专升本《高等数学》课程的应试策略

专升本?高等数学?课程的应试(yìngshì)策略第一页，共39页。往年(wǎngnián)考题题型及各题型所占分值2001年2002年2003年2004年选择题30分50分60分50分填空题20分30分30分30分判断题10分10分计算题36分40分40分40分应用题10分14分14分14分证明题4分6分6分6分2002年以来，往年试卷的分值及考试时间一直(yīzhí)保持不变〔试卷总分150分，考试时间为150分钟。〕，历年题型见下表：第二页，共39页。考试知识点及每个知识点在考卷(kǎojuàn)中的比例

考试内容

所占比例函数、极限与连续

约30%

一元函数的微分学

约32%一元函数的积分学

约30%

多元函数微积分

约30%

向量代数与空间解析几何

约8%

无穷级数

约10%

常微分方程约10%历年来，专升本考试的数学内容是固定的，总体上有四局部，它们(tāmen)分别是：一元函数的微积分；多元函数的微积分〔包括空间解析几何知识〕；常微分方程；无穷级数。具体内容及所占比例如下表：第三页，共39页。每类题型的求解(qiújiě)方法指导一、单项选择题的求解(qiújiě)方法方法一：直接求解法。即从题设条件出发，经过合理的演算、推理得出结论，然后，观察(guānchá)选项中哪一个符合要求。举例：例1当时，无穷小是比的〔〕Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ同阶无穷小Ｄ等价无穷小指导：比较两个无穷小阶数的上下，方法是：求二者商的极限。

注：请注意解题方法！这种题是每年必考题。第四页，共39页。例2设向量那么(nàme)向量与的夹角为〔〕Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指导：求两向量的夹角时，可利用它们的数量积公式(gōngshì)进行计算。例３级数的敛散性为〔〕

Ａ绝对收敛(shōuliǎn)Ｂ条件收敛(shōuliǎn)Ｃ发散Ｄ敛散性不能确定指导：这类题求解时，应首先看是否绝对收敛？很明显，其绝对值级数为：，的级数，收敛第五页，共39页。方法(fāngfǎ)二：逐一验证法。即将所给选项按照题设要求逐一的演算、推理检验，从中找出符合题设的选项。举例(jǔlì)：例1以下函数中，是函数的原函数的是〔〕Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指导：作这个题就需要逐一验证，首先(shǒuxiān)，你应明白何谓“原函数〞？，然后逐一检验。如果，的一个原函数。

，其余都不满足，故应选Ｃ。注：原函数的概念也很重要，要牢记。第六页，共39页。例２在区间上，以下(yǐxià)函数中不满足罗尔定理条件的是〔〕Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指导：该题的求解，应在掌握罗尔定理(dìnglǐ)条件的根底上，对四个选项逐一验证。罗尔定理(dìnglǐ)的条件是：⑴上函数连续；⑵内函数可导⑶该题的四个选项中，Ａ、Ｃ、Ｄ满足定理条件，而Ｂ不满足。方法三：排除法。即首先排除明显错误的选项，逐步缩小选择范围，再进行比较和验证，最终选择一个正确答案。第七页，共39页。举例例1，那么(nàme)等于〔〕。指导该题可用“方法一〞---直接求解法寻求答案(dáàn)。只需作变换，令，即可得到的关系式，进而得。也可用恒等变形的方法求得。该题也可用排除法求解。由，当时，会得，而将代入4个选项中，分别(fēnbié)得、4、4、0，因此，选项A、D可排除。再令，会得，而将代入B选项，得数9，因此B可排除，最后，选C.

A、B、C、D、第八页，共39页。例2等于(děngyú)〔〕；ABCD指导：因该题是求微分的，结果中应含微分记号(jìhɑo)，故A、B选项可排除；再根据可变上限的积分求导性质，最终应选C.方法四：赋值验证法。即将条件中的变量或关系式，赋给一些(yīxiē)符合要求的数值或关系式，会得一结论；再观察选项中哪一个选项与命题结论相符。举例：例1满足方程的函数是〔〕A、B、C、D、指导：在方程中，令，可得，满足此条件的函数有和，又方程两边求导得，满足该条件的只有，故D正确。第九页，共39页。例２，且，那么(nàme)函数在处〔〕A、导数(dǎoshù)存在，且；B、导数(dǎoshù)一定不存在；C、取得极大值；D、取得极小值。指导(zhǐdǎo)：取满足条件的函数，由该函数的性质知，A、B、C全错，应选D例３设，那么等于〔〕；

