单元3点直线平面的投影模板

机械制图单元3点直线平面的投影模板点、直线、平面的投影单元3单元3点直线平面的投影模板单元3点、直线、平面的投影3.1点的投影3.2直线的投影3.3平面的投影单元3点直线平面的投影模板3.1.4各种位置点的投影3.1点的投影3.1.1点的三面投影及展开摊平3.1.2点的三面投影规律3.1.3点的三面投影与直角坐标的关系3.1.5两点的相对位置单元3点直线平面的投影模板投影时，要构成“人—物体—投影面”的关系，且点在三投影面体系中的位置不能改变。3.1.1点的三面投影及展开摊平点的三面投影的形成正投影法：投射线互相平行，且与投影面垂直

在V面上得到的投影叫正面投影，用a’表示

在H面上得到的投影叫水平投影，用a表示

在W面上得到的投影叫侧面投影，用a”表示单元3点直线平面的投影模板3.1.1点的三面投影及展开摊平投影面的展开90°90°单元3点直线平面的投影模板3.1.2点的三面投影规律OXZa’aa”aXaZYWaYWYHaYH（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX

轴，即：aa’⊥OX；（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即：a’a”⊥OZ；（3）点的水平投影到OX

轴的距离等于点的侧面投影到OZ

轴的距离，即：aaX=a”aZ；单元3点直线平面的投影模板3.1.2点的三面投影规律【案例3-1】已知A点的正面投影a’和水平投影a，求点A的侧面投影a”。a”●●a’aaz解法一:解法二:axzyHywaxzywyHaax●通过作45°转折线使：aaz=aax用圆规量取或画圆弧转角使：aaz=aaxazax单元3点直线平面的投影模板3.1.3点的三面投影与直角坐标的关系投影与坐标的关系:

点的投影与投影轴的距离，反映该点的坐标，也就是该点与相应的投影面的距离。a’aZ=aaYH=aXO=xAaaX=a”aZ=aYO=

yAa’aX=a”aYH=aZO=

zA怎样描述A点在三投影面体系中的位置？A点到W面的距离：A点到V面的距离：A点到H面的距离：Aa”=Aa’=Aa=A（XA，YA，ZA）单元3点直线平面的投影模板3.1.3点的三面投影与直角坐标的关系【案例3-2】求作点A（14，10，20）的三面投影。XAYAZA作图步骤:1.找出与三个坐标的对应值;2.在投影图的三个投影轴上截出坐标值;3.推平行线画出投影线;4.画点，并标出相应的字母。1.作点A的三面投影单元3点直线平面的投影模板3.1.4各种位置点的投影1.空间的点有一个坐标值为零。有二个坐标值为零。三个坐标值都为零。三个坐标值都不为零。2.投影面上的点3.投影轴上的点4.原点上的点三个投影都不在投影轴上。有二个投影落在二根投影轴上。有二个投影落在同一投影轴上。三个投影都在原点上。单元3点直线平面的投影模板3.1.4各种位置点的投影投影面上的点c“db“d"d"c"b"Ecb'bb‘bcZYHYWXODd’dee'Be"c'COXHVWYZc‘d‘e‘ee“投影轴上的点V面上的点BH面上的点CW面上的点D—OX轴上的点E特点：一个投影与点本身重合，另两个投影在投影轴上。特点：两个投影与点本身重合，另一个投影在原点。单元3点直线平面的投影模板3.1.5两点的相对位置

空间两点的相对位置由两点的坐标值大小来确定。

比较两点的各坐标值大小，就可判定两点的相对位置。1.两点的相对位置单元3点直线平面的投影模板3.1.5两点的相对位置X坐标值确定两点的左右位置：大者为左，小者为右；Y坐标值确定两点的前后位置:大者为前，小者为后；Z坐标值确定两点的上下位置：大者为上，小者为下；zBzAxBxAyAyB结论:B点在A点的左、前、下方。ZA>ZB：A上，B下YA<YB：B前，A后XA<XB：B左，A右YB-YAZA-ZBXB-XA单元3点直线平面的投影模板3.1.5两点的相对位置【案例3-3】已知A点到V面、H面、W面的距离分别为30、10、25，B点在A点的右15、后20、上25，求A、B两点的三面投影。作图步骤：1、分析A点。2、求A点的三面投影。3、分析B点。XAYAZA4、求B点的三面投影。X坐标差Y坐标差Z坐标差单元3点直线平面的投影模板3.1.5两点的相对位置当空间两点位于垂直于某个投影面的同一投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，则称这两点是该投影面的重影点。H

