《线性代数(经管类)》综合测验题库

《线性代数（经管类》综合测验题库一、单项选择题下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的( A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位阵二次型

）=x

2+x2+x2+2x1x2+2x1x3+2x2x3下列说确的( )3A.是正定的B.C.1D.2

1 2 3 ，f=XTAX，g=XTBX是两个n()A.XT（A+B）XB.XTA-1XC.XTB-1XD.XTABX设A，B为正定阵，( A.AB，A+B都正定B.AB正定，A+B非正定C.AB非正定，A+B正定D.AB不一定正定，A+B正定二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B( A.一定合同一定相似即相似又合同即不相似也不合同实对称矩阵A的秩等于又它有t个正特征值，则它的符号差( A.rB.t-rC.2t-rD.r-t设3 1 8.f（x1,x2,x）=x2-2x1x2+4x2对应的矩阵( )3 1 设An是n阶正交阵，且B=CTACA.A与B相似B.A与B等价C.A与B有相同的特征值

)不成立。D.A与B有相同的特征向量()A.B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似()已知矩阵有一个特征值为0，( A.x=2.5B.x=1C.x=-2.5D.x=0已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，|A-4E|=( A.2B.-6C.6D.24已知方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值( A.3，1，1C.3，1，-1D.3，0，1设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量是属-1的特征向量，则下列论断正确的( )αβ线性无关α+β是A的特征向量αβ线性相关αβ必正交设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量为可逆矩阵则下列向量( 是P-1AP对应于λ的特征向量。A.αB.PαC.P-1αPD.P-1α2λ1,λ2都是n阶矩阵Ax1x2分别是对应于λ1λ2(2必是A的特征向量。A.k1=0k2=0B.k1≠0k2≠0C.k1·k2=0D.k1≠0而k2=0()A.1，1B.2，2C.1，2D.0，019.n元线性方程组Ax=b有两个解、c，则a-c是( )的解A.2Ax=bB.Ax=0C.Ax=aD.Ax=c非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A4，A4×6A.无法确定方程组是否有解B.C.方程组有惟一解D.方程组无解对于齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形( A.只能进行行变换B.只能进行列变换C.不能进行行变换D.可以进行行和列变换

)时，x=k1x1+k2x2)。1 22.x、x是AX=0的两不对应成比例的解，其中A为n阶方阵，则基础解系中向量个数( A.至少21 B.无基础解系C.至少1个D.n-1齐次线性方程组有非0解，则k=( A.1B.3C.-3D.-1设A是m行n列矩阵，r(A)=r，则下列正确的( A.Ax=0的基础解系中的解向量个数可能为n-rB.Ax=0的基础解系中的解向量个数不可能为n-rC.Ax=0的基础解系中的解向量个数一定为n-rD.Ax=0的基础解系中的解向量个数为不确定1 2 1 设β，β为的解向量，α为对应齐次方程组的解，( 1 2 1 A.β1+β2+2α1为该非齐次方程组的解B.β1+α1+α2为该非齐次方程组的解C.β1+β2为该非齐次方程组的解D.β1-β2+α1为该非齐次方程组的解对于齐次线性方程组而言，它的解的情况( )A.有惟一组解B.无解C.只有零解D.无穷多解α1,α2是另外一个向量，则α1+β与α2+β（）A.线性无关B.线性相关C.即线性相关又线性无关D.不确定已知向量组则向量组α1,α2,α3,α4,α5的一个极大无关组( )α13，α1α2，， α1α2α， ， α1α3α， 29.α1=（1,0,0）,α2=（2,1,0）,α3=（0,3,0）,α4=（2,2,2）的极大无关组是（）α1,α2B.α1,α3C.α1,α2,α4D.α1,α2,α330.向量组1，-，0（，4，1，，）的秩( A.1B.2C.3D.4设Amnmk列矩阵，则（A.r（A,B）小于等于与r（B）之和B.r（A,B）大于r（A）与r（B）之和C.r（A,B）小于r（A）与r（B）D.不确定向量组A()A.都能C.D.不确定含有零向量的向量( A.可能线性相关2B.必线性相关C.D.必线性无关21 2 α，α，…，1 2 （）A.线性无关B.线性相关

