非平凡极限法求导的问题及微积分中的导数、微分、积分、弧长的真实含义及求法

非平凡极限法求导的问题及微积分中的导数、微分、积分、弧长的真实含义及求法沈卫国内容摘要：以直观的二次函数为例，再一次系统地给出了通常极限法微积分求导过程中的问题，指出它并没有真正解决著名的贝克莱悖论问题。给出的理由逻辑清晰，推理严格，毋庸置疑。在导数的新定义下，给出了最简的得到导数的方法，并由此得到导数与微分、增量（差分）的协调一致。彻底消除了众所周知的自变量的微分定义问题。在新导数定义下，对积分问题进行了更加详尽的分析，指出传统极限意义的积分也是存在与贝克莱悖论等价的问题的，在笔者对积分的诠释下，所有问题都不再存在。对曲线长度（弧长）求法，笔者给出了一种全新的诠释，彻底消除了使人困惑的所谓“微分三角形”。它究竟是无穷小还是极限值，是不可能彻底搞清的。最后，对在新导数定义下的三角函数的求导问题以及传统三角函数求导过程中的问题，进行了一些诠释与说明。关键词：导数；极限；非平凡极限；虚拟；比式；微分；积分；弧长；曲线长度；三角函数；王文素；增量；差分；微分三角形；贝克莱悖论；二次函数；微积分基本定理笔者过去很多相关文章，早已说清了这个问题。鉴于现世鲜有人看长文章，总想写一个最简略的，但总是写着写着就多了。此文再做一次尝试（看来，仍是一次失败的尝试，后补）。为简单明确起见，一律以最简单的二次曲线为例说明。一、极限法微积分求导中的逻辑问题揭示_____只不过以隐蔽的贝克莱悖论替换了所谓“第一代微积分”中明显的贝克莱悖论而已二次曲线y=x2的增量函数方程经简化后为△y=2x·△x+△x2........................................................................................（1）上式也可以写成△y=2x·△x+△x2=（2x+△x）·△x=k（x，△x）·△x（2）其中k（x，△x）=2x+△x......................（3）自然可以看成二次曲线的割线方程的系数，也就是割线的斜率。而二次曲线y=x2的增量比值函数方程为△y/△x=（2x·△x+△x2）/△x=（2x+△x）·△x/△x=k（x，△x）·△x/△x........................（4）极限法微积分求导，针对的是（4）式。求分母上有自变量△x的这个增量比式当△x趋于0时的极限。这实际上并不是一个通常意义的正常的极限，因为（4）式的分母是自变量△x，但恰恰是它是要趋于0的。笔者称其为“非平凡极限”。极限法微积分求导，实际是先通过约分（或除法）消去分母上的自变量△x（实际是公式中的△x/△x）把（4）式化为（3）式后，再求（3）式中的△x→0的极限值。注意，此时自变量△x根本就不再在分母上了。大数学家柯朗在其名著«数学是什么»中写道：注意，柯朗明确说，如果不经过约分消去分母上的自变量这一步，（4式）在自变量△x→0的极限就是0/0（特别提出此点，是很多人居然不承认这个），而不仅仅函数值为0/0。他接着又说：“......而对此我们是根本不感兴趣的”。事实是，难道“我们不感兴趣的东西”就不存在了吗？极限法微积分求导，按其定义明确求的就是分母为自变量△x的增量比值函数△y/△x（4式）在△x→0的极限，这是其定义决定的。柯朗先是承认这点，然后又仅仅以“不感兴趣”为由否定它，当然是没有道理的。按柯朗的说法，贝克莱悖论不是在极限法求导中仍旧存在吗？如果不约分消去分母上的自变量，对非平凡的增量比式4式求其△x→0的极限，为0/0（柯朗的说法），而约分消去分母上的自变量后，等于对3式求△x→0的极限，为2x（极限法微积分求导的结论），不还是0/0=2x？这不是贝克莱悖论是什么？因此显然，极限法微积分求导（第二代微积分、标准分析）根本就没有解决贝克莱悖论问题。只不过把函数值的矛盾，改成了极限的矛盾而已。认为函数值有问题而极限无问题的看法，不成立。同理，如果可以如柯朗所言仅仅以“不感兴趣”为理由，我们不是也可以轻易否定在△x=0点的4式的本无意义的函数值0/0，也就是不承认这个0/0是二次函数增量比在0点的函数值（无论其有无意义），而是通过约分消去4式分母上的自变量后得到3式再对3式求△x=0时的函数值2x，从而就认为这个2x就是4式在0点的函数值（以替代原先的那个0/0）。如此，极限法微积分（第二代微积分、标准分析）还能有存在的必要吗？不是我们有同样的理由，可以就此声称贝克莱悖论在第一代微积分中就不存在吗？同一个理论，能采取两种态度、厚此薄彼如此，行吗？极限法微积分求导的思路，是因为在△x=0点的函数值是公认的0/0，会有贝克莱悖论问题，产生所谓的“第二次数学危机”，不行。于是就不考虑此点了（定义域不包括该点），在其它点，△x≠0，因此可以有分母为自变量△x（从（2）式到（4）式），以便再通过约分消去分母上的这个△x，得到（3）式。再令（3）式中的△x→0求其极限值。但如此，严格讲只能保证在△x≠0的所有点（定义域内），都可以约分消去分母上的△x，但并不能保证这个消去分母△x后的函数（公式3）在定义域外的△x=0点极限值就不是0/0（此例中就是“2x”）了。如果非要认为：1、公式4与公式3在△x=0点极限值一样；2、并且该极限值就是公式3的极限值，即非0/0型的2x。也就是3、对4式的约分消去分母上的△x后得到的3式，并不会使二者在△x=0点极限值不一样。如此的结论，是不是必须首先要给出一个明确的证明才能放心去做？而这种证明，反过来不通过约分消去分母上的自变量△x可以给出吗？当然不行，因为这就是一个循环论证，不能成立的。就算退一步，我们承认3式与4式在△x=0点的极限值一样，但前述第2点，这个一样的在△x=0点的极限值为什么非是3式的2x，而不是4式的0/0？柯朗不是也说了吗，不消分母，其极限值就是0/0，尽管他声称“不感兴趣”也罢。此外，按同样的逻辑，我们不是也可以反向推理，把一个原先在△x=0点的极限值为2x的3式，乘以一个△x/△x（对约分反向操作），得到4式，再令其中的△x→0，得到极限0/0，反过来说原先的3式在△x→0的极限值就是0/0，而不再是2x了？如果硬说因为0/0不合理、无意义（柯朗的话就是“不感兴趣”），就否定它（成为唯一的理由）的话，那么原先的公认的在△x=0点的函数值为0/0，大家不是承认的吗？我们不是同样可以以“不感兴趣”、无意义、不合理就否定它，而认为或规定4式在△x=0点的函数值就是2x而不是0/0？总之，极限法微积分求导无论从哪个角度都说不通的。只要还讲逻辑，还讲理。更何况笔者早就分析了，所谓的约分消分母，本质上就是把分母变成“1”，任何公式中只有“1”这个因子才可以“消去”不写。如果说比如5/5也可以“消去”不写，那也仅仅是因为它可以被简化为“1/1”或“1”。因此约分实际上等于把4式中的△x/△x先变成1/1，但此时其比式的特性不能变，只不过是把一个分母不为“1”的分式变成了分母为“1”的分式而已。绝对不是说约分了，原先的一个比式，就成了非比式了。约分没有这个“功能”。数值可以通过舍弃“1/1”而把分式化为非分式，但该式比式的性质不能变。这从物理量纲（作为两个物理量之比的）不会因为约分而改变可以看出。比如速度的量纲“距离/时间”，不会因为约分消去分母了，就变成了“距离”了。也许有人还会最后争辩，说4式中的△x/△x，就是不等于1/1才可以消去，它为任何非0的值都可以直接消去，无论多小，不等于0就行。那好，不是先要有无论什么值，才可其后再消去它吗？那这个先要有的、存在的无论什么值（非0的，特别是无论多小的值），不是△x要等于或趋于它吗？比如，就算是无穷小ε（ε≠0），那也是先要有△x→ε，而绝对不会是△x→0！注意，这里的讨论都指的是△x/△x的极限情况，而不是4式中的三个△x的情况。