RLC 动态电路的时域分析

4章动态电路的时域分析学习指导与题解一、基本要求明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。能熟练地运用经典分析RC和RLRCRL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。渡过程中的暂态响应与稳态响应。RCRL一阶电路过渡过程分析的三要素法。能分析含受控源一阶电路的过渡过程。电路阶跃响应的计算。RLCRLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。会计算RLC串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。二、学习指导电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。教学内容可分如下四部分：过渡过程的概念；换路定律；RCRLRLC分析；叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RCRL一阶电路过渡过程中暂态响应与RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。现就教学内容中的几个问题分述如下。（一）（一）关于过渡过程的概念与换路定律1电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。电路过渡（L以及耦合电感元件的电路发生换路工作状如t=0时刻换路）之后，即t>0时储能元件的能量必须发生神化,电路是才能产生能量转换的过程.如果电路换路之后，储能元件的能量不发生变化，意味着换路后立即到达稳态，电路就不发生五家渠市过程了。2 若t=0时刻换路，t=0_表示换路前最后的瞬间,t=0表示换路后最初瞬间。电压和电的初始值就是t=0 时的数值，用u(0 )和i 如果换路时刻电容电流和电感电压都是有限值，则换路时刻电容电压和电感电流不能跃 L 变，即u(0 )u(0 ),i (0 )i L （1）适用于换路定律的电量，只有电容电压和电感电流，其它电量是不适用换路定律1c的因为电容电压和电感受电流是电路的状态变量决定电路的储能状态即 =2c

2C， L 2

Li2

。因此，储能不能跃变，必然是电容电压和电感受电流不能跃变。而电路中的L其它电量，如电容电流、电感电压、电阻电压和电流等，过都是非状态变量，在换路时刻是可以跃变的。L（2）换路定律适用电路的条件是，换路时刻电路中的电容电流和电感电压均为有限值，否则换路定律不能应用。这是由电容和电感元件的基本性质所决定的。即伏安特性为101u (0C

)uC

(0 )

iC 0

dtuC

(0 )因t=0时刻电容电流iC为有限值，上式中的积分项为零。101i (0L

)iL

(0 )

L

dtiL

(0 )同理，因t=0时刻电感电压uL为有限值，上式中的积分项为零。4-1（a）uC(0)0t0KuC(0)Us，电容电压C发生强制跃变，必然换路时刻t0电容电流i (0)，为非有限值；又如图所CL s L 示电路，i (0 )0,t0时刻进行换路，I 输入电感元件L，i (0 L s L L强制跃变，必然换路时刻t0电感电压为u (0)，为非有限值。由此可见，换路时刻电容电流和电感电压为非有限值则电容电压和电感电流可能发生跃变换路定律不能应用LbKbKt0aISiLLt0i uLU C u S C(a) (b)图4-1 电容电压和电感电流的强制跃变初始值与t0 电路C L 我们所讨论的RC和RL以及RLC电路都是适用换路定律的。这类电路换路后电路初始值，对于电容电压和电感电流而言，求出u (0 )和i C L C L C L u (0 )和i (0 )电路时，u (C L C L 稳太值与稳态电路过渡过程结束后，电路中的电压和电流的最终值，就是新的稳定状态的数值，即稳态直流稳态电路，这时电路中电容相当于开路，这时按相量法计算出稳态值。电路过渡过程分析的目的与立法电路中过渡过程分析的目的，主要是研究过渡过程中电压和电流的变化规律。它与动这种方法将在第十三章介绍。（二）关于RC和RL一阶电路过程的分析RCRL一阶电路含有一个独立储能元件的电路，动态特性是用一阶微分方程来描述，称为一阶电路。如图4-2（（b）所示RC和RL用戴维南定理等效化简为典型的一阶电路。RCRL一阶电路的微分方程RCRLRCRL一t0Kt0Kt0RUSKt0RULSuC(a) (b)图4-2 典型RC和RL一阶电路S S路的微分方程如图4-2(a)所示电路U 以u (t)为变量，t0S SduRC dt

u UC S这是常系数线性非齐次一阶微分方程。齐次微分方程是duRC dt

u 0CC电路换路后过渡过程中的电容电压随时间变化的规律就是满足初始条件u (0)微分方程解。CS S 又如图12-2(b)所示RL电路，u U ，以i(t)为变量，t0S S diL dt

