35拉格朗日中值定理与洛必达法则

子项目3.1拉格朗日中值定理与洛必达法则能力目标：了解拉格朗日中值定理及几何意义;掌握用洛必达法则求。和竺未定式的08极限.任务引入：求lim坦七宜,(a>0)的值.xTax-a任务分析：对于这个极限，当xTa时,分子和分母同时都趋向于零，用我们原来几种求极限的方法都不能解决，学了本项目以后我们将很轻松的求出这类极限的值.相关知识：1.了解拉格朗日中值定理及其几何意义.2.掌握用洛必达法则求。型和竺型未定式极限的方法.08一、拉格朗日(Lagrange)中值定理Th3.1(拉格朗日中值定理)：设函数/•(*)满足下列条件：在闭区间［a,b］上连续；在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点&,(&与a,b有关)，使得f，(&)=f(b)-f(a).(3-1)b—a定理证明从略.定理的几何意义：因为等式(5T)的右面表示连接端点(A(a,f(a)),B(b,f(b)))的线段所在直线的斜率，定理表示，如果f(x)在［a,b］上连续，且除端点A,B外在每一点都存在切线，

那么至少有一点P化,f化))处的切线与AB平行.例1：验证f(x)=x2在区间［1,2］上拉格朗日中值定解：显然f(x)=x2在［1,2］上连续且在(1,2)上可导，所以拉格朗日中值定理成立.f(x)=2x,令f⑵—f⑴=f⑴，即3=2x，得x=1.5.2-1所以，&=1.5.例2：证明当b>a>0时，不等式3a2(b-a)<b3-a3<3b2(b-a)成立。由拉格证：设f(x)=x3，xeCa，b］，则f(x)在区间Ca，b］上连续，在(a，b)内可导，朗日定理，得b3-a3=3&2（b一a）（a<&<b）由拉格于是，有3a2（b一a）<b3一a3<3b2（b一a）.例3:证明不等式史产<ln-<〜对任意0<a<b成立.证：改写欲求证的不等式为如下形式：1lnb—lna1bb一aa因为Inx在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，所以据拉格朗日中值定理有lnb—lna1/=(lnx)£=—,(a<&<b)，b一ax=&&因为a<&<b，1<：<所以(1)成立.原不等式得证.注：拉格朗日中值定理可以改写成另外的形式.如f(b)-f(a)=3)(b-a)或f(b)=f(a)+广(&)(b-a)，a<&<b；TOC\o"1-5"\h\zf(x)=f(x)+f低)(x-x)，也在x,x之间)；(3-2)000f(x+Ax)-f(x)=f'忑)Ax或Ay=f'(^)Ax,(x<&<x+Ax;x,x+Axe[a,b]);(3-3)一般称(5-3)形式为拉格朗日中值定理的增量形式，其中的中间值&与区间端点有关.推论1如果f'(x)三0,xe(a,b)，则f(x)三C(xe(a,b),C为常数)，即在(a,b)内f(x)为一个常数函数.证：在(a,b)内任取两点x,x(不妨设x<x).TOC\o"1-5"\h\z1212因为[x,x]u[a,b]，所以f(x)在[x,x]上连续，在(x,x)内可导.于是由拉格朗日121212中值定理有f(x)-f(x)=f'(&)(x-x),(x<&<x)212112又因对(a,b)内一切x都有f'(x)=0.&在x1,x2之间，当然在(a,b)内，所以f'(&)=0，于是得，f(x)—f(x)=0，即f(x)=f(x).2121既然对于(a,b)内任意两点x,x都有f(x)=f(x)，那就说明f(x)在(a,b)内是一个1221常数．以前我们证明过“常数的导数等于零”，推论1说明它的逆命题也是对的.推论2如果f'(x)三g'(x),xe(a,b)，则f(x)三g(x)+C，(xe(a,b)，C为常数).证：因为[f(x)一g(x)]'=f'(x)一g'(x)三0,xe(a,b)，据推论1，得f(x)一g(x)三0,,(xe(a,b),C为常数)，移项即得结论.二、洛必达法则若当xTX0时，两个函数f(X),g(X)都是无穷小或无穷大，则求极限lim如时不能直0g(X)接用商的极限运算法则，其结果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而异.因此常把两个无穷小之比或无穷大之比的极限，称为0型或巴型未定式(也称为0型或空型未定型)极限.1.0型未定式0Th2(罗必塔(L’Hospital法则I)：设函数f(x)和g(x)满足:⑴lim⑴limf(x)=0xTx0limg(x)=0；xTx0(2)函数f(x),g(x)在x0的某个邻域内(点x0可除外)可导，且g'(x)尹0;lim=a,(A可以是有限数，也可为3,+3,-3)xTx0g(x)lim也=limd=a.xTx0g(x)xTx()g(x)注：法则对于xT3,xT±3时的0型未定式同样适用.0例4：求下列0型未定式的极限0(1)].lnx(1)].lnx-lna<。)；xTax-a(2)].71—arctanxx—T+31X(3)x—sinxlimt0sin3x解：(1)这是0型未定式，由罗必塔法则，得limlnx—Inax—a(lnxlimlnx—Inax—a(x—a))—1(2)这是0型未定式，由罗必塔法则，得0TOC\o"1-5"\h\zi~-arctanx口(—一arctanx)'口-1口x2「1]x—>+8Tx—>+8(1)x—>+81x—>+81+"2x_—+81+1xxx2x2(3)极限是0型未定式，使用罗必塔法则得0x—sinx(x—sinx)'1—cosxlim=lim=lim；x—osin3xx—o(sin3x)'$—o3sin2xcosx最后的极限仍然是极限是0型未定式，继续使用罗必塔法则得0x一sinx(1一cosx)'sinxlim=lim=limx—osin3xx—o(3sin2xcosx)'x—o6sinxcosx一3sin3x11=lim=_-x—o6cosx—3sin2x68型未定式8Th3(罗必塔(L'HospitaD法则II)：设函数f(x)和g(x)满足:⑴limf(x)=8，limg(x)=8；x—xx—x(2)函数f(x),g(x)在xo的某个邻域内(点xo可除外)可导，且g'(x)尹O;⑶lim旦立=a,(A可以是有限数，也可为8,+8,—8)，x—xOg(x)lim也=limd=a-xxog(x)xx()g(x)注：与法则1相同，定理对于x—8,x—±8时的8型未定式同样适用，并且对使用后的得8到的8或o型未定式，只要导数存在，可以连续使用.例5：用洛必达法则求下列极限(1)tan3xlimtWtanx(2)lim旦lnx（n为自然数）;(3)lim-e（n为自然数）.解：（1）lim兀x—T2tan3(1)tan3xlimtWtanx(2)lim旦lnx（n为自然数）;(3)lim-e（n为自然数）.解：（1）lim兀x—T2tan3xtanx3sec23xlimwsec2xx—T2lim兀x—T23cos2xcos23x（0型未定式）06cosx(—sinx)=limw2cos3x(—3sin3x)x2sin2x=limksin6xx20型未定式）0(2)2cos2x1=lim=一兀6cos6x3XT2xnnxn—1lim=lim=limxT+8lnxxT+8丁xnx(3)lim=limexxxnx1n(n一1)xn-2=lim=limn(n—1)(n—2)xn3een!=lim—=0-例6：求limxT8x—sinx解：lim;=limT81-1sinx（本例虽属于8型，8(x)'但是limY=xT8Lx—sinxylim不存在,xT81—cosx因此洛必达法则无效，应考虑其他方法进行计算。）在使用罗必塔法则时，应注意如下几点：（1）每次使用罗必塔法则时，必须检验极限是否属于0型或8型未定式，如果不是这种08未定式就不能使用该法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，然后再利用罗必塔法则，以简化演算步骤;(3)当lim山不存在时，并不能断定lim也不存在，此时应使用其他方法求极限.g'(x)g(x)例7：证明lim抒匝工存在，但不能用罗必塔法则求其极限.x-0sinxx2sinix1x1证：lim=limxsin—=limlimxsin—=0，x-0sinxx-0sinxxx-0sinxx-0x所给的极限存在为0.又因为这是0型未定式，可利用罗必塔法则，得0Ix2sint].2xsin丁一costx-0sinxx-0cosx最后的极限不存在，所以所给的极限不能用罗必塔法则求出.其他类型的未定式对函数f(x),g(x)在求x-x0,x-3,x-±3的极限时，除0型与2型未定式之外，还有下列一些其他类型的未定式：0-3型：f的极限为0、g的极限为3或相反，求f(x)-g(x)的极限；3-3型：f,g的极限为3，求f(x)-g(x)的极限；13型：f的极限为1、g的极限为3，求f(x)g(x)的极限；00型：f,g的极限为0，求f(x)g(x)的极限；30型：f的极限为3、g的极限为0，求f(x)g(x)的极限.这些类型的极限，也不能机械地使用极限的运算法则来求，其极限的存在与否因式而异.这些类型的未定式，可按下述方法处理：对(1)(2)两种类型，可利用适当变换将它们