现在4式中的△x/△x→1/1或就算→ε/ε了，而剩下的部分（其实就是3式）中剩下的那个△x→0，说明了什么？只能说明4式中的三个△x，只要一通过约分，一进行约分操作，就等于承认了4式不是4式了，而是成了（当△g≠0同时也不趋于0时）下面的5式了。△h/△g=（2x+△x）·△g/△g=k（x，△x）·△g/△g=k（x，△x）·1/1=k（x，△x）·ε/ε=k（x，△x）=△h,/1..............................................（5）这实际上就是3式。△h,=2x+△x=k（x，△x）。而5式不再是4式描述的二次曲线的增量比值函数了，而是二次曲线的割线的一般意义的线性方程，其分母上的自变量不再是△x（可以等于0或趋于0），而是△g（不等于0也不趋于0），在△x≠0时，△x可以（不是必须！）等于△g，也可以不相关。因为△g是割线或切线（当△x→0或=0时）上任意两点间的横坐标间距（增量），当然不为0。而△x是约束与曲线上的两个点的横坐标差，二点合一点时，它当然可以等于0。前面已经说到，笔者曾经用物理上的“量纲”来说明一个比式，无论你消不消分母，量纲不变，说明本质上即使消了分母不写了，这个比式也还是比式，因为原先的比式的量纲不会因为消去了分母而改变。比如速度的量纲“距离/时段”，不会你在数值上不写分母了，就成了“距离”或“时段”了。而单位时段，就是“1”，严格讲这个“1”就应该老老实实地写在比式的分母上。比如速度为6/3（距离/时段，具体比如是“公理/小时”），也就是“三小时走了6公里”。约分消去分母后，成了“2”，但量纲仍旧是“公理/小时”，也就是每公里（1公里！）走了两公里。因此这个“2”，如果要想表达完备的信息，它还应该是个比式，也就是写为“2/1”，以区别于单纯的“2”，后者如果不看量纲，完全可以被理解成仅仅是“两公里”，而不是“每小时两公里”。我们之所以通常不写“2/1”而直接写“2”，是因为有后面的量纲“公理/小时”在，这此前提下，才可以做如此的省略或“消去”而不至引起信息的丢失。但如果不去明确具体的信息，一个比式，当约分后，严格地还应该是一个比式不变，只不过此时其分母成为了“1”而已。正如“6/3=2/1”，2/1，才算真实地反映了6/3的全部信息。如果只写“6/3=2”,并不意味着全部信息相等，而只是数值相等。比式的关系没有了。在数学中，如果只表示一般意义的比式，而不涉具体的物理量纲，那么，6/3，我们就应该老老实实地写为2/1，而不是仅仅为2。除非写为2时并不影响下面的计算。换言之，如果下面的计算不涉及分母，写为2而省略（消去）分母上的1当然是可以的。但是，必须强调，如果一旦下面的运算涉及分母，就必须不可消去这个分母上的1了！极限法微积分对增量比值函数△y/△x（公式4）求导也就是求这个非平凡的、也就是分母为自变量△x的比式在△x→0时的极限，当然要涉及分母上的这个自变量△x，怎么能如此随随便便地先于其在定义中规定的求其趋0极限而约分消去（不写）这个分母△x再求其趋0极限？它都连同分母一样没有了，在公式的分母都不存在的情况下，还求什么分母为自变量△x这个比式（求导定义所要求的）的趋0极限？有人也许会说，数学没有什么“量纲”，“量纲”只是一个物理概念。如果“6/3”只是表示无其它意思的数值、数量，而“6/3=2”只是表示“6是3的2倍”。表面上看，“2倍”不是比式。但如果细究“倍数”的定义是什么？还不是“如果数A非0且为1时，数B相应的数值S就是A的倍数为B”，或“如果数A非0，且数B有S个数B大时，S就是B是A的倍数”。说如果6、3、2等，只表示“数值”，不表示其它，因此没有量纲，其实是不对的，因为“数值”也是量纲。如，“6/3”的量纲，为“数值/数值”，仍是比式性质。当然可以把这个比式的量纲定义成“倍数”。但这是一个二级定义，最根本的还是一个“比式”。上面的两个倍数的定义，都有分母不能为0的要求。如果比式的分母是一个变量△x，要消去它，只有要么其为1（或趋于1），要么其为无穷小（或趋于无穷小ε），要么就是△x本身或任何非0值，但无论如何，它都不能为0，也不能趋于0（趋于0的极限还是个0！）。因此，这个分母可以趋于任何非0值（当然最终都会转化成“1”），唯独不能有△x→0！只有当分母趋于或等于某值了（如1），才能消去分母△x。而只有分母△x没有了（消去了），已经不是分母为△x的比式的式子中的其它△x才可以趋于0，而如此得到的极限当然不是原先的分母为△x的比式△y/△x的趋0极限，而这能是分母上的△x先趋于1或趋于无穷小ε或任何其它非0值后，再令式中的其它△x趋于0，二者当然不是一回事，针对的不是同一个函数。而微积分求导，按其（非平凡的）极限定义式，当然是没有消去分母自变量的比式的极限，而不是约分后消去分母为自变量△x的非比式的趋0极限。但在实际操作中，无论第一还是第二代微积分，都是先消去分母上的自变量△x后再令式子中剩下的△x去趋于0的，于是，导数的极限定义与求这个极限的实际做法矛盾。这就是贝克莱悖论产生的根源。很多人搞不清楚各种不同的极限究竟有什么区别，常常把极限法微积分求导的极限，当成了普通的极限。其实，这是一种特殊的、分母为自变量△x的、且这个分母上的自变量还要被趋于0的极限，笔者不得不给其起个名字叫“非平凡极限”，以示与普通极限的区别。实际上，叫其为“非平凡极限”都是客气的、“礼貌的”、照顾一些人感情的、或套用数学行话的。实际上，明白说它就是一个“错误的极限”、“不能成立的极限”、或更直接了当地，“极限值与其函数值一样地，也为无意义的0/0的极限”！总之，（非平凡的）极限法微积分求导按其定义，就是求4式这个分母为自变量△x的非平凡比式在△x→0时的极限值。但实际求的，却是分母上的自变量△x不能、也不应该趋于0时（实际此时分母上的△x→1或起码△x→ε（无穷小）或任何非0的数值）消去分母上的△x后剩下的其它的△x→0时的极限值。这根本就是两回事，不符合导数的极限定义，或有意无意地篡改了导数的极限定义而不自知。以上论述，就揭示或解释了无论牛顿、莱布尼兹的“第一代微积分”还是柯西等的“第二代”的非平凡极限法微积分之所以看似不合理（马克思语，因为会产生贝克莱悖论）但却求出了完全正确的导数的。他们实际求出的，就是曲线的切线的斜率，当然是经典意义的、宏观意义的斜率，而不是原先那个分母趋于0时才有的（究竟是无穷小还是极限值？根本就说不清楚）切线斜率。但他们以为求出的，是曲线在自变量△x趋于0时的一个极限值，只不过数值上与其切线的一般意义的斜率一致罢了。总之，牛顿、莱布尼兹的“第一代”微积分求导，公认会有贝克莱悖论的所谓“第二次数学危机”，于是百年后极限法微积分求导（所谓“第二代微积分”）横空出世，企图“曲线救导”，用极限（其实是分母为自变量的趋0极限，笔者称其为“非平凡极限”，或“不成立的极限”、“不存在的极限”，或干脆就是“极限值为0/0的极限”）来挽救之。这个东西，比“曲线救国”还早不少年呢。呵呵。柯西这么一拐弯，还就蒙住了很多人（包括他自己）。笔者前面和以往很多文章对其的否定，凡是严肃的学者，当然必须逐条认真考虑或回复，千万别说什么“不值一驳”之类早晚把自己搁进去蒙羞的话。一句话，桌上有两个苹果，一个“公认”是被虫咬了（虫洞在表面），不能吃了（比喻第一代微积分有有贝克莱悖论）。第二个苹果就一定没有被虫咬吗？不得验证（证明）一下再吃啊？而无验证下（证明）就吃了，还说挺好吃，就是第二代微积分干的事儿。事实上，第二个苹果也有虫的（虫子在里面）！只不过更其隐蔽没有发现罢了。见前面及笔者系列有关文章的分析、揭示。更何况，就算我们撇开分母为自变量△x的“非平凡极限”不论，哪怕是一般的极限问题，也是需要首先确定极限点，然后才有极限过程永远只是趋近而不到达该点这回事的。