求证全等三角形的几种方法

求证全等三角形的几种方法课程解读全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是此后学习其余知识的基础。判断三角形全等的公义有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，假如所给条件充分，则可直接依据相应的公义证明，可是假如给出的条件不全，就需要依据已知的条件联合相应的公义进行剖析，先推导出所缺的条件而后再证明。一些较难的证明题要结构适合的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就能够化难为易了。典型例题全等三角形协助线找全等三角形的方法：（1）能够从结论出发，找寻要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；2）能够从已知条件出发，看已知条件能够确立哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确立哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行行，可考虑增添协助线，结构全等三角形。三角形中常有协助线的作法：①延伸中线结构全等三角形；②利用翻折，结构全等三角形；③引平行线结构全等三角形；④作连线结构等腰三角形。常有协助线的作法有以下几种：（1）碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD均分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延伸线于点E。求证：BD=2CE。解答过程：证明：延伸BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，进而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ABD和ACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。（2）若碰到三角形的中线，可倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知

ABC中，AD是∠BAC的均分线，

AD又是

BC边上的中线。求证：

ABC是等腰三角形。?解答过程：?证明：延伸AD到E，使DE=AD，连结BE。又由于AD是BC边上的中线，∴BD=DC又∠BDE=∠CDABED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的均分线∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=EB，进而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解题后的思虑：题目中假如出现了三角形的中线，常加倍延伸此线段，再将端点连结，即可获得全等三角形。（3）碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC均分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。解答过程：证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC均分∠BAD，CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解题后的思虑：①对于角平行线的问题，常用两种协助线；②见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延伸线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。解答过程：证明：过E作EG//AC交BC于G，则∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，DE=DF。解题后的思虑：本题的协助线还能够有以下几种作法：例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP均分∠BAC交BC于P，BQ均分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。解答过程：证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思虑：1）本题也能够在AB上截取AD=AQ，连OD，结构全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也许多，举比以下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO进而得以解决。④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP进而得以解决。小结：经过一题的多种协助线增添方法，领会增添协助线的目的在于结构全等三角形。而不一样的增添方法实质是从不一样门路来实现线段的转移的，领会结构的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的看法能够看到，无论是作平行线仍是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换结构了全等三角形。5）截长法与补短法，详细作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明。这类作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。解题后的思虑：碰到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，而后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延伸，延伸部分等于另一条短线段，而后证明新线段等于长线段。1）对于证明相关线段和差的不等式，往常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想方法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延伸某边组成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角均分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称此后关系现。角均分线平行线，等腰三角形来添。角均分线加垂线，三线合一试一试看。线段垂直均分线，常向两头把线连。线段和差及倍半，延伸缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连结则成中位线。三角形中有中线，延伸中线等中线。同步练习（答题时间：90分钟）这几道题必定要仔细思虑啊，都是要增添协助线的，开动脑筋好好想想吧！加油！你必定行！1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD均分∠ABC。求证：∠BAD+∠BCD=180°。2、已知，如图2，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD。求证：∠BAP+∠BCP=180°。3、已知，如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。试题答案1、剖析：由于平角等于180°，因此应试虑把两个不在一同的角经过全等转变成为平角，图中缺乏全等的三角形，因此解题的重点在于结构直角三角形，可经过“截长法或补短法”来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延伸线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠DAE=∠DCF。又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°2、剖析：与1相近似，证两个角的和是180°，可把它们移到一同，让它们成为邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因此本题合用“补短”进行全等三角形的构造。证明：过点P作PE垂直BA的延伸线于点E，如图2-2Rt△APE≌Rt△CPD(SAS)，∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°。∴∠BAP+∠BCP=180°3、剖析：从结论剖析，“截长”或“补短”都可实现问题的转变，即延伸AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。证明：方法一（补短法）延伸AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图3-2∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，FD=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。4、证明：（方法一）将DE两边延伸分别交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE；①在△BDM中，MB+MD>BD；②在△CEN中，CN+NE>CE；③由①+②+③得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC（方法二：图4-2）延伸BD交AC于F，延伸CE交BF于G，在△ABF、△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF①GF+FC>GE+CE②DG+GE>DE③由①+②+③得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC。5、剖析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，因此有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左侧比要证结论多BD+CD，故不可以直接证出本题，而由2AD想到要结构2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB+AC>2AD。6、剖析：欲证AC=BF，只需证AC、BF所在两个三角形全等，明显图中没有含有AC、BF的两个全等三角形，而依据题目条件去结构两个含有AC、BF的全等三角形也其实不简单。这时我们想到在同一个三角形中等角平等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只需说明转移到同一个三角形此后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中方法一：延伸AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。经过证明∠H=∠BFH，获得BF=BH。∴△ADC≌△HDB(SAS)AC=BH，∠H=∠HACEA=EF∴∠HAE=∠AFE又∵∠BFH=∠AFE∴BH=BF∴BF=AC方法二：过B点作BH平行AC，与AD的延伸线订交于点H，证明△ADC和△HDB全等即可。小结：对于含有中点的问题，经过“倍长中线”能够获得