线性无关，β

，，，β … 1 2 β …

是它的加长向量组，则β

1，β

的线性相关性是C.既线性相关又线性无关D.不确定35.设=1,1,，=（0,1,3=1,0,，试判断1,23的相关性（）A.线性无关B.线性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定36.α，β，γ是三维列向量，且|α，β，γ|≠0，则向量组α，β，γ的线性相关性是（）A.线性无关B.线性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定37.（-1，1）能否表示成和的线性组合？若能则表出系数( A.,1,1B.不能C.能,D.,1,-138.（，）能否表示成-，2，2）和6，）的线性组合？若能则表出系数( A.,系数不唯一B.不能C.能，-1，-1，1D.能，-1，1，039.设（，011，1-，则满足条件3x+β=γ的x为( A.-1/3(0,1,-2)B.1/3(0,1,-2)C.(0,1,-2)D.(0,-1,2)设α，β，γ都是n维向量是数，下列运算不成立的( )A.α＋β=β＋αB.(α+β）＋γ=α＋（β＋γ）C.α，βD.α＋（－α）＝0若m×n矩阵C中n个列向量线性无关，则C的( A.大于m大于n等于n等于m42.向量组42.向量组的一个极大线性无关组可以取为α12 α1，α2C.α1，α2 43.设有向量组（）2 3 D.α1，α，α43.设有向量组（）2 3 44.若向量组，则该向量( A.当a≠1时线性无关B.线性无关C.a≠1且≠-2D.线性相关45.向量组45.向量组线性相关，则a的值为( )B.2C.4D.5对于向量组γ（i=1，2，…n）