不信那个吹的神乎其神的ε-δ法，这个ε、δ，不得相对于一个极限点才能确定啊？如果一但这个极限点是需要我们首先“求”出来的（一如极限法微积分求导，求的就是这个“极限点”），就必然会陷入逻辑循环：该点既然没有函数值，想根据函数值来确定极限点不行。那么，这个点是如何得到的？只能通过极限过程。但显然，这个极限过程事先就声明是永远到不了极限点的，如此，这个极限点的位置或数值，我们是如何知道的？我们只能需要极限过程来得到（求出）它永远到其不断趋近的极限点，但正以为它根本就到不了该点，那如何知道这个极限过程永远会趋于它？显然是矛盾的。于是显然，所有微积分教材中极限的定义式，给人的印象是由极限过程求出了自变量△x→0时的极限值的，但实际上，这个极限值（点）即自变量△x=0的点，其实只能是事先给出的或用其它方法求出的。而事实也正是如此。比如对4式求△x→0时的极限值，实际是约分消去分母上的自变量△x后，对3式的求△x→0时的极限值。然后再令或认为或作为此极限值就是4式的极限值。显然，这在逻辑上是偷换概念加逻辑循环的错误无疑。一个非常贴切的例子，就是作为非循环无限小数的无理数直接在数轴上的定位问题。我们可以把非循环无限小数，看成当逐位向无穷位逼近时的一个极限过程。很显然，数轴上的这个极限点的精确位置，是不可能用这种极限过程本身来精确定位的。因为永远也不会知道非循环的无限位小数（无理数）的最后一位是什么，因为无穷位，就意味着没有或根本就得不到、确定不了这个“无穷位”。我们只是知道，肯定有这么一个点，非循环的无限小数随着已经被确定了数值的位（多进制下，每位当然不是单值的）的位数的增加，这个“数”或无限序列是逐渐逼近这个点的，而绝对不会越来离该点越远。但该点究竟在哪里，只能说其范围越来越小，但非0的“范围”（长度）不可能消失，也就是该点作为一个无长度的点，是在这种方法下永远也得不到的，正如无穷位的最后一位，也永远得不到一样。总之，还是得先确定那个极限点，才能说一个极限过程或序列逐渐趋近它。而如果事先并不知道确定的极限点的位置，所谓的高明的不得了的ε-δ法中的ε、δ的具体数值，能确定、给出吗？比如，我们以0点为极限点，如果不知道极限点是0，能给出距离这个0点的ε、δ的具体数值吗？因此，这种意义的极限过程，与其说由它求得或得到极限点也就是极限的数值，还不如说必须先有这个确定的极限点最后才可能有趋于该极限点的极限过程。逻辑上先后次序是如此的，不可颠倒。而极限法微积分求导，在逻辑上完全是本末倒置，先后次序颠倒的。从其导数定义的表述上看，给人一种印象，似乎极限点（导数点）是按这种方式“求”出来的，“逼近出来”的。按行话，就是以那种包含ε、δ的方式逐渐可以得到的。但实际上，连ε、δ的具体数值的给出、确定，都要直接依赖于已经事先给出的、明确的极限点才行。先后次序不容颠倒。上面的论点，从传统极限的ε-δ定义法就可以明显看出（见方源、王元«微积分（上），P38）。在那个著名的定义中，无论自变量的极限值（点）a还是函数的极限值（点）b都是事先给出在定义中的，根本就不是由这个定义或ε-δ方法求出的。与其说由成为序列的ε、δ求出或得到了极限点，还不如说由已经给出了的（或通过其它途径求出了的）极限点的数值，才能确定或给出ε、δ的数值。总之，极限的两个要素：1、明确的、事先给定的极限点；2、向给定的、明确的极限点逐渐靠近的一个过程。可以到达极限点的，为可达极限（其实与函数过程一致）。不到极限点的，为不可达极限。极限的定义一般取后者，但涵盖前者。这里仅就二次函数的传统极限法求导过程为例说明：表面上看（很多人也是如此认为的），按该极限的定义，是通过极限过程求出了导数值也就是极限值2x的。但其实按上面的“极限的两个要素”细究起来，△x=0作为自变量的极限点，和2x作为导函数的极限点，都是要事先给定的。根本就算不上、也不可能真的能由这个极限过程本身生生地“求”导函数的极限点2x出来。因为这不符合前述极限的要素。仅从这个角度，还不去说什么分母为自变量△x的趋0极限这个非平凡极限过程是不是为0/0的事儿，就足可以彻底否定导数作为一个极限值，是可以由此极限过程所求出的这个初衷了！不能不说，在逻辑上能够体会到此点的人极少，但它确实是实实在在的一个逻辑问题。也就是，极限法微积分“求导”，在逻辑上什么也没有“求”出来，本质上它实际上就是直接给出了2x这个极限数值，作为了导数值。具体说就是先通过令△x=0“求出”了该函数的函数值，然后再“令”该函数值为该点的极限值。这个极限值根本就不是直接通过极限过程求出了的！所谓的求出极限值的过程只是表面上的一个“装模作样”在“求”这个导数也就是极限值的“样子”而已。还是那个比喻：必须先在地雷点埋上一个地雷，才可以有或确定该点能不能去的问题。不能反过来，说是因为该点不能去了，才导致的该点有地雷，有地雷是因为“不能去”所致。这个逻辑次序，是不是搞反了？说一点题外话。那么，无理数在数轴上的定位问题如何解决？它无法定义吗？当然不是的。只是不能直接由无限非循环小数来定位。在一条直线（数轴，一维空间）上无法直接定位，就推广到“面”（二维空间）上。比如21/2这个无理数，在一个面上（二维空间）中，就是两个直角边长度为1的等边直角三角形斜边的长度。这个长度当然是确定的，三角形画出来了，长度就有了。但直接用非循环无穷位小数，就无法确定其长度。笔者有专门的文章讨论并给出了这个问题的明确解答。后来看吴文俊先生文章，其实中国古代九章算术中对无理数就是如此定义的，吴先生对此大为赞叹，认为比古希腊对无理数的解读、定义强的多（如果没有对无理数定义、定位问题自己进行过深入研究并有所见解的话，笔者体会，根本不可能明白吴老和九章算术说的是什么意思。我为什么一眼就明白吴老所言？因为我也是这么想的。那些看不出西方传统无理数问题的人，怎么可能明白中国古代对无理数定义的高明之处？这是以吴老的威望，他的文章出来后，也没有真正泛起多少水花的原因）。其实比之现代的戴德金分划等等方法，也不可同日而语。现在很清楚了，所谓戴德金分划、康托法等等，其实都依赖一个隐含的公理或原则，就是确界公理或原理。因此，这些得到无理数的方法，都是循环论证。所以西方一些教材明白了这点后，干脆就直接用公理法规定，省了这些多余又误导学生的弯弯绕。因此所谓无理数、实数的定义、被得到，在西方那里，无论古代还是现代，都是“规定”出来的，是规定其有，而不是像人们想象的，是求出来的，证明出来的。笔者对此问题思考了不少时间才明白的，但按吴文俊先生的文章（他也是看到另一些学者的文章才知道的），才知道中国古人早就非常自然地把在直线上无法按比例数直接定位的“数”，直接推广到“面”上去解决，“得来全不费工夫”，极为自然。这方面，包括极限问题，微积分问题，西方是走了弯路的，中国人是走的“捷径”。再退一步，传统的微积分求导（无论第一还是第二代微积分）都是直接针对4式这个分母为自变量△x的“非平凡比式”的。而且他们求导的必要步骤，都是先要经过约分消去分母上的自变量△x的。就算此点有千般可以成立的理由（笔者历次分析及上文可见，其实理由不成立），但是，为什么就不可以直接针对这个比式（4式最左边）来求△x→0的极限（当然等于0/0）？非得消去分母△x不可吗？难道已经得到的无意义的极限0/0，就可以是不这么求的理由？按此逻辑，既然在△x=0点的函数值也是无意义的0/0，我们就可以以此为由，消去分母后再求其函数值，硬说其在0点的函数值为2x而不是0/0吗（二次函数下）？真的一旦如此，极限法求得的2x还有必要吗？其函数值不是已经为2x在先了？因此在逻辑上，无论从哪个角度看，都根本不通。如此，既然说极限为无意义的0/0就不能被允许是不成立的，那么，直接求4式（指不先约分消分母）这个比式就应该是被允许的，一句话，其趋0极限值与其函数值一致，都是无意义的0/0。而不是2x。后者是另一个函数而绝对不是这个非平凡比式的极限。