Ri UL S这是常系数线性非齐次一阶微分方程。齐次微分方程是diL dt

Ri 0LL电路换路后过渡过程中的电流i(t)随时间变化的规律，就是满足初始条件iL(0)微分方程的解。L电路的初始条件，由初始状态来确定。过渡过程是的暂态响应与稳态响应C 0 0 S ch如图所示RC电路初始状态u (0)U 且U U 0时的u (tC 0 0 S chC是以uC

(t)为变量常系数一阶非齐次方程的解，包含齐次微分方程的通解u

Ke

tRC，和Cp 非齐次微分方程的特解u U Cp u (t)u uC Ch Cp

tKeRCUSC 根据初始条件u (0)U ，确定积分常数。当t0C u (0)KU UC S 0故最后解出过渡过程中的电容电压为

KU U0 Su (t)(UC

U )eS

tRCUS

t00上式等号右边第一项(U0

U )eS

tRCtS又称自由分量第二项U 是与激励电源形式相同而与时间t无关的恒定值当t时，SC S u (t)U ，故称为稳态响应，又称为强制分量，由此可见，过渡过程中的电容电u (tC S 可以解为：暂态响应与稳态响应之和。在工程上，RC电路电容放电过程中的电容电压为u (t)UCU

t0e RC t00t电容放电电压是从初始值

0

RC就是指数规律衰减的因子。CRC电路当u (0)0电容充电过程中的电容电压为Cu (t)UC

(1eS

tRC) t0S电容充电电压是从零按指数规律上升到稳态值US子。

te

)就是从零按指数规律增长的因C电路中的电流i 则根据电容零件的得出，即Ci (t)CC

du (t)CdtUI SLRLiL

(0)I 00

R 。t0iL

(t ，是以i(t)为变量的非齐次微分方程满足初始条件的解，即Li (IL

0

UR

R)e L

USR t0(I U

Rt U)eL S式中，0 R 是暂态响应；R 是稳态响应。时间常数RCRL电路过渡过程中

(tC

t和iLt)eRCRt和eL

LRCR数R，C和R、L均为常数，故称为时间常数，用表示。对于图12-2所示典型一阶电路，LRC电路RC，RL电路 R。对于非典型一阶电路，时间常中的R，戴维南等电路的等效电阻。时间常数是一阶微分方程的特征方程的负倒数。如图12-2（a）程的特征方程是故特征根为

RCS 10因此，时间常数

1S RCRC1S特征根S具有频率的量纲,即秒1。由电路的参数R，C确定，反映电路的固有性质，故称为固有频率。时间常数是决定电压过渡过程中电压和电流变化快慢的物理量。其值是过渡过程中暂态响应衰减到初始值36.8%之，值越小，衰减就越快，则过渡过程就越短。从理论上讲，要经过无限长时间暂态响应才能衰减为零，过渡过程才能结束。但是，在工程一般认为经过（3~5）的时间，暂态响应已衰减趋于零，过渡过程便结束了。t0的时间常数都是相同的。换句话说，一个电路换路后只有一个时间常数。直流一阶电路分析计算的三要素法由于直流一附上电路换路后在过渡过程中的电压和电流，是从初始值按指数规律衰减。因此，过渡过程中的电压和电流是随时间的变化规律，由初始值、稳态值的时间常数所f(0)f)和时间常数，则过渡过程中的电压和电流f(t)，便可直接由如下三要素公式得出，即