A、B、C、D、指导：由条件，将代入，可得，而在四个选项中，满足条件的只有B.第十页，共39页。方法(fāngfǎ)五：图像法。即借助函数的图像直观地判断函数的性质、状态举例：例1设在区间上可导，且，那么(nàme)函数在内〔〕；A、至少有两个零点(línɡdiǎn)；B、有且仅有一个零点(línɡdiǎn)；C、没有零点(línɡdiǎn)；D、零点(línɡdiǎn)的个数不确定指导：由于，知函数严格递增，又，于是，函数图像如图，直观可看到B选项正确。例2函数在点处〔〕；A、无定义；B、不连续；C、连续不可导；D、连续又可导。

指导：函数的图像如图，C选项正确。第十一页，共39页。方法六：变量替换(tìhuàn)法。即通过变量替换(tìhuàn)，把不熟悉的关系式化为熟悉的关系式，进而解答问题的方法。举例(jǔlì)：例1曲线在处〔〕；A、有极大值B、有极小值C、有拐点(ɡuǎidiǎn)D、无拐点(ɡuǎidiǎn)指导：令，命题转化为判断在处的性态；的曲线形状大家比较熟悉，如图，正确答案为C.例2设级数在点处收敛，那么级数在处〔〕；

A、绝对收敛；B、条件收敛；C、发散；D、敛散性不定指导：令，该命题可化为，级数在处收敛问处的敛散性；由绝对收敛定理知，A选项正确。第十二页，共39页。二、填空题的求解(qiújiě)方法填空题往往考察某一知识点中的根本概念、根本性质、根本运算；因此，做这样(zhèyàng)的题需按照以下方法进行：方法一：紧扣知识点，顺藤摸瓜。即遇到题首先弄清楚它考的是哪一章节的什么(shénme)知识，然后再据这一知识的概念、性质、运算，推得结论进而得出答案。举例例1极限＿＿＿；指导：很明显，该题是一道极限计算题，如何求极限呢？总体方法是，先判断极限类型，然后按照这种类型的极限求法求极限。该极限可看到是极限，于是，可用罗比塔法那么、可用等价无穷小的替换，也可用重要极限等方法求极限。极限值是例2设，那么指导：该题是考察导数概念的题，要把导数定义中的极限与所给极限比较，进而求得极限。通过比较和恒等变形，可得极限为-3。第十三页，共39页。例3指导：该题含有求导符号，因此(yīncǐ)是求导运算题，又被求导的函数是积分上限函数，于是，求导时要利用积分上限函数的性质。被求导的函数(hánshù)是与复合而成的函数(hánshù)，故其导数为：方法二：注重技巧，少走弯路。即有些题型的求解是有技巧的，方法正确(zhèngquè)，易于求出结果，方法不恰当，解题就困难。几个重要结论：⑴

⑵⑶第十四页，共39页。⑷⑸①②等等(děnɡděnɡ)举例(jǔlì)例1________;指导(zhǐdǎo):该题可利用三角函数的高阶导数公式求得结果。请你一定要记住这些公式！第十五页，共39页。例2积分(jīfēn)指导：该定积分的积分区间是关于坐标原点对称的区间，因此，使我们想到考虑(kǎolǜ)被积函数的奇偶性；容易知道，被积函数是奇函数，故积分为0。例3积分(jīfēn)指导：该题入手方法同例2，具体如下：例4设直线在平面内，那么常数=——；指导：直线在平面内，意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直从而，它们的数量积为零。第十六页，共39页。三、判断题的求解(qiújiě)方法判断题常常考试容易模糊的概念、容易出错的运算(yùnsuàn)、容易迷糊的性质。这类题的求解需注意以下几点：⑴、理清概念(gàiniàn)。如：①对于一元函数，②③④对于多元函数，

⑵、牢记运算性质。如：①如果②如果级数第十七页，共39页。③对于(duìyú)一元函数，

④⑶严格运算(yùnsuàn)，注重细节。举例例1判断以下(yǐxià)命题是否正确？⑴、如果函数在点处无定义，那么不存在；⑵、如果函数在点处不可导，那么曲线在处无切线；第十八页，共39页。⑶、如果(rúguǒ)函数在点处的两个偏导数皆存在；那么函数在点处全微分存在；⑷、如果(rúguǒ)，那么。⑸、如果(rúguǒ)，那么级数收敛；⑹、如果(rúguǒ)函数在处取得极值，那么；⑺、如果(rúguǒ)点是曲线的拐点，那么；⑻、；⑼、设，那么；⑽设，；提示(tíshì)：这类问题很多，请细心思考！第十九页，共39页。四、计算题的求解(qiújiě)方法这几年，专升本试卷中计算题的类型是较固定的，每年都是8个题，且它们分别是：⑴、求一元函数的极限；⑵、求一元函数的导数；⑶、求一元函数的不定积分；⑷、求一元函数的定积分；⑸、多元(duōyuán)复合函数的求偏导；⑹、二重积分的计算；⑺、将函数展开成幂级数〔或求幂级数的收敛区间〕；⑻、常微分方程的求解。㈠、一元(yīyuán)极限的求解方法：求极限时，应首先判断极限类型，然后才能选择适宜的方法；这几年的求极限题皆为不定式极限，总体的方法是用罗比塔法那么求极限；当然，在求极限过程中，也要考虑其它求极限的技巧，以便更快地求出极限来。第二十页，共39页。举例(jǔlì)例1求指导：首先看能否代入求极限，通过(tōngguò)判断发现不能，该极限是型不定式极限，可考虑用罗比塔法那么求极限。