也许更直接了当也更明确的否定非0/0型的非平凡极限存在的判据是：众所周知，只有在前提△x≠0时，才可以对非比式的2式除以此时非0的自变量△x，得到分母为非0的自变量△x的4式。然后再对该比式4式说△x→0怎么样的事。但是，对非比式的2式直接求△x→0等于多少？不也是0=0吗？△x→0本身等于多少？其极限值不也是0吗？此时可以用这个△x也是0的极限值去除2式吗？当然不行！于是，只能是还要有一个前提，即与△x≠0一样，要有△x不能趋于（→）0时，才可以对非比式的2式除以同时其极限也不能为0的△x，得到分母为不能为极限0（同时不能函数值为0）的△x的比式4式。但如此一来，还能有我们想要得到的△x→0时的4式的非0/0型的平凡极限2x吗？当然不行！因为显然，“△x不能趋于（→）0”已经作为前提在先了！因此结论只能是：分母为自变量△x的比式4式在△x→0时的极限与其在该点的函数值一样，也是无意义的0/0。或等价地，说在该点没有有意义的极限值（极限不是0/0的），与其在该点没有有意义的函数值（函数值不是0/0的）一样。前面引述大数学家柯朗的话，他也说了（见其«数学是什么»一书），如果不约分消去分母上的自变量△x，作为分母为自变量△x的比式的4式在△x=0点，不但其函数值为0/0，其极限值也是0/0（注意，这是柯朗明确说的，不是我说的！）。但他又说他对此（极限值0/0的结论）“不感兴趣”，于是通过约分消去分母上的自变量△x，变为非比式3式后再求其极限。但显然，“不感兴趣”的东西不等于它就不存在了。极限值0/0也一样，尽管其无意义。那也是要它存在了才会有其无意义。也就是才会存在这个无意义（这里有些哲学意味了）。但是，如果4式在0点的极限值是0/0了，我们还能从2式除以极限值为0的△x得到4式吗？函数值△x≠0进而可以除以它从2式得到4式的前提或必要性，不正是在△x=0点，4式的函数值为无意义的0/0吗？那么，怎么就同样地在△x=0点，4式的极限值也是0/0（柯朗说的，确实也是！），同理，与其函数值的情况一样，我们从非比式的2式除以自变量△x的前提，不也得是△x不能趋于0（不能有△x→0）吗？有了这个前提，还能有其后的对4式消去分母△x得到非0/0型的极限2x这回事吗？得到这个极限2x的前提，居然是其极限为0/0。从一个趋0极限不能存在的前提，却得到了一个趋0极限。这纯粹就是一个矛盾！一句对其“不感兴趣”了，就可以去除这个矛盾，那我们可以用无兴趣为理由去除任何系统中、推理过程中的矛盾。所谓第二代极限法微积分求导赖以存在的第一代微积分在△x=0点函数值为0/0的问题，我们同样可以“不感兴趣”地把它弄没，如此，还要第二代极限法干什么？它的存在性还有吗？因此，这又是一个矛盾。这种种矛盾的本质，都是贝克莱悖论在作祟。贝克莱悖论绝对没有因为回避了0点的函数值而采用了0点的极限值就自动消失了，其阴魂犹在，不过隐蔽了一些罢了（在笔者看来，连隐蔽都算不上，就是赤裸裸的）。它就是先得到0点的极限值0/0（与其在该点的函数值一样），再在一句“不感兴趣”的理由下，在忽略自变量△x也不能趋于0（极限值不能等于0）的事实，只讲自变量△x不能等于0（函数值不能为0），进而对2式除以此时非0的自变量△x，然后在通过约分消去分母上的△x，求得非0/0型的△x→0时的极限值2x。注意，这个结果是完全忽略或无视△x同样不能趋于0这个前提、要求的！因此这就是一个不折不扣的矛盾。矛盾的前提，不是你一句“不感兴趣”就可以消除了的。如此，函数值的矛盾（牛顿法中的贝克莱悖论）同样地一句“不感兴趣”就消除了，这样的话，极限法的第二代微积分还有任何地位吗？还有存在的必要吗？这又是一个矛盾，前面已经说过了。再强调一次也好。即使不考虑约分消去分母上的自变量△x这回事，非平凡极限法微积分的求导过程这里可以举一个不太“雅”但很贴切的比喻：说在某地点有一颗地雷（对应函数中在该点为无意义的0/0），人不能去。去了就要“爆雷”死人的。既然不能去，就不考虑该地点了（对应于定义域不包括该点）。而不考虑该地点，也就是除了该点外，任何地方都可以去，包括无限接近该点的地方。既然可以无限接近该点，那么就是以该点为“不可达”极限，具体说就是“可以去”这回事的不可达极限。既然是可以去的极限，即不是地雷的极限，定义这个原本明明是因为有地雷而不可达的极限点是没有地雷的地方的极限点，尽管不可达，但就此重新定义这个不可达极限点不是地雷或没有地雷（相当于定义在该点的另一个函数，即不为0/0的导函数），于是这个极限点不再是或不再有“地雷”了（对应于非0/0型的极限值，二次函数下就是2x）,于是原先明明存在的地雷，就这么变戏法似的给搞没了。这不是偷换概念是什么？不是“曲线救导”又是什么？上面论述还是假设不考虑约分消分母的情况。如果考虑了，则应该是，约分消分母等效于无论离地雷多近（哪怕是无穷小的距离），都要先行离开地雷一米远再说，如此，不是以一米为极限值啊？哪还有首先以地雷所在点为极限的问题？就算有人抬杠，说没有什么一米的事，那好，以任何非0的点，极端地以距离地雷无穷小ε为到达点，那不是也以非0的无穷小为极限点啊？无穷小再小也不是0，哪里还有以0为极限点，也就是以地雷的位置为极限点？可以趋于0点（或地雷点）的，无非是趋于1或趋于任何值这个性质本身（包括无穷小ε）。也就是地雷点（0点）可以作为在该点止步或退后一米的一个可以如此做的不可达极限点，而绝对不是人可以到达地雷点的极限。而按导数的非平凡极限定义，就是人到地雷点的极限，而不是人不到地雷点的极限。人不能到地雷点这个“性质”本身，是可以以地雷点为极限的（当然是不可达极限，相当于消了分母后的情况），但这并不是人到地雷点的极限。总之，按非平凡极限法导数的定义，只要地雷还在，人去不得（对应函数值为0/0），去不得的极限还是去不得（对应该点的极限值也是0/0，与其函数值一致）。因为在该点始终存在地雷是客观存在。绝对不能说：“有地雷，人去不得。而人不去，同时所有其它点（除地雷点外）都无地雷，因此这个性质本身以地雷点为不可达极限（可以无限接近但不能到地雷点），既然以地雷点为无地雷的不可达极限点，就干脆认为该点就此无地雷了（等价于重新定义一个在该点非0/0值的导函数），于是人就又可以去到该原先的地雷点了”。这种东西，可以成立吗？逻辑上没有问题吗？而这正是非平凡极限法微积分所干的事！它与牛顿、莱布尼兹微积分求导所产生的问题（贝克莱悖论）一样，但绝对不如牛顿、莱布尼兹坦诚、明确。是一种典型的逻辑上的偷换概念、移花接木而不自知。综上，一个分母为自变量△x的比式△y/△x的趋0极限，与无分母的函数比如△y是完全不一样的。前者笔者称之为“非平凡趋0极限”，后者无论可达还是不可达，都是“平凡”的。笔者在与其他人的讨论中发现，很多人实际上搞不清二者的区别。似乎一说否定极限法微积分求导，就是否定了全部极限概念或一般意义的平凡极限似的，不能不说，这是没有搞清问题所在。有人曾经质疑笔者老喜欢用一些非数学的比喻，似乎写在文章中不正规似的。但即使如此通俗的比喻，很多人就懂了吗？不是还不懂吗？不比喻还真不行，比喻了往往也还是不行。总之，质疑非平凡极限法微积分求导，第一，对增量比值△y/△x而言，就算非0/0型的不可达极限值（比如2x）存在，用其代替原先为0/0的函数值也不行；第二，更为重要的是，这个非0/0型的极限值（比如2x）还根本就不存在。理由是紧紧抓住约分消去分母上的自变量△x这一步。此步是传统微积分求导的绝对必要步骤（无论第一还是第二代微积分，概莫能外），也就是实际上是一个必要条件，但对一个比式进行约分消去分母△x，可不是必须的、必要的。没有这么一个数学规则在。而不消分母上的自变量，求出的是什么？况且原先按极限法微积分导数的定义，求的不就是分母为自变量△x的一个“非平凡比式”在自变量△x趋0时的极限值吗？既然如此，为什么不直接求？