数学23《等比数列》教案(苏教版必修5)2

第9课时：§2.3等比数列（3）【三维目标】：一、知识与技术1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前n项和公式；掌握等比数列的前n项和的公式，并能运用公式解决简单的实质问题；二、过程与方法经过公式的推导过程，提升学生的建模意识及研究问题、剖析与解决问题的能力，领会公式研究过程中从特别到一般的思想方法，浸透方程思想、分类议论思想及转变思想，优化思想质量．从“错位相减法”这类算法中，领会“除去差异”，培育化简的能力经历等比数列前n项和的推导与灵巧应用，总结数列的乞降方法，并能在详细的问题情境中发现等比关系成立数学模型、解决乞降问题。三、感情、态度与价值观经过经历对公式的研究，激发学生的求知欲，鼓舞学生勇敢试试、勇于研究、敢于创新，磨炼思想质量，从中获取成功的体验，感觉思想的奇怪美、构造的对称美、形式的简短美、数学的谨慎美．【教课要点与难点】：要点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．难点：等比数列的前n项和公式的推导．打破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生感情和思想的喜悦点，激发他们的兴趣，鼓舞学生大胆猜想、踊跃研究，实时地给予鼓舞，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特色下手，教师在学生主体下赐予适合的提示和指导.【学法与教课器具】：1.学法：由等比数列的构造特色推导出前n项和公式，进而利用公式解决实质问题教课方法：采纳启迪和研究-建构教课相联合的教课模式.教课器具：多媒体、实物投影仪.【讲课种类】：新讲课【课时安排】：1课时【教课思路】：一、创建情形，揭露课题第一回想一下前两节课所学主要内容：1．等比数列的定义：假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比往常用字母q表示（q0），即：anq（q0）an12.等比数列的通项公式:ana1qn1(a1q0)，anamqm1(a1q0)3．{an}成等比数列an1=q（nN,0an0{an}成等比数列的必需非充分条件q≠）“≠”是数列an4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：若a,G,b成等比数列，则G2ab,G叫做a与b的等差中项.6．性质：若mnpq(m,n,q,pN)，则amanapaq7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性二、研探新知1．等比数列前n项和公式的推导：方法一：错位相减法一般地，设等比数列a1,a2,a3,L,an,L的前n项和是Sna1a2a3Lan，Sna1a2a3LanSna1a1qa1q2La1qn2a1qn1n由a1qn1得qSna1qa1q2a1q3La1qn1∴(1q)Sna1a1q,ana1qn当qa1(1qn)a1anq当q1时，Snna11时，Sn1或Sn1qq这类乞降方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列乞降的一个重要方法注意：（1）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；（2）注意乞降公式中是qn，通项公式中是qn1不要混杂；（3）应用乞降公式时q1，必需时应议论q1的状况．方法二：运用等比定理有等比数列的定义，a2a3anqa1a2an1依据等比的性质，有a2a3anSna1qa1a2an1Snan即Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）Snan环绕基本观点，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．方法三：运用方程思想(提取公比q)Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)＝a1qSn1＝a1q(Snan)(1q)Sna1anq（结论同上）“方程”在代数课程里据有重要的地位，方程思想是应用十分宽泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题获取解决一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是方法四：由等次幂差公式直接推得（详略）三、怀疑辩论，排难解惑，发展思想例1求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和.解：由a11,a22得q2，S41(124)1(1210)1023，从第5项到第1215，S101210项的和为S10-S4=1008例2一条信息，若一人得悉后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的此外两人，这样持续下去，一时节间可传遍多少人？解：依据题意可知，获知此信息的人数成首项a11,q2的等比数列，则：一天内获知此信息的人数为：S41224224112例3（教材P51例1）求等比数列{an}中，（1）已知；a14，q1，求S10；（2）已知；a11，2ak243，q3，求Sk．a1(110)4[1(1)10]1023a1anq12433q2364．解：（1）S101q1128；（2）Skq13112例4在a,b之间插入1010个数的和个数，使它们同这个数成等比数列，求这例5（教材P51例2）求等比数列{an}中，S37，S663，求an；22解：若q1，则S62S3，与已知S37，S663矛盾，∴q1，进而S3a1(1q3)7①，221q2S6a1(1q6)63②．②：①得：1q39，∴q2，由此可得a11，∴an12n12n2．1q222例6（教材P例3）求数列1111的前n项和．12,24,38,L,n2n,L51解：Sn(11)(21)(31)L(n1n)(123Ln)(111L1n)2482248211n(n1)2(12n)n(n1)11．21122n2说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采纳分组乞降．例7等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项为哪一项54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sa80,S2n6560，求：（1）通项公式an；（2）前100项之和S100例8设数列{an},a15，若以a1,a2,,an为系数的二次方程：an1x2ax10(nN且6nn2）都有根且知足331，（1）求证：{an1、}为等比数列；（2）求an；（3）求{an}2的前n项和Sn。四、稳固深入，反应改正五、概括整理，整体认识1.等比数列乞降公式：当q1时，