TOC\o"1-5"\h\z化为0型或竺型未定式，再用罗必塔法则求极限；对(3)(4)(5)三种类型未定式，则直接08=limeg(x)inf(x)=elimg(X)ln=limeg(x)inf(x)例8：求下列极限(I)limxnInx,(n>0)；(2)lim(~^——)；(3)limXX.xT0+1X—1lnXxT+8解：(1)这是0.8型未定式，可将其化为8型未定式.8lnx丁X，limx，lnx=lim=limx=lim=0.00x—11T0—，x—11—10—，(2)这是8—8型未定式，通过“通分”将其化为0型未定式.0lnx+1—1=limxT1+lnx+x-1x,x1.xlnx—x+1xt1+xlnx+1—1=limxT1+lnx+x-1x=lim=limx=—xT1+lnx+1—~xT1+丁+寻2这是80型未定式，将其化为0.8型，再将其8型未定式.8—-1li^Hx1—li^He［血x—li^ne"x—e1血一eEm［—e0—1.imxx—mex—mex—ext+8x—ext+81—e=xxx练习题3-1判断题设函数f(x)在［a,b］上有定义，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)，则至少有一一点Ee(a,b)，使广(g)=0；设f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且在［a,b］上有f'(x)<g'(x)，则有f(b)—f(a)<g(b)—g(a)；设函数f(x)在［a,b］上可导.若f(a)尹f(b)，则不存在ge