反而拐弯抹角地要先把本不是数学上的必要条件变为求导的必要条件后（实际上严格讲应该是“不允许”），即先消去分母上的那个自变量再求？将本不必要的条件变成了必要的一步或必要的前提，逻辑上是什么问题？这里又要打个比方了：一人得了感冒，因是病毒感染，吃药无用，吃不吃都会好。但现在强令吃药，感冒好了，就说这个感冒是该药物治好的，不吃药不会好，这个逻辑有什么问题，请读者自行分辨吧。再退一步，就算对前面4式的比式约分消去分母上的自变量△x不涉及什么分母为“1”或不为“1”的问题，那么，消去了，就是没有了，与原先就没有有区别吗？可以判别吗？消去4式的分母得到的3式，与直接给出的3式，有区别吗？既然没有，为什么极限法微积分导数的原始定义式，非取4式的趋0极限，而不直接在3式（原先就根本没有分母的）求其趋0极限（实际此时直接等于0也可，直接取2x也可）？如此，为什么不能从一开始就定义导数就是针对“平凡的”3式而不是4式（作为一个分母为自变量△x的非平凡比式）？而针对3式的导数，其定义应该是什么？不就是曲线在x点的切线的斜率吗？可以认为它由曲线的割线令增量△x=0或△x→0而得到，也可以认为是由单纯的增量函数的线性部分的系数而得到。实际二者是一样的。完全不必把那个自变量△x除到分母上再去令其趋于0并造成贝克莱悖论的问题。要改变的，只有对导数的观念，也就是定义。只要从把导数（瞬时速度）非要看成是“实在”的改成“虚拟”的，一切问题皆可迎刃而解。至于具体得到或求得导数的不同方法和过程，不过有简有繁，无伤大雅了。因此不得不说，所谓“第二代的”极限法微积分求导，只不过以隐蔽的贝克莱悖论替换了所谓“第一代微积分”中明显的贝克莱悖论而已。给其戴上个“非平凡”的帽子，都是客气的。数学号称世上最严密，逻辑最完善。一些数学工作者、数学家也常对此津津乐道。现在好了，极限法微积分求导这事儿，严密吗？我的揭示、分析，不严密？对好龙的、这里是声称喜欢“严密”的叶公而言，龙、也就是“严密”这回真的来了。这是考验人的能力、诚实度、可信度、真实水平甚至人品的时候了。根本不看、不细琢磨就喷的，是一种人（此类最众。与域内虚张声势不学无术的氛围有关）；始终看不出问题的（指即使认真看了我的文章后），是一种人；看明白了，囿于传统势力的“学术淫威”，多一事不如少一事，反正与他无关，因此不吭声的，是一种人；他本人不同程度地对传统微积分求导、自变量的微分问题等等也有看法，但所提解决方案在笔者的诠释下，并不成立，实际上，老实说，存在竞争关系与我。我对，他错。我错，他才对。在看明白我的诠释后，也不再吭声了。只想被人给自己抬轿子，不给别人抬轿子（特别是与自己有竞争关系的人和理论），几乎就是现实的真实写照。最后，可能根本就没有看到我的文章或自认为不屑一看的，当然也就不可能提出什么。这里只是敬请严肃认真的学者，对本节所提问题，逐条予以评判。切勿一句“不值一驳”了事。如此容易驳，倒是驳一下啊，又怎么了？如不好驳，就老老实实地承认。科学问题，要实事求是。一为一，二为二，含糊不得的。这些题外话，现在有时不说还真不行。二、导数究竟是什么和如何“求”_____其实就是“得到”，根本就算不上什么“求”笔者早就提出了导数的新定义，就是：实实在在的曲线的切线斜率。切线的斜率就是切线上（注意，不是曲线上）任意两点间（当然间距不为0）的纵横坐标比，因此根本就没有什么分母为0或趋于0的事。传统极限法微积分导数定义是把曲线的自变量（通常用横坐标表述）的增量作为分母的，而且令其趋于0，由此当然会产生问题。与上述新导数定义相应地，更好理解的、直观的瞬时速度新定义：物体受外力时的曲线、变速运动，当物体如果在瞬间外力突然消失时，物体所作的匀速直线运动速度。当然，物体没有也不必真的突然外力消失，只是“假设”如果消失的话的运动速度。因此，对一个连续的、不间断的曲线或变速运动而言，瞬时速度就是一个“虚拟”概念，现实中并没有发生。很简单，只要始终受外力，物体就会做曲线或变速运动，绝对不会做匀速直线运动，哪怕是在极小的甚至无穷小的时间段内。就算真有所谓无穷小，也会有无穷小的变速曲线运动，而不是只有匀速直线运动才会有无穷小。即，无穷小的运动段，不是匀速直线运动的“特权”。这其实就与理论力学中的“虚位移”、“虚功”等概念“接轨”或吻合了。否则位移就是位移，何“虚”之有呢？其实并不好解释。在瞬时速度（导数）的新定义下，“虚位移”其实就是，一旦受力条件改变，物体将会如何运动的意思。这就与新的瞬时速度的定义完全一致了。而传统的极限法微积分的瞬时速度定义，显然是以为瞬时速度对曲线或变速运动而言，是现实中发生了的，是曲线或加速运动中可以真正实现的固有性质。而且其究竟是什么，其实根本就没有彻底澄清。传统上（极限法）把它是一个不可达的趋0极限值，但这个趋0不可达极限值究竟为何“恰巧”与匀速直线运动等值？固然随着时间段的越来越小，曲线与直线会越来越接近，但曲线毕竟只是曲线，直线毕竟只是直线，二者只要不汇聚与一点，就不相等。而一但汇聚于一点，它就是一个点了，还有线吗？无论曲线与直线都不存在了。因此，说在某点曲线与直线重合之类，根本就是错的。总之，传统极限法微积分在这里是有问题的。在笔者提出的新导数（瞬时速度）定义下，可以有很多求导或得到导数的方法（见笔者前期系列文章，此不赘述），也可以彻底解释清楚传统第一或第二代微积分究竟为何以看似不合理的求导过程但却可以得到导数的精确值的（马克思语）。传统极限法微积分是先用非平凡的极限法得到导数，再去定义微分。而在新定义下，实际可以直接从微分（函数的线性部分）出发，得到导数，也就是曲线函数线性部分的纵横坐标差（增量）之比。传统非平凡的极限法微积分求导，是针对曲线（非线性）函数的增量比值函数△y/△x的，也就是4式的。就此当分母上的自变量△x=0或△x→0时，4式就有0/0=2x的问题（约分消分母△x所致）。也就是贝克莱悖论的本质。我们当然可以在新导数定义下针对5式求导。如此，同样的△x=0或△x→0时，处于分母的是△g，它是不为0的。因此贝克莱悖论不存在。且完全符合导数的新定义。当然，针对4式或5式约分消去分母上的自变量后，得到3式，我们针对这个3式也是可以得到导数的。这种方法其实就是传统微积分（无论第一代还是第二代）真正所作的，尽管大家都没有意识到他们做的究竟含义是什么（具体说就是约分消分母的本质是什么）。我们在新导数定义下，当然还会有更其简单的求导或根本就算不上什么“求”的直接“得到”导数的方法。比如，我们直接针对曲线的增量函数（2式）而不是增量比值函数（5式），同样在自变量△x=0或△x→0时，由2式会得到0=2x·0（对比前述传统微积分的0/0=2x），也没有什么分母为0的问题。且在任何直线上取一个点，并不影响该直线的斜率k的数值和存在，这里就是2x。这个求法，笔者前期提出来过，而美国纽约（哈佛？）大学的Range教授实际也提出过（见李红玲教授文章）。但他究竟是否有笔者认识的这么清晰，待考了。笔者资料太少，不好判断了。其实最简单的求法，是直接针对1式的方法。这其实可以看成一个不必借助于曲线的切线斜率这个几何概念的导数的新定义：就是曲线函数（非线性函数）的增量函数的线性部分的系数（斜率），也就是1式中的线性项2x·△x的系数2x。直接了当，完全没有什么谁趋于0啦，等不等于0啦的问题。人家k=2x已然放在那里了，直接取就可以了，还“求”什么？这就是一个直接“得到”而已。这个“求导法”或“取导法”，就是500年前的明代大数学家王文素老老前辈的方法。笔者其实也在过去文章中提出过（由微分的定义式也就是线性部分的系数直接得到导数，而不是现有导数再定义微分）。甚至，最为滑稽的是，很多微积分教材中其实竟然也被提出过，但由于人们囿于根深蒂固的传统导数或瞬时速度的陈旧理念，没有把这种求法当回事儿，只是说实际得到了一个导数的数值而已。