+0γ+…+0γ=0，则γ，γ

，…，γ

是( )向量组iB.线性相关C.线性无关D.任意

1 2

1 2 n设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT·BT是( )矩阵A.上三角C.D.既非上三角也非下三角48.如果A2-6A=E，则A-1=()A.A-3EB.A+3EC.A+6ED.A-6E49.下列关于可逆矩阵的性质，不正确的( )A.（AT）-1=（A-1）TB.可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去C.AkAl=Ak+lD.A0=150.设A=，则A*=( )。51.52.设A，B，C是n阶方阵，下列各式中未必成立的( A.ABC=ACBB.（A+B）+C=A+（B+C）C.A（B+C）=AC+AB53.54.55.A.2x=7B.y=xC.y=x+1D.y=x-1设A、B是同阶对称矩阵，则AB是( A.对称矩阵非对称矩阵反对称矩阵不一定是对称矩阵设A3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）3阶矩阵A与B相似，且已知A2，2，3.则（）下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（）已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（）61.A为三阶矩阵，为它的三个特征值.其对应的特征向量为.设，则下列等式错误的是（）62.n元实二次型正定的充分必要条件是（）该二次型的秩该二次型的负惯性指数该二次型的正惯性指数＝D.该二次型的正惯性指数63.已知相似，则有（）64.设（）A.线性无关64.设（）C.对应分量成比例D.可能有零向量二次型的矩阵为（）二次型的矩阵为（）则下列结论错误的是（）.则下列结论错误的是（）,则常数应满足（）,则常数k为（）设则齐次方程组的基础解系中含有解向量的个数为（）A.1B.2C.3D.4非齐次方程组有解的充分必要条件是（）a，b为何值时，上述非齐次线性方程组无解（）A.a≠1时，r（A）=2，r（A，b）≥3B.a=1时，r（A）=2，r（A，b）≥3C.a≠1，r（A）=r（A，b）=4D.a=1，r（A）=r（A，b）=4a，b为何值时，上述非齐次线性方程组有唯一解（A.a≠1，r（A）=r（A，b）=4B.a≠1，r（A）=r（A，b）=3C.a=1时，r（A）=2，r（A，b）≥3D.a=1时，r（A）=2，r（A，b）=3下列关于线性方程组的说法不正确的是（）齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r（A）大于未知数的个数n非齐次线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵有相等的秩如果A）=A=（n为未知数的个数，则方程组Ax=b有惟一的解如果A=rA=（n小于未知数的个数，则方程组Ax=b有无穷多解下列说法不正确的是（）77.77.设下列说确的是（）下列说法不正确的是（）设3元线性方程组Ax=A的秩为，方程组Ax=b的通解为（）设Am×n矩阵，方程Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关如果方程组有非零解，则k=（）A.-2B.-1C.1D.2已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是其导出组Ax=0程组Ax=b的通解可以表为（）若是线性方程组的解，是方程组的解，则（）.设的基础解系，则下列正确的是（）若齐次方程组有非零解，则下列正确的是（）下列说法不正确的是（）一个向量αα=0两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例C.nn维向量线性相关的充分必要条件是相应的行列式为D.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关向量组的秩的充分必要条件是（）全是非零向量中任意两个向量都不成比例D.中任意个向量都线性无关维向量组线性相关的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件89.的秩为（）D.89.的秩为（）设向量组线性相关，则必可推出（）A.中至少有一个向量为零向量B.中至少有两个向量成比例C.中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D.中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合已知向量组的一组基，则向量在这组基下的坐标是（A.（2，3，1）B.（3，2，1）C.（1，2，3）D.（1，3，2）设β可由向量线性表示，则下列向量中β只能是（）A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0，-1，0）向量组线性无关的充分必要条件是（）均不为零向量中任意两个向量不成比例C.中任意s-1D.中任意一个向量均不能由其余s-194.设AA︱=2，则的值为（）95.设（）A.-4B.-2C.2D.496.设Ann≥2，则︱=（）A.(-5)n︱AB.-5︱A︱C.5A︱︱A97.设A4×5矩阵，秩（）A.A中的4阶子式都不为0B.A中存在不为0的4阶子式C.A中的3阶子式都不为0D.A中存在不为0的3阶子式3阶方阵A2，则与A等价的矩阵为（）下列命题正确的是（）A.两个零矩阵必相等B.C.A+EA-）=2-2D.若A≠0，AB=AC则必有B=C.设矩阵，则（）设A2阶可逆矩阵，且已知，则A=（）设矩阵（）设A为反对称矩阵，下列说确的是（）下列结论正确的是（）都是nA.则下列等式错误的是（）设是nn阶零矩阵，的逆矩阵为（）C是（）.109.设则下列各式中正确的是（109.设则下列各式中正确的是（）设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1，则此行列式︱A︱的值为（）.A.3B.15C.-10D.8f（x）的常数项为（）A.4B.1C.-1D.-4行列式中第三行第二列元素的代数余子式的值为（）A.3B.-2C.0D.1113.设行列式113.设行列式则D1的值为（）B.-6C.6D.15设A为三阶方阵且（）A.-108B.-12C.12D.108设A是n为实数，下列各式成立的是（）.设A3阶方阵，且已知（）下列等式成立的是（）,.118.设A.k-1B.k（）C.1D.k+1119.设（）A.18B.-18C.-6D.6120.设行列式（A.-3）B.-1C.1D.3设都是三阶方阵，且，则下式（）.下面结论正确的是（）A.B.零矩阵都是方阵C.所有元素都是0的矩阵是零矩阵D.行列式（）125.如果（）已知（125.如果（）126.计算四阶行列式=( )A.x+3x-）3B.（x+3x-）2C.（x+3a）2（x-a）2D.（x+3a）3（x-a）行列式D如果按照第n列展开是（A.a1nA1n+a2nA2n+...+annAnnB.a11A11+a21A21+...+an1An1C.a11A11+a12A21+...+a1nAn1D.a11A11+a21A12+...+an1A1n关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说确的是（。0，则方程组必有无穷多解如果行列式不等于0，则方程组只有零解如果行列式等于0，则方程组必有惟一解0，则方程组必有零解=（。A.18B.15C.12D.24130.≠A.1