面上的重影点上者可见，下者不可见。V面上的重影点前者可见，后者不可见。W面上的重影点左者可见，右者不可见。YB-YAZA-ZBXB-XA（）B点在A点的正下方，或说A点在B点的正上方。2.重影点（）单元3点直线平面的投影模板结论：点的一个投影不能确定其空间位置结论：点的两面投影就可确定其空间位置3.1.5两点的相对位置

在三投影面体系中，点的每一个投影只能反映二对方向：XB-XAYB-YAZA-ZB

V面投影反映左右（X坐标）、上下（Z坐标）；

H面投影反映左右（X坐标）、前后（Y坐标）；

W面投影反映上下（Z坐标）、前后（Y坐标）。单元3点直线平面的投影模板3.1.5两点的相对位置【案例3-4】已知点的两面投影，求第三投影，并判断其空间位置及两点之间的相对位置。空间V面上Y轴上A点在B点的、、方

B点在

C点的、、方

A点在B点在C点在右前上左后上单元3点直线平面的投影模板3.2直线的投影3.2.4求一般位置直线的实长和对投影面的倾角3.2.1直线的三面投影3.2.2直线上的点3.2.3各种位置直线的投影特性3.2.5两直线的相对位置单元3点直线平面的投影模板3.2.1直线的三面投影

求直线AB的三面投影图时，可分别作出两端点A、B的三面投影，然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图。单元3点直线平面的投影模板3.2.2直线上的点①

直线上的点的投影，必在直线的同面投影。②

若点在直线上，则点分直线段长度之比等于其投影分直线段投影长度之比，反之也然。AKKBa’k’k’b’=AKKBakkb=AKKBa”k”k”b”=AKKBa’k’k’b’akkba”k”k”b”===同理可得：结论——定比性单元3点直线平面的投影模板3.2.2直线上的点【案例3-5】如图所示，试在直线AB上取一点C，使AC:CB=2:3。作图步骤:①取直线任一投影ab，过a作任一直线ak；②

将ak五等分，得1、2、3、4、5等分点；③连接b和5，自2作2c∥b5，则c即为所求；④由c求出c’。单元3点直线平面的投影模板3.2.2直线上的点【案例3-6】已知M点在AB直线上,求M点的另两面投影；并判断N点是否在直线AB上。作图步骤：１、求M点：2、判断N点在不在直线上，只要看N点的第三投影在不在直线的第三投影上就行了。

已知M点在直线上，所以M点的各投影应落在直线的各个同名投影上。方法一：作直线AB的第三面投影单元3点直线平面的投影模板3.2.2直线上的点【案例3-6】已知M点在AB直线上,求M点的水平投影；并判断N点是否在直线AB上。作图步骤：2、求M点：3、判断N点在不在直线上，只要看N点的两面投影是否符合定比性。用定比性求解。

已知M点在直线上，则：ammba’m’m’b’=方法二：单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性直线按与投影面的相对位置不同分为三类：一般位置直线投影面平行线投影面垂直线不平行于任一投影面的直线。与一个投影面平行，与另二个投影面倾斜的直线。与一个投影面垂直，与另二个投影面平行的直线。特殊位置直线特殊位置直线

直线与H面、V面、W面的倾角，分别用α、β、γ表示单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性投影特性:

三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线与投影面的真实倾角。一般位置直线的三面投影单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性投影面平行线正平线水平线侧平线——与V面平行的直线——与H面平行的直线——与W面平行的直线投影特性:（1）在平行的投影面上的投影，反映真长，且反映该直线与其他两个投影面的真实倾角。（2）在另外两个投影面上的投影，必分别平行于相应的投影轴，且长度缩短。单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性正平线投影特性:1.a’b’反映真实长度2.ab//OX，a”b”//OZ，且长度缩短。和α、γ角。单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性水平线投影特性:1.ab反映真实长度2.a’b’//OX，a”b”//OY，且长度缩短。和β、γ角。单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性侧平线投影特性:1.a”b”反映真实长度2.a’b’//OZ，ab//OY，且长度缩短。和α、β角。单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性投影面垂直线正垂线铅垂线侧垂线——与V面垂直的直线——与H面垂直的直线——与W面垂直的直线投影特性:（1）在垂直的投影面上的投影，积聚成一点。（2）在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴（与直线相平行的投影轴），且反映真长。单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性正垂线投影特性:1.a’b’积聚成一点。2.ab//OY，a”b”//OY，且反映真长。单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性铅垂线投影特性:1.ab积聚成一点。2.a’b’//OZ，a”b”//OZ，且反映真长。单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性侧垂线投影特性:1.a”b”积聚成一点。2.a’b’//OX，ab//OX，且反映真长。单元3点直线平面的投影模板3.2.4求一般位置直线的实长和对投影面的倾角一般位置直线的真长及与H面的倾角直角三角形法：

过A点作ab平行线，与Bb交得B0点，则AB0B为一直角三角形。

在直角三角形中：ZB-ZA

一条直角边等于水平投影AB0=ab；另一条直角边为两点的坐标差BB0=ZB-ZA；斜边

AB是真长；斜边与水平投影的夹角∠BAB0=α真长ZB-ZA单元3点直线平面的投影模板3.2.4求一般位置直线的实长和对投影面的倾角一般位置直线的真长及与V面的倾角直角三角形法：

过A点作a’b’平行线，与Bb’交得B0点，则AB0B为一直角三角形。

在直角三角形中：

一条直角边等于正面投影AB0=a’b’；另一条直角边为两点的坐标差BB0=YB-YA；斜边

AB是真长；斜边与正面投影的夹角∠BAB0=β

真长YB-YAYB-YA单元3点直线平面的投影模板3.2.4求一般位置直线的实长和对投影面的倾角用直角三角形求真长和倾角的方法：真长YB-YAYB-YAZB-ZA真长ZB-ZA求α水平投影Ｚ坐标差斜边是真长求β正面投影Ｙ坐标差斜边是真长求γ侧面投影Ｘ坐标差斜边是真长单元3点直线平面的投影模板3.2.4求一般位置直线的实长和对投影面的倾角用直角三角形求真长和倾角的方法：在这四个参数中，知道任二个参数都可以通过直角三角形得到另外二个参数。１.已知投影和真长，求倾角和坐标差。投影真长坐标差夹角２.已知投影和夹角，求真长和坐标差。投影夹角真长坐标差单元3点直线平面的投影模板3.2.3各种位置直线的投影特性【案例3-7】如图过A点作下列直线的三面投影。（1）直线AB平行于V面，长度为20mm，α＝30°，点B在点A的右上方。（2）正垂线AC长度为12毫米，点C在点A的前方。

（1）作点A的侧面投影

（2）作直线AB的三面投影

（3）作直线AC的三面投影：作图步骤：单元3点直线平面的投影模板3.2.4求一般位置直线的实长和对投影面的倾角【案例3-8】已知AB直线的正面投影及A点水平投影，并知道AB直线对V面的夹角为30°，求直线的水平投影。作图步骤：１、分析：2、作直角三角形，求坐标差。3、根据坐标差求投影。

水平投影在b’的投影线上，但具体位置由Y方向的坐标差决定。Y坐标差单元3点直线平面的投影模板3.2.4求一般位置直线的实长和对投影面的倾角【案例3-8】已知AB直线的正面投影及A点水平投影，并知道AB直线对H面的夹角为30°，求直线的水平投影。作图步骤：１、分析：2、作直角三角形，求坐标差。3、根据坐标差求投影。