而并没有把它作为导数的定义，或正式求法。它仅仅是提出微分（线性主部）后的一个副产品而不被深究，但实际在微积分和微分方程中的后续使用中其实用的还是如此定义的实际的导数。这里，姑且不论对错了，仅就其简单性、直接性和含义的明确性而言，500年前王文素得到导数的途径和方法（500年后由于先入为主地受传统极限法微积分的误导，颇费周章笔者也得到同样的结论，这个无须客气，有文章可查的），比之140年后的牛顿、莱布尼兹的方法和二、三百年后的柯西、外尔斯特拉斯的方法如何？想必凡是客观、公正的读者都会得到结论的。王文素当然没有明确提出导数（他叫“乙方”）的定义，定义隐藏于其得到导数（乙方）的方式中。况且他也没有料到或经过140年后的牛顿及更后来的柯西的导数的有瑕疵、有矛盾的极限定义，他也没有理由或机会去为他身后几百年的错误认识去正本清源。导数的新定义是笔者明确提出的，是以消除矛盾，正本清源为目的的。也是为了还原事物的本来面目的。总之一句话，王文素和我的方法（甚至不少教科书中实际已经由微分的定义得到了的，但没有被认识而宗其为导数的真正定义的），得到了那个导数2x没有？如果得到了，是不是要琢磨琢磨如此得到的导数2x，究竟其真实含义是什么？能说得到它没有用到无穷小及极限，就说这个2x不是导数，而只是与导数同值的其它东西？能如此说吗？为什么不反过来想一想，此途径没有什么贝克莱悖论，会不会它正是导数本来应该具有的含义？什么含义？就是切线的真正意义的斜率（切线增量方程的系数）嘛！说白了，就是这个斜率（导数）所依赖的分母，是切线上两个点的不为0的间距（就是公式5中的△g），而不再是曲线上两个点的间距（公式4中的△x）。如此，贝克莱悖论自消。估计有人也许会吹毛求疵，说1式中的2x·△x，固然是线性的，但如何知道它就是切线呢？割线不也是线性的吗？△x不趋于0，如何证明其就是切线？这里可以给出一个极其简单的证明：设如果2x·△x是割线，则必有一点导致1式中的△x2=0而2x·△x中的△x≠0，而这是不可能的。也就是无论2x·△x中的△x多小或者是多少（只要不是0），△x2=0都是不可能的。也就是2x·△x不可能是割线，于是只能是切线。得证。显然，根本就不需要一些人以为的只有令△x→0才可以证明2x·△x是切线及2x是切线的斜率。因此，任何形式的△x→0，无论是一般意义的，还是所谓“非平凡”意义的，都是不需要的。另一种观点，就是切线的斜率，或线性部分的系数，只能与变量x有关，而与其增量△x无关。与增量△x有关的，这能是割线的斜率，或割线方程的系数。比如前述二次函数下，2x+△x就只能是割线的斜率，因为△x就意味着该直线与曲线有两个交点（中间的距离就是增量△x），这是显然的。而其为0时，就是二点合一，成为了切线，它的系数只能是与△x无关的2x。因此，我们才有对切线的斜率而言，我们根本就不必再令什么△x=0或△x→0之类的步骤，直接在2x+△x中取没有△x的2x即可。这可以说是最简单的一种“取导”或“得到导数”（我故意不再说“求导数”）的方法了。王文素当年就是这么做的。即增量△x的线性方程的系数中，只能有自变量x，不可能出现自变量的增量△x。笔者前期文章中也曾经在讨论微分问题时认为完全可以直接从微分是增量函数的线性部分的定义中直接得到导数，即增量的线性部分的线性方程的系数或切线的斜率，意思与王文素得到导数（乙方）的思路其实是一致的。从笔者前期文章中可见，只要导数（或对应的瞬时速度）的新定义给出了，如何求或得到这个导数，其实方法有很多，它可以针对增量比函数，也可以针对增量函数，可以有极限出现（当然不同于非平凡的极限法微积分求导），也可以直接令消去分母后剩下的△x=0等等。但最简单的、明快，且不易引起误解的，还是上面的方法，也就是王文素500年前的、笔者前期也提出的这个“不是方法的方法”_______说其“不是方法”，是王文素其实就这么实际地做了（得到其所谓的“乙方”，即今日之“导数”），提都没有提什么“方法”，大概只是因为太简单，太顺理成章了。说其“是方法”，是对应于微积分求导的（无论牛顿、莱布尼兹还是柯西等），既然他们都有方法，索性就把这个极其自然的“做法”升级为“方法”吧。更何况居然时隔500年，仍旧无人识之者。这个意义上，称其为一种“方法”，也不算过分吧？总之，最简导数得到法的步骤如下：写出一个非线性函数（曲线）的增量方程，并化简成可以写成△y=k（x，△x）·△x的形式。这是线性（直线）方程的形式，其中k为系数或斜率，它也是自变量x及其增量△x的函数。这是由于，我们所求与这个系数有关；找出其中的对增量△x的一次项，也就是线性项。具体说就是只有一个自变量的增量△x作为因子的项。或在△x的系数中排除所有△x；取该项的其中不再包含△x的系数，即切线斜率，即新定义下的导数。这里可以再说明一下，我们所求仅仅与直线方程的系数或斜率k（x，△x）有关，因此，作为直线上的任意点，完全可以离开曲线，也就是写为△z=k（x，△x）·△t。此处的z、t，是割线或切线上的任意两个点，可以与曲线上的点重合，也可以无关。当然，这是“后话”，与利用增量方程得到导数的方式无关，只是在利用增量比值函数得到导数时是必须的（防止那时可能出现的0/0即贝克莱悖论情况）。对△x为自变量的线性函数而言，其系数中不能再有△x，只能有x，这是显然的。因此，排除系数中的△x项，只保留含有x的项，以及排除系数中只有△x的项，最后就得到导数。比如在二次函数的增量（2x+△x）·△x的系数2x+△x中舍弃△x，就得到导数2x，或等价的公式1中舍弃△x2=△x·△x项（可以把左边的△x看成右边的△x的系数），得到线性项2x·△x的系数2x，也就是导数。又如下面要专门谈到的三角函数sinx的增量的系数cos（x+h/2）中，h为增量，就是前面习惯使用的△x，舍弃它后，就是cosx，即线性部分的系数导数。详见下面第六小节。有人也许会质疑说，你怎么知道非线性（曲线）方程的增量方程必然有线性项（一次项）？如何证明？事实上，如果一条线，处处没有线性项，也就是线性项为0，那这只能是一条水平线。如果一条曲线在某点的线性项为0，那其在该点的切线水平。除了以上两种情况，一条曲线，不可能处处线性项为0或不存在而还有非线性项的。特别提下，在上面的讨论基础上，我们就完全理解了牛顿、莱布尼兹当年舍弃所谓“高阶无穷小△x2”的缘由了。其实，这不是什么非得是无穷小，而就是任意的非线性部分。我们不考虑它还不行吗？难道只有0或高阶无穷小我们才可以不考虑？它不是0，不是无穷小，但与我们现在关心的东西无关，我们就不能不考虑它吗？两盘菜，一盘我们不喜欢，不吃不可以？非得盘子空了，我们才可以“不吃”？没道理嘛！牛顿实际上做的就是这个事，但却没有像王文素那样充分认识到。他以为不为空盘，就不能不吃，舍弃的理由仅仅是离空盘不远了，剩菜不多了。由此思路，才会有贝克莱悖论。它等价于，盘子不空，就不能不吃。但现在盘子没空，还剩一点菜，凭什么就不要了！以二次函数为例，说明按此思路具体如何得到导数的：由二次函数的增量方程简化后得到本文一开头的公式1，其实就是k（x，△x）·△x=（2x+△x）·△x；一次（线性）项为公式1中的2x·△x部分；取此项的系数2x，就是新定义下的导数。或取曲线的割线的系数（2x+△x）中的2x也可以。系数2x+△x本身尽管是线性的，但系数中有△x时使得增量方程（2x+△x）·△x并不是线性的了（具体说其中的△x·△x不是线性的）。此时就不考虑系数（2x+△x）中的△x，只取2x，也是可以的。特别说明一下，之所以这里要强调在导数的“新定义”下，是因为此时的导数完全不依赖于传统“求法”的分母上的自变量△x→0之类（明里暗里产生贝克莱悖论的根本原因）。这不仅仅是一个方法问题，而是有关导数的观念转变问题（详见前文及笔者前期文章的讨论）。