）时，方程组只有零解。B.2C.3D.4131.=（A.-9mB.9m132.设132.设=（。已知三阶行列式D1，2，3-1，1，2，D的值为（）A.-3B.-7C.3D.7行列式中元素g的代数余子式的值为（A.bcf-bdeB.bde-bcfC.acf-adeD.ade-acf下列行列式的值为（。136.n阶行列式（）等于-1。当a=( )时，行列式的值为零A.0B.1C.-2C.2行列式的值等于（A.abcdB.dC.6D.0行列式的充要条件是（）A.a≠2B.a≠0C.a≠2a≠0D.a≠2a≠0计算：综合测验题库答案与解析一、单项选择题n答案解析：A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=I，两边求逆得到nC-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=Inn即A合同于I，A正定，因此不应选A。nC是A正定的定义，也不是正确的选择。D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。答案解析：二次型的矩阵所以r（A）=1，故选项C正确，选项A，B，D都不正确。1 2 答案解析：因为fn所以An个特征值λ，λ，…，λ1 2 jjjj|A|＞0APj=λP，则A-1PP，A-1njjjj这说明A-1为正定阵，XTA-1X为正定二定型，同理，XTB-1X为正定二次型，对任意n维非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。这说明XT（A+B）X为正定二次型，由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以XTABX未必为正定二次型。答案解析：∵A、B正定∴对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX＞0；同时XTBX＞0因此A+B不一定正定，甚至AB可能不是对称阵。=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩阵A与B一定合同。只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B即相似又合同。答案解析：A的正惯性指数为t，负惯性指数为r-t，因此符号差等于2t-r。1 2 3 13 31 1答案解析：主对角线元素对应x，x，x平方项系数。a 和a 系数的和对应xx的系数1 2 3 13 31 11 2 3 12 12 21 12 答案解析xxx平方项系数对应主对角线元素0xx系-对应a 和a 系数的和a =-1,a 1 2 3 12 12 21 12 答案解析：∵C是正交阵，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A与B相似，A对。C0，CTAC相当对A与B对。两个相似矩阵AB对。（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。答案解析：属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是1，但它有n个线性无关的特征向量，因此应选择B。答案解析：C是对称阵，必相似于对角阵，故选C。答案解析：|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，显然应选A。答案解析：∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3∴E-A|展开式含有三个因子乘积（λ-λ-（-）∵|λE-A|展开式λ31∴E-A|λ-（λ-λ-）∵A为3阶矩阵∴|AE=-）3E-A|（-）3（λ-λ-（λ-）4。答案解析：设A的特征值是，则）的特征值就是λ，把1,0,-1依次代入，得到31，。答案解析：属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择A。答案解析：∵设P-1AP=B∴A=PBP-1又∵Aα=λ0α∴PBP-1α=λ0α∴B（P-1α）=λ0(P-1α)1 2 1 的特征向量不能是零向量，所以kk不同时为零，所以ACx组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以A的特征向量不选B。选D是因为k2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A1 2 1 答案解析：得到特征值是1，1。答案解析：A(a-c)=Aa-Ac=0，所以a-c是Ax=0的解。64，因此方程组有无穷多解，选B.