〔也可用等价(děngjià)无穷小替换求解〕第二十一页，共39页。㈡、一元函数的求导方法(fāngfǎ)求一元函数(hánshù)的导数时，应首先看该函数(hánshù)的结构，判断是复合函数(hánshù)，还是四那么运算产生的函数(hánshù)，还是幂指函数(hánshù)，还是隐函数(hánshù)，然后按相应的求导法那么求导数。举例(jǔlì)：例1设指导：该函数是幂指函数，可用对数求导法求导数，也可用复合求导法那么求导数。第二十二页，共39页。㈢、求一元函数积分(jīfēn)的方法无论一元不定积分还是定积分，求积分时，首先要看被积函数的结构，看它属于哪个积分方法的可积类型(lèixíng)，然后，按相应的方法积分。如：被积函数中含有根式时，要利用变换换元脱去根式进行积分；被积函数是对数或反三角函数时，用分部积分法积分等。举例(jǔlì)：例1求以下积分：⑴⑵指导对第一个积分容易看到，被积函数无微分关系，只能用分部积分法积分，且注意到：，故积分如下：

对于第二个积分，被积函数特点是含有根式，于是，可用换元积分法积分。具体如下：第二十三页，共39页。方法二：凑微分法。具体(jùtǐ)如下第二十四页，共39页。例2求积分(jīfēn)⑴⑵指导这两个积分皆为定积分，从积分的特征看到，第一个积分是偶函数在对称区间上的积分，且被积函数可化简，然后用凑微分(wēifēn)法积分；第二个积分，从特征看，需用分部积分法积分．具体如下：解⑴第二十五页，共39页。⑵第二十六页，共39页。㈣多元复合函数(hánshù)偏导数的求法指导：这几年，多元复合函数(hánshù)的偏导计算题，往往是含字母的抽象函数(hánshù)的求导，关键要弄明白变量间的关系，然后按变量间的关系连线图求导。举例例设其中皆具有二阶连续(liánxù)的偏导数，求指导首先应明确，求导次序是：先对求偏导，然后对求偏导；具体求导时，函数是两项的和，需分别求导向加；而每一项又是复合函数，需用复合求导法那么求导。解第二十七页，共39页。第二十八页，共39页。㈤二重积分的计算(jìsuàn)计算二重积分是一类很重要的运算，每年必考。计算的总体方法是：①先画出积分区域；②根据(gēnjù)积分区域特征、被积函数特征，选择坐标系；③在该坐标系内，把积分区域用不等式表示；④把二重积分化为二次积分计算。举例例１求积分，其中是圆在第一象限(xiàngxiàn)中的局部。解积分区域如以下图区域可表示为：第二十九页，共39页。于是(yúshì)，〔在内，〕第三十页，共39页。㈥幂级数的展开(zhǎnkāi)或运算指导：把函数展开(zhǎnkāi)为幂级数时，常常用间接的方法；这其中需要记几个常用函数的幂级数展开(zhǎnkāi)式，如：，利用它们的展开(zhǎnkāi)式，利用级数的运算，可间接地把一些函数展开(zhǎnkāi)成幂级数。举例例将函数展开(zhǎnkāi)成的幂级数，并求其收敛区间。指导首先，需把该分式函数分解为简单分式，然后，再展开成幂级数。解〔让函数中出现〕第三十一页，共39页。在将展开成幂级数时，其收敛(shōuliǎn)区间为：；在将展开成幂级数时，其收敛(shōuliǎn)区间为：，故，函数展开的级数的收敛(shōuliǎn)区间是第三十二页，共39页。㈦微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的求解指导微分方程求解的方法(fāngfǎ)是：先判断方程的类型，然后，根据方程的特点，选择适宜的求解方法(fāngfǎ)。举例(jǔlì)例求微分方程满足条件及的解。指导：该方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，首先，求其齐次方程的通解，然后，构造非齐次方程的特解，进而，得到非齐次方程的通解。最后，将初始条件代入，求出满足条件的特解。解：方程的特征方程为：，于是，特征根为于是，有齐次方程的通解又，自由项是特征方程的单根；故，可设方程的特解为，代