这才是问题的根本，而具体如何求，都可以，只不过有繁有简，有的不太容易与传统方法相区分（这是笔者在与很多人讨论时得到的观感，笔者认为很清楚的事，很多人弄不清楚，非说笔者的方法与传统无异。这在针对增量比值函数的求法中特别容易产生）。而上述“最简方法”，谁又能再说什么呢？我倒要看看了。不嫌啰嗦地，再一次小结一下最简求导法的思路及其与传统微积分求导的区别。传统微积分求导，是在增量方程1式下，先假设自变量△x不为0，才可以1式除以△x得到4式，消去分母上的△x（同样要求△x不为0）后，得到3式。然后又令△x=0（牛顿、莱布尼兹），得到2x，于是有△x=0与△x≠0的贝克莱悖论的矛盾。柯西的极限法微积分求导，是声称求4式这个增量比值函数的在△x→0时的极限，认为如此就消除了上述矛盾，其实没有，前面第一节很笔者前期不少文章都有分析及论证。此不多言了。而在新导数定义下，可以有多种求导法。最简单直接的一种就是前面所述的，500年前的王文素及笔者曾经也提到过的方法。即：直接针对增量方程1式，径直其取线性部分2x·△x的系数2x，就是导数。当然这个导数是满足于新导数定义的。前面也证明了，此系数2x其实就是二次曲线的在x点的切线的斜率（因此也可以看成是一个无需趋0极限的求切线的方法，在导数的新定义下，这与求导是一回事）。可以看到，此法根本就不涉及什么△x=0或△x→0的问题，彻底根绝了贝克莱悖论，也不涉及什么无穷小和趋0极限问题。干净利落又无比简单明确。但虽然如此简单，却涉及导数概念也就是定义的观念改变，这个才是最根本的。问题是，在增量函数1式中，2x明明就摆在那里，多少年来，人人都看到了，为什么没有什么人想到直接“取”它完事儿，还费劲“求”个什么劲呢？这就说明普遍的导数观念，是导数涉及的比式的分母上的增量只能定义在曲线上，这相当于瞬时速度概念，对曲线或变速运动而言，是一个“实在”的、也就是现实存在的物理实在。如此，当然有一个为0不为0的问题。这是一个观念问题，定义问题。在此定义、观念下，就是明明在增量函数的1式中已经看到了那个2x，不去琢磨这个2x在增量式中代表了什么，却还得按他们的定义去舍近求远地、多此一举地去求那个根本还不能成立的分母上的△x→0的“极限”。但实际上，导数、瞬时速度概念其实只能是一个“虚拟”概念，对连续的曲线、变速运动而言，它并不真实存在，而只是一个定义在虚拟前提（假设外力突然消失）下才存在的概念。而王文素在早牛顿他们140年的500年前，当然根本就不涉及什么“观念的改变”问题，人家从来就是这么认为的，他怎会知道在他身后140年后以至500年后，人们的观念会离谱到什么地步呢？他当然不必像笔者一样有一个从泥淖中爬出来的问题，他就没有掉坑里嘛，他活着的时候，还没有这个坑呢。仅就对导数的理解而言，显然500年前的王文素，是走在其后140年的牛顿、莱布尼兹前面的，而当下“流行的”、普遍被视为正统的极限法微积分求导法，还不如当年的牛顿、莱布尼兹。牛、莱虽然有错，但在明面上。且是承认导数就是一个比式的。而极限法微积分，号称第二代，错误依旧，但更隐蔽。代价是不能承认导数是个比式了（虽然往往居然还写为dy/dx），更不地道的是，个中人众口一词，一口咬定极限法绝对无错，无比正确，不容讨论，谁提问题灭谁。以其昏昏使人昭昭，可乎？强调王文素和笔者的“最简取导法”（故意不说“求导”），还有一个好处，就是它不仅仅是一个简单、明确的问题。很多人，搞不清所谓的“非平凡极限”与“平凡极限”的区别，也就是根本搞不清分母为自变量的比式的在自变量趋于0时的极限（非平凡极限）与通常的、一般意义的分母上没有自变量时的自变量趋0时的极限之间的本质区别。我们通常所谓的“极限法微积分有问题”，当然指的是“非平凡意义的”极限法，平凡意义的当然是可以继续使用的。但平凡极限自然不是极限法微积分求导过程中所使用的极限。很多人搞不清里面的关系（包括所谓的一些“业内人士”、“专业人士”），他们总是说，你这不是还得用极限吗？比如科学网文清慧博客中的薛问天先生，就是如此，非常典型。这回好了，我们根本就不用极限，无论非平凡的还是平凡的，一概不用，看这些人还能说出什么！“得来全部费功夫”。对500年前的王文素而言，显然就是如此的。历经500年的“铁鞋踏破无觅处”，最后还是由笔者再践行一遍“得来全不费工夫”，但历经似是而非的非平凡极限法这么多年了，此时的内涵，恐怕已经与500年前的王文素不可同日而语了吧。总之，唯有充分了解了当下流行的、所谓“主流的”极限法微积分（第二代微积分，标准分析）个中的问题与矛盾之处，才可能更充分地肯定王文素当年对导数（乙方）的处理的简洁高明的地方。当然，这一切都是在导数的新定义下才可能充分被理解的。不去深入地思考王文素究竟为什么不用极限、无穷小概念就轻易地、极其自然地得到了导数，反而以他没有使用极限就说他得到的不是微积分导数，这是什么逻辑？牛顿、莱布尼兹使用公认有问题的舍弃无穷小的办法得到的导数，都知道这有问题（否则还要极限法的第二代微积分干什么），为什么发明微积分的桂冠就要落到使用这个有问题的方法的他们二位的头上？王文素没有使用错误的舍弃无穷小方法，且早牛顿等140年，反倒不是微积分的发明人？况且前面第一节就讨论了，非平凡意义的极限法求导在逻辑根本就是不能成立的。再一次强调，按王文素及我指出的方法，根本就不再需要不成立的非平凡极限概念（与平凡极限概念当然不冲突），也不需要“舍弃高阶无穷小”，于是，高等数学与初等数学完全可以统一。没有任何界限。二者间人为的鸿沟被彻底填平了。这是必须提醒学界注意的。最后说明一点，为什么牛顿、莱布尼兹的“第一代微积分”的“舍弃高阶无穷小”不行，而王文素和我的方法，连不是无穷小的宏观量也可以舍弃或无视？这本质上就是在导数的定义上。由于定义的区别，牛顿等只能针对函数的增量比值函数（分母为自变量的）4式求导，会有贝克莱悖论：4式等号右边的部分消去分母后剩下的那个自变量△x被舍弃也好，为0（△x=0）也好，趋于0（△x→0）也好，不考虑也好，那等号左边的比式△y/△x中处于分母位置的自变量△x为什么就可以不被舍弃，不为0，不趋于0，必须考虑？于是破解此矛盾或疑问的只有一种可能，就是4式等号两边的△x，并不是人们通常认为的是同一个变量。不同的变量所以才会有表现的不同。而因为相同了，就有贝克莱悖论的矛盾了。这笔者在系列文章中和前文中都有详细的论证了，此不赘述。而在导数的新定义下，针对的完全可以是没有分母的增量函数1式或2式，我们只取有关的线性部分的系数，至于高阶部分，无论是宏观量还是无穷小，都无关系，就不考虑了。说是舍弃、令其为0（包括趋于0）都是一样的。即使它不为0，是个宏观量，不考虑它不行吗？就非得考虑它吗？与它无关，不要它，怎么不行了？它与我们要得到的东西无关，因此不考虑它，当然可以。实际上，只有我们的这种解释，才算对牛顿等的看似会产生矛盾（贝克莱悖论）的“舍弃高阶无穷小”方法之所以也可以得到导数的正确值给出了一个彻底的理由，并使之内在矛盾（贝克莱悖论）被消除，否则是无法理解与解释的。至于极限法微积分求导，实际是逻辑有问题的。上面已经说了，“△x→0”与“△x=0”其实一样，同样不行。这里不重复了。所有的科学包括数学，就像一棵巨大的果树。很久一来，很多“数学从业者”都是匆匆爬到树梢忙着去摘果子，而完全没有意识到或忽视这棵树的根部（基础上）有问题。笔者坚信，这必然会或已经产生了问题。换言之，所有用传统极限法得到微积分“导数”的地方和类似的用到“非平凡极限”方法的地方，都必须重新审视。否则很可能有证明错误。对几本比较典型的微积分教材中微分定义及其与导数关系的评论龚升的«简明微积分»第25页、26页，美国的«托马斯微积分»第312页，都是在先得到微分公式，并令自变量的微分dx=△x后，把微分公式中的dx除下来，得到dy/dx=f,（x）........................................................