答案解析：齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时只能进行行变换1 答案解析：x、x不对应成比例，所以这两个解是线性无关的，从而基础解系中向量个数至少是1 答案解析：答案解析：∴k=3时，|A|=0有非0解答案解析：教材P1124.1.1答案解析：本题考查线性方程组的解的性质，依题意知，（β1β2）＝，0（β11α）＝10，（β12）＝，0β1β2α1）＝0，，因此选。答案解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况。系数矩阵A=以-2-33加到第三列上，得，因此r（A）=3，系数矩阵的秩等于未知数个数，因此方程组只有零解，选C。答案解析：例如，α1=（1,1）,α2=（0,2）,β=（-1,-1）则α1,α2线性无关，而α1+β=（0,0）,α2+β=（-1,1）线性相关。如果β=（0,0）,那么α1+β,α2+β还是线性无关的.答案解析：进去，就一定线性相关，由计算知α1,α2,α4线性无关，但α1,α2,α3,α4线性相关，所以选C。答案解析：把向量组拼成矩阵并用初等变换求秩：求出秩等于2.答案解析：教材P100的推论答案解析：向量组的任何一个部分组都能由该向量组线性表示.答案解析：含有零向量的向量组必线性相关。答案解析：根据线性无关组的加长向量组也无关.答案解析：系数行列式等于2，判断出是线性无关的，所以选A答案解析：首先排除C，因为向量不可能线性相关又线性无关,只能是相关或者无关.再根据教材91页两个重要结论得出本题答案为A答案解析：假定（-1，1）=λ1（1，0）+λ2（2，0）,λ1和λ2答案解析：假定（4，0）=λ1（-1，2）+λ2（3，2）+λ3（6，4）=（-λ1，2λ1）+（3λ2，2λ2）+（6λ3，4λ3）=（-λ1+3λ2+6λ3，2λ1+2λ2+4λ3）可得方程组：因此，第一个向量是其余向量的线性组合，而且表示不唯一，它的表示式可为：（4，0）=-（-1，2）-（3，2）+（6，4）或（4，0）=-（-1，2）+（3，2）+0·（6，4）3x+β=γ.答案解析：应该是α，β对应分量都相等，可以说明α=β。答案解析：C的秩等于C的列向量组的秩，也等于C的行向量组的秩，而C的列向量组的秩为n，故选C。答案解析：可以把α1，α2，α3，α4组成一个矩阵，化简为阶梯形后，可见向量组的秩为3，α1，α2，α3可构成一个极大线性无关组，故选C。答案解析：不妨将每个向量看成是列向量，设A1,…,αBβ1,…,，则分块阵AB）的秩就是3，因为A,）A+（B，故3≤+r2,即3-12，应该选择B。答案解析：答案解析：答案解析：和C向量组中的向量每个乘以零再求和永远等于零向量，因此无法判断这组向量是否线性相关，故应选Ｄ。答案解析：AT、BT均为下三角矩阵，因此ATBT也是下三角矩阵答案解析：A（A-6E）=E，因此A-1=A-6En答案解析：参见教材50-51页，A0=E。n答案解析：二阶矩阵的伴随矩阵就是原矩阵的主对角元素互换，副对角元素换号。答案解析：答案解析：矩阵的乘法一般不满足交换律。答案解析：2×2矩阵，而C和D2×3阵，不可能和AA中矩阵是非异阵，而A是奇异阵，B中矩阵和A1，必等价。答案解析：答案解析：因为A，B为对称矩阵，即AT=A，BT=B。又（AB）T=BTAT=BA，若A与B乘积可交换，即AB=BA，则（AB）T=BA=AB，即AB为对称矩阵。所以AB与BA不一定相等，所以AB不一定是对称矩阵。答案解析：答案解析：答案解析：答案解析：答案解析：因为实对称矩阵的特征值都是实数，故A，C都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故B也不正确；应用排除法，知答案为D.答案解析：答案解析：二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数＝n答案解析：答案解析：答案解析：A属于不同特征值的特征向量线性无关.答案解析：答案解析：二次型的矩阵的定义答案解析：根据相似矩阵的性质判断B错误.答案解析：根据特征值，特征向量的定义和性质判断A错误.答案解析：答案解析：答案解析：向量答案解析：向量答案解析：非齐次线性方程组有解的充分必要条件r（A）=r（A，b）答案解析：答案解析：答案解析：请参看教材P112答案解析：答案解析：根据P112基础解系的定义知道基础解系一定是线性无关的，所以B错误.77.正确答案：B答案解析：ηAx=b的一个解，ξ是它的导出组Ax=0ξ+ηAx=b.C根据解的.答案解析：答案解析：设为齐次方程组的系数矩阵的列向量组，则齐次方程组可写成AX=0.Ax=0仅有零解的充分必要条件是r（A）=未知数的个数（即矩阵A的列数）.答案解析：即1（k+=，所以k=-1（）答案解析：答案解析：考查齐次方程组和非齐次线性方程组解的性质答案解析：答案解析：答案解析：齐次方程组有非零解的充分必要