水平投影在b’的投影线上，但具体位置由Y方向的坐标差决定。Z坐标差单元3点直线平面的投影模板3.2.4求一般位置直线的实长和对投影面的倾角【案例3-9】已知直线AB的实长L=30mm，及直线AB的水平投影ab和点B的正面投影b’，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a’b’。作图步骤：１、分析：2、作直角三角形，求坐标差。3、根据坐标差求投影。

点A的正面投影在a的投影线上，但具体位置由Z方向的坐标差决定。Z坐标差单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置两直线的相对位置平行相交交叉

在V、H两投影面体系中判断两直线的相对位置时，如有侧平线，则还需加W面投影或用其他的投影特性协助检查。共面直线异面直线单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置1.平行两直线投影特性：1）若空间两直线平行，则它们的各个同面投影也平行。（1）平行两直线的投影特性2）空间平行两线段的长度之比等于其同面投影长度之比。即若AB∥CD，则AB:CD=ab:cd=a‘b’:c‘d’=a“b”:c“d”

。单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置1.平行两直线（2）平行两直线的判断

1）两条一般位置直线，如有两组同面投影互相平行，即可判定此两直线在空间互相平行。

AB、CD是一般位置直线，且ab∥cd、

a‘b’∥c‘d’

，则AB、CD两直线在空间互相平行。单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置1.平行两直线（2）平行两直线的判断

2）对两条同一投影面的平行线，如果反映实长的投影互相平行，即可判定此两直线在空间互相平行。

AB、MN是正平线，且a‘b’∥m‘n’，则AB、MN两直线在空间互相平行。反映实长反映实长单元3点直线平面的投影模板

3）对两条同一投影面的平行线，如果所给的投影均不反映实长时，只有两面投影中各端点的投影符号顺序相同，且对应的投影长度之比符合定比性时，才可判定此两直线在空间平行。作e’F1∥g’H1，且使e’F1=ef，g’H1=gh；

如F1f’∥H1h’，则△eF1f‘∽△gH1h’，EF、GH的投影符合定比性，则EF、GH两直线在空间互相平行。3.2.5两直线的相对位置1.平行两直线（2）平行两直线的判断

单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置2.两直线相交投影特性：

若空间两直线相交，则它们的各个同面投影也相交，且交点符合点的投影特性。（1）相交两直线的投影特性单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置2.两直线相交（2）相交两直线的判断1）对两条一般位置直线，如果有两组同面投影相交，且交点符合点的投影规律，即可判定此两直线在空间相交。

AB、CD是一般位置直线，ab与cd、a’b’与c’d’

都相交，且kk’⊥OX，则交点k、k’符合点的投影规律，故直线AB、CD在空间相交。单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置2.两直线相交（2）相交两直线的判断2）当两直线中有一条直线为投影面平行线，所给的两面投影相交，但均不反映实长时，如果两直线的第三面投影相交，且交点符合点的投影规律，才可判定此两直线在空间相交。

CD是侧平线，a“b”与c“d”

相交，但交点不符合点的投影规律，故直线AB、CD在空间不相交。单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置2.两直线相交（2）相交两直线的判断3）当两直线中有一条直线为投影面平行线，所给的两面投影相交但均不反映实长时，如果两直线投影的交点分割该投影面平行线的投影长度之比符合定比性，即可判定此两直线在空间相交。

CD是侧平线，c1:1d

≠c‘1’:1‘d’，即空间点Ⅰ不在直线CD上，直线AB与CD在空间没有共有点，

故直线AB、CD在空间不相交。c11dc’1’1’d’≠单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置两直线交叉投影特性：

若空间两直线交叉，则它们的投影既不符合相交两直线的投影特性，也不符合平行两直线的投影特性。重影点单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置两直线交叉确定重影点投影可见性的方法：

从两交叉线的重影点向相邻投影作投射线，与这两交叉线的相邻投影各交得一点。按（W面上）左遮右、（V面上）前遮后、（H面上）上遮下的规定，确定在重影点的投影重合处，哪点可见，哪点不可见。单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置【案例3-10】ef∥gh、e’f’∥g’h’，试判断两直线EF、GH的相对位置。

ef∥gh、e’f’∥g’h’，所以EF、GH肯定不相交。直线EF、GH是侧平线，所给的两面投影均不反映实长，虽然ef∥gh、e’f’∥g’h’，但不能直言两直线平行。