（6）托马斯微积分还特别提到6式的前提是dx≠0。它没有说的是，当从微分公式dy=f,（x）·dx.........................................................（7）得到6式时，难道可以有dx→0（当然这个极限的取值也是0，即“=0”）吗？当然也不行。因此6式的前提条件实际是是两个而非一个：dx≠0且dx不能趋于0，也就是不能以0为极限（第一节所引大数学家柯朗的著述已经很明确这点了）。但7式却可以。无论dx是等于0还是趋于0（以0为极限，极限值还不是0？）都有0=f,（x）·0，这个式子是成立的，而且f,（x）不是必须为0的。是可以直接由7式求得或得到它的。而龚升的教材，又说dy/dx原先是一个整体（本质为不能再是莱布尼兹的“微商”。这个词在极限法微积分中，显然应该被禁止使用），不是比式（微商），而经过如此操作后，又成了一个真正的比式（又可以或成为了真正的具有分子、分母的比式也就是“微商”了）。那么，既然如此，又何必先用极限求那个必须看成一个整体的导数（不是“微商”的导数，严格讲不应该被写成dy/dx），再由7式的微分定义最后再得到6式（真正的“微商”，可以写成dy/dx）呢？为什么不直接把6式（当然dx≠0且dx不能趋于0即以0为极限值）就直接定义成导数（微商）呢？也就是不再是先得到导数（非比式、“微商”意义的），再得到微分（曲线函数增量函数的线性部分），而是反过来，先定义微分（注意，这个“微分”只是习惯说法，其实就是曲线增量函数线性部分的宏观意义的增量，这是不用“微”的，就是宏观意义的。其实传统极限法微积分的微分也是如此，但很多一知半解的人并没有弄清楚，包括一些教师、专家。此点可见更详细、严格的教科书），再由微分（就是宏观意义的线性部分的“增量”。即：非无穷小或非极限意义的）直接定义导数。笔者曾经在以往论文中明确指出了这一点。而这一点，实质正好是王文素500年前与笔者在王之后500年的现在所作的。王文素早了有问题（贝克莱悖论）的西方微积分（牛顿、莱布尼兹）140年，当然根本就没有想到如此简明地、直接了当地得到的导数（他称之为“乙方”），其后竟至在西方产生绵延几百年的问题并延续到东方原本根本就不会有这类问题的地方。可见，由于囿于传统与成见，人们明明都已经实际地得到了正确无误的结论（教科书中在微分的定义部分都明明白白地写出来了），却还是没有充分认识到。真真是有眼不识金镶玉了！当然，有些看似或自认“严谨”的教科书，为了回避把导数写成它原本就是的“比式”，回避与极限法微积分导数定义的矛盾，往往舍对而就错，不再去定义微分，只承认有非比式的导数数值，而通常的积分式子里面，也没有微分，该式子只是或不得不被看成一个整体，公式中的各个因子没有任何意义，只是写还是那么写。定义还是那个定义。因为显然，积分小区间数目趋于无穷大∞与小区间的间隔趋于0的乘积如果要想等于一个有限数值，归根结底需要一个规定与公理性质的东西，而绝对不是什么严格的证明。因此，一切关于积分中的微分地位的说辞，细究起来，都没有什么道理，它只是一个规定、定义。如此，索性就直接定义，不去多说什么了。这是比较严谨的教材所采取的态度，实际上是一个用直接定义回避矛盾的做法。而大多数教材大概是：数学“不讲理”只讲规定、定义哪行，学生干吗？因此哪怕是歪理，也得讲。总要说出点什么来。反正一般学生只顾考试，也不会去关心理论的严密性、无矛盾性。这就是现有传统极限法微积分教材在导数相关的积分部分的现况。总之，最为关键而且本质的一点是：既然由7式得到了6式，即在dx≠0且dx不能趋于0的前提下，dy/dx这个真正的比式就是导数f,（x），起码在数值上是导数的数值，那何不就直接把导数f,（x）定义成一个分母dx不为0的比式dy/dx？从而彻底抛弃通常教科书中的极限法求导（导数是一个分母为自变量的比式的趋0极限）的方法。当然，此时的dy、dx，是曲线的线性部分的纵横坐标差，也就是增量。而不是曲线本身的增量。固然，dx可以与曲线共享。方源、王元的微积分教材，对自变量的微分dx=△x，完全照搬托马斯微积分的说法。而后者可能是意识到这个问题是个“问题”，于是采取了一种“语焉不详”、根本就说不上“严谨”的解释。而其它很多教材根本就没有意识到或根本无视这是一个问题。但方、王二位的教材并没有如托马斯微积分那样把dx除下来得到6式，而仅仅是到7式为止。可能他们也意识到这么做得到的“导数”与极限法求导得到的导数不一致。而«普利斯顿微积分»中，根本就没有7式，只是把微分写为dy=f,（x）·△x...................................................（8）明显回避了引起争议、矛盾的dx=△x，但后续当然也会引起问题，起码是如果坚持此点，会很不方便。微分方程理论会非常丑陋、造作。甚至仍旧会有矛盾。柯朗说（«数学是什么»），柯朗上面的评论，实际就是对6式的评价问题。本来按极限法微积分，dy/dx是不能作为分式的，因为其中的dx不是无穷小，也不是宏观量，因此不能作为分母。但6式作为分式又“从后门悄悄地溜了进来”。这里的dx明明又是一个宏观量，起码也得是无穷小。个中的矛盾，读者自行体会吧。再一次强调，传统极限法微积分教材中，对微分的定义，实际上就是宏观的增量。如dx=△x≠0，既然相等，其实就完全不必再写那个很容易使人产生错觉的dx。如此，非线性函数的微分，就是其增量函数的线性部分。由此自然地就得到这个线性部分的系数（即曲线的切线的斜率）就是导数。当然除以曲线增量函数式子中的dx或△x（dx=△x≠0）得到不为0的分母也就是把式子表示成比式（如6式）也是可以的，但这不是必须的。总之，导数就是如此定义，完全没有极限过程和舍弃“高阶”无穷小的问题。也就是不再有贝克莱悖论发生的任何可能。王文素和我其实就是如此定义导数（在王是“乙方”）的。但通常的极限法微积分是如何做的？它是先用分母为自变量的比式（4式），求其非平凡趋0极限，得到所谓的非比式的导数后，再去定义微分（7式），此时就存在一个尴尬：前面的非平凡极限过程求得的是一个非比式的导数，而7式表达的导数又是一个分母不为0的比式了。这不是一个矛盾？于是只能打个马虎眼，或说此时得到的，只是一个数值与导数一致的比式，但并非真正的导数。这种捉襟见肘、强词夺理的苍白辩护，只能反映理屈词穷。或者完全无视把微分公式（7式）中的dx除一下就得到比式（6式）这一事实，干脆不提不写不评了之（有些还算严谨的教科书就是这么体现其“严谨”的！）。当然，虽然看似简单至极的一个拨乱反正，但其却包含着对导数、瞬时速度之类观念的根本性的变革或转变。也是导数概念本来应该具有的样子，正本清源。这一步，看似简单，事实证明并不容易：导数、瞬时速度就是一个“虚拟”概念，与物理上的“虚位移”、“虚功”概念一致，并使后者得以有个明晰的诠释（在导数新定义前，其实这类物理概念从来就没有被真正澄清过）。积分问题新解传统极限法微积分的积分定义，如下（直接复制于柯朗的«数学是什么»第482页），很显然，随着小区间数量的趋于无穷大∞，小区间的宽度以至面积显然要么趋于0，要么趋于无穷小ε。前者导致无穷多个0的叠加仍旧只能是0，或∞·ε=0。而如果是无穷小ε，则极限法微积分是明确不承认无穷小的（会有舍弃所谓“高阶无穷小”的误差问题），否则它还有存在的必要吗？这就是个矛盾。在求导的时候，自变量在分母上，还有为自变量趋于0而极限不为0（也就是趋0极限不是0/0而是2x）辩护的错误不太容易被发现。而积分是自变量（被积函数）并没有在分母上，它如果趋于0反而不等于0是说不过去的。可见，极限法微积分的积分是隐含矛盾的。这是传统极限法求导的贝克莱悖论在积分时的重现。或积分方面的贝克莱悖论，尽管贝克莱本人没有提到。而如果积分小区间△x（或写为dx）不趋于0