一堂充满文化气息的探索课

一堂充满文化气息的探索课——球的体积的案例冷水江市第七中学（417500）李继龙最新年获湖南省一等奖教学目标知识目标：掌握球的体积公式，并能应用其解决有关问题；能力目标：提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法；情感目标：通过渗透数学文化知识，提高学习数学的兴趣，培养爱国主义精神教学重点和难点重点：球的体积公式的探索与应用难点：球的体积公式的探索教学过程创设情景，激发热情（课前准备）教师在讲台上放一个乒乓球、一个篮球和一个钢球教师：你们有什么办法求出它们的体积吗（学生讨论）学生1：由于乒乓球和篮球是空心的，将它们注满水，水的体积可以近似地等于它们的体积学生2：将钢球放入盛满水的容器中，测出钢球排出水的体积，即为钢球的体积教师：这两种方法都能求出它们的体积的近似值但学生1的方法具有破坏性不可取；学生2的方法与阿基米德测量皇冠的思想方法是相同的，但要是有一非常大的球，比如地球、月亮、上海电视塔上的球体等，这些方法都无法解决能探索一种解决“球的体积”的一般计算方法吗（板书课题）交流讨论，推测模型教师：圆的面积是，它可以看成是底边是底边等于圆的周长，高为半径的三角形的面积那么能根据这种关系，推测球的体积公式的大致形式吗（学生分组讨论，然后请不同观点的学生代表阐明自己的看法）学生1：圆的面积，那么球的体积一定与有关，应该是的函数学生2：球是旋转体，球体积公式就是的倍数学生3：因为圆可以看成是底边等于圆的周长，高为半径的三角形的面积那么球的体积可看成是底面等于球的大圆面积，高为球的半径的圆锥的体积的两倍学生4：学生3的说法肯定不准确，球的体积应该比这样的圆锥的体积的两倍要大学生5：球的体积可看成底面等于球的表面积，高为球半径的三棱锥的体积……教师：大家的讨论中体现了球的体积公式的探索基本思想方法，即分割法，如学生5的说法，截面法，如学生3的说法同时，都认为球的体积公式中一定含有，那么怎样确定公式中的系数呢观察类比，猜想模型在上面的讨论后教师投影展示下列三幅图RRRRRRR图1图2图3教师：这三幅图分别是什么几何体它的体积的大小关系如何你能求出哪些几何体的体积（学生讨论）学生异口同声说：圆柱、半球和圆锥，它们的体积大小是：教师：因为，那么上述关系为，同学们大胆猜想一下球体积的公式学生：半球的体积位于之间，由前面学习的二分法思想可以猜想，它的体积可能是它们的平均数，即，因此球的体积公式是教师：这位同学猜想的结果是正确的爱因斯坦曾说过：猜想比知识更重要因此，我们在学习中要敢于猜想，其实社会的进步是在人们的猜想中前进的回顾历史，再现探索教师：球体积公式的推导主要有两种方法：分割法阿基米德、开普勒和松永良弼和截面法祖暅、卡瓦列利和徐有壬公元前3世纪，欧几里德在《几何原本》里提出，“球的体积V与它的直径D的立方成正比”稍后欧几里德和数学家阿基米德通过力学方法发现：球的体积是以其大圆为底，半径为高的圆锥体积的四倍在我国，对球体积公式探索也很早，汉以前以一寸的黄金立方体和直径为一寸的黄金球的立方得球的近似公式数学家祖暅在刘徽的基础上解决了球的体积问题下面我们一起探索祖暅是怎样证明球的体积公式的教师：如图4，设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆的半径为r，你能用表示截面圆的面积吗学生讨论学生：因为，所以截面积教师：，使你想到了什么图形的面积公式学生：可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为的同心圆，所得圆环的面积RR图4图5OrO＇O1A教师：如图5，根据上面的分析，我们构造一个底面半径和高都是R的圆柱与一个圆锥的体积的差的几何体，将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差这就是利用祖暅原理求球的体积公式的基本方法（介绍祖暅的基本情况）教师：哪位同学能到黑板上板书推导过程吗学生：，所以从而=，故教师：上述探索过程说明，猜想是知识进步的原动力，证明是实现知识进步的手段，因此，我们在学习中要敢于大胆的猜想，放飞我们思想的翅膀，在知识的海洋中翱翔共同探讨，灵活运用例长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O，过一个顶点的三条棱长分别是3cm、6cm和9cm教师：要求球的体积，必须求出它的半径，那么它的内接长方体与球的半径有怎样的关系呢（学生讨论）学生1：感觉长方体的对角线就是球的直径，但我不知道理由学生2：由对称性可以得到这个结论学生3：球的直径的平方就等于已知的三条棱长的平方和，这样就可以求出它的半径，从而可求出球的体积教师：这三位同学的分析很正确，哪位同学到黑板上板书过程学生：设球的半径为R，则有，所以，所以教师：由上题可知，若长方体的过一个顶点的三条棱长分别是,那么它的外接球的半径自我总结，加深理解教师：大家用1分钟的时间总结本节课所学的内容，然后请几位同学来总结学生1：我们了解了球的体积公式的发展过程，及基本推导方法学生2：学会了运用祖暅原理证明了球的体积公式学生3:知道了平面几何知识与立体几何知识之间存在着相似的基本关系学生