分析：单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置【案例3-10】ef∥gh、e’f’∥g’h’，试判断两直线EF、GH的相对位置。

判断方法一

通过观察两组同面投影中各端点的投影符号顺序是否相同来判断。

两直线各端点正面投影的符号顺序与水平投影的符号顺序不一致。结论：EF、GH在空间不平行。单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置【案例3-10】ef∥gh、e’f’∥g’h’，试判断两直线EF、GH的相对位置。

判断方法二

加画W面，作出两直线的侧面投影e“f”、g“h”来判断。

e“f”与g“h”不平行。

结论：EF、GH在空间不平行。单元3点直线平面的投影模板3.2.5两直线的相对位置【案例3-10】ef∥gh、e’f’∥g’h’，试判断两直线EF、GH的相对位置。

判断方法三

利用两直线相交的特性来判断。

结论：EF、GH在空间不平行。(1)分别连e’h’和f’g’；再分别连eh

和fg；并延长。(2)从投影的交点向相邻投影作投影连线，(3)连线不重合，故EF与GH不共面。单元3点直线平面的投影模板3.3平面的投影3.3.1平面的表示法3.3.2各种位置平面的投影特性3.3.3平面上的直线和点单元3点直线平面的投影模板3.3.1平面的表示法几何元素表示法1.用几何元素表示（五种表示形式可以互相转换）⑴不在同一直线上的三点⑵一直线和线外一点。⑶相交两直线⑷平行两直线⑸平面图形单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性一般位置平面投影面平行面投影面垂直面不平行于任一投影面的平面。与一个投影面平行，与另二个投影面垂直的平面。与一个投影面垂直，与另二个投影面倾斜的平面。特殊位置直线特殊位置平面

平面与H面、V面、W面的倾角，分别用α、β、γ表示平面按与投影面的相对位置不同分为三类：单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性一般位置平面投影特性：三个投影都是面积缩小的类似形。单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性投影面平行面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映真形。正平面与V面平行，与H、W面垂直水平面与H面平行，与V、W面垂直侧平面与W面平行，与V、H面垂直2.在其他两个投影面上的投影，积聚成直线，平行于相应的投影轴。单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性正平面投影特性：1.V面投影反映真形。2.另两面投影积聚成直线，分别平行于OX、OZ轴。单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性水平面投影特性：1.H面投影反映真形。2.另两面投影积聚成直线，分别平行于OX、OY轴。单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性侧平面投影特性：1.W面投影反映真形。2.另两面投影积聚成直线，分别平行于OZ、OY轴。单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性投影面垂直面投影特性：1.在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，且反映与其他两个投影面的倾角。正垂面与V面垂直，与H、W面倾斜铅垂面与H面垂直，与V、W面倾斜侧垂面与W面垂直，与V、H面倾斜2.在其他两个投影面上的投影，为面积缩小的类似形。单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性正垂面投影特性：1.V面投影积聚为一直线，并反映α和γ角。2.另两面投影为面积缩小的类似形。αα单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性铅垂面投影特性：1.Ｈ面投影积聚为一直线，且反映β和γ角。2.另两面投影为面积缩小的类似形。ββ单元3点直线平面的投影模板3.3.2各种位置平面的投影特性侧垂面投影特性：1.Ｗ面投影积聚为一直线，且反映β和α角。2.另两面投影为面积缩小的类似形。βααβ单元3点直线平面的投影模板3.3.3平面上的直线和点ABCMNP直线在平面上的几何条件：R①如果一直线通过平面上的两个点，则此直线必在该平面内。②

如果一直线通过平面上的已知点且平行于平面内的另一直线，则此直线必在该平面内。

相交两直线AB、AC决定一平面P，在AB、AC上分别取点M、N，则过M、N两点的直线一定在平面P上。过点M作直线MR平行直线AC,则MR一定在平面P上。1.平面上的直线单元3点直线平面的投影模板3.3.3平面上的直线和点【案例3-11】已知直线MN在△ABC所决定的平面内，如图所示，求作其水平投影。作图步骤:①延长