('D中，ZABC^^O0,AD//BC,AD=4.AB=5,BC=6k点卩是几忖上一牛动点.当I忙+FD的和遍寸诵寸，四的长为1}(A)l(Ff)2(C)25(D)3阳I分析此题首先要确定P点的位董，可以延怅CB〔或DA)的一倍”即CB=BM,再连接MD交AE于点巩大家可以思若一下P盘的正确性与合理性一可运用两点之间。线段最垣这一性质〉.我们可以通过aMPB-ADPA,从而求出卩B的长丫故选D.例2如图2’AARC中，AB=AC=13.BC=W,川)是边上的中堆，F为AD上的动点，E^AC边上的动点.则CE+EF的谎小值为-分折显黙，本题撚要确定两个动点K和片那么，怎样确定这两牛点呢？我们可以过点R作BE丄AC交AD于点厂从面确定了E和F点(大家可以用从直线外一点与肓钱上所有点的连线中，垂线段最毎来加以说明).此时工F+EF=BE.用他临=+仙-BC三抽-兀匚构迤方程，求HlffE=詈.即CE+EF的垠小和为罟.例3如團3,已却平面直資塑标系中，H(2a一3人B(4,-t).⑴若点卩凶0)是X轴上的一个动点，当APAB的周恢最短时，求x的值］(2)着C、门是X轴上的两亍动点，且口2,町，CD=3,当四边形ABCD的周怅最短时,求日的僧：卩)设M,N分别为x轴、y轴上的动点，问:是否存在遠样的点M(m,0)5ftN(0,n)P使得四边秤ABMN的周长强垣？若存在，求出mTb的值.若不存在，请说聊理由.分新与解⑴如图二找出A(或0)关于r轴的对称点知，连结A田交x轴于点P,设直^AiB的解祈式为尸kix+bi.将九馆稣BQ-I)代入，褥故y=-2\-故y=-2\-+7?r=0时,±=--.I打阳』K4门)如图％过A点作X轴的平行线，幷戡取AA,=?.画点A|关于工轴的对称点.g连结人田交X铀于点仁再存汶轴上裁販「口=乩可得阖长最短的四边ARCI)(大家也可以利用两点之间，线段最娠，来证明凰短周长的正确性).由題倉，可対4t(5.J).设由題倉，可対4t(5.J).设AtB的玄线解析集为y工打工+1>±.启2.-I)代儿轉如團耳我们可以先分别找出仏B关于y軸和x魅前对称点九和乩再连结AtRi,分别交X轴和y轴于点M与2此时*四边ABMN的周從是最短的(同释,可戍用两点之间’线股嚴短来加以证明〉.设九隔的宜线解析式沏y=k/+旳.将钳-監代人"得例斗如團①四边形AIKD是正右形，M星对角线BD上的任恿一点.（I）当点时在何处时，AM4-CM的值谥小？⑵当点削在何址时，AM十BM+CM的值最小？井说明理由一HUIS7分析（1｝（如風叫显酬，连结加？与BD的交点即为阳点（可利用两点之间，线段羅逅来证明〉一（可如图人以九B为边在正右形外画等边三角形ABE,连