tf(t) t

f(0

)f()e

f() t0上式中，

f(0

)f()e

f是稳态响应。上式所示三要素公式化，适用于直流激励、有损耗一阶电路，t0时刻换路，t0时电路的过渡过程分析。有损耗一阶电路的戴维南等效电阻R是正值，特征根S是一个负数，

t，随时间作衰减变化。三要素法是一阶电路过渡过程分析的实用计算法，不必列出和求解电路的微分方程，点。因此，在工程实际中具有重要意义。S 关于正弦激励一阶电路过渡过程的分析计算步骤，与直流激励一阶电路分析方法相12-2（a）RC电路，t0时刻换路，接入电源uUsin(t，是K闭合t0S Ct0时以电容电压u(t)为变量的微分方程为CduRC Cu

sin(t)dt C sm解微分方程：齐次方程的通解为tu KeChCp非齐次微分方程的特解，就是稳态响应u ，按t0时稳态电路，用相量法求出。即正稳态时RC串联电路的电容电压为CpU S

U 1(jX )C Z C

S (j )1 CRj CU 90R2R2(1)2U式中：C

U CS

是稳态电容电压有效值；arctg

1 RC是RC串联电路的阻抗角。解出稳态响应为

u sin(t90)CpUCm过渡过程中电容电压为u U uC Ch Cp=Ke

tRCU

sin(t90)CmC 确定积分常数若u (0)0，当t0C u (0)KUC

sin(90)0KUCm最后解出过渡过程中的电容电压为

sin(90)u (t)UC

sin(90)e

tRCUCm

sin(t90) t0过渡过程中电容电压的暂态响应，与开关K初相角的数值，取决于开关闭合的时刻。当不财的时刻开关闭合时，积分常数K的数值不同。如果当（

2时刻开关闭合，则积分常数K0，暂态响应为零，电路称路后立即到达稳态值，没有过渡过程。如果当或()K闭合，则积分常数KUCm为最大值，这时电容两端可能出现过电压。对于正弦电源接入RL电路的分析，按上述同样的步骤进行，可以得出与RC的结果，读者自行总结。正弦电源激励动态电路过渡过程的分析是本章学习的一个难点。（三）关于零输入响应、零状态响应与完全响应从现货电路理念的观点，电路中不仅独立电源是电路的激励，而且储能元件的初始储零输入响应输入就是电路外加电源激励，零输入就是外加电源激励为零。电路反由储能元件的初始状态作用下的响应，称为零输入响应。如图4-2（a）所示RC 电路S S C u U 0u (0S S C 零状态响应

u(t)UC

(1e0

tRC) t0电路在非零状态下，由外加电源激励下产生的响应。称为零状态响应。如图4-2（a）所示RC电路，初始状态u

(0)0,uC

U ，则零状态响应为完全响应

u(t)UC

tSe RC) t 0S0电路在非零状态下，由外加电源激励和初始储能共同作用下产生的响应，称为完全响应。SS C 0, 0 如图所示RC电路，u U ,u (0)U 且SS C 0, 0 是零输入响应与零状态响应之和。即tu (t)u(t)u(t)U e RC

te

) t0C C C 0 S应该指出，从概念上应明确如下几点：零输入响应和零状态响应，都不能与产生它的原因成正比，即零输入响应与储能元0 件的初始状态U成正比，而零状态响应则与外加电源电压U0 零输入响应不同于暂态响应，零状态响应不同于稳态响应。一般而言，完全响应是则仅是强制分量，与外激励电源的形式相同。稳态响应之和，则不总是存在的，因为在某些情况下，暂态响应可能为零。完全响应的两种分解方式，是从不同的角度描述电路中发生的过渡过程。从过渡的在实际工程中具有直接的实用意义。RURU(t)uC图4-3 阶跃电源电压RC电路系统（四）关于阶跃函数与阶跃响应单位阶跃函数的定义为(t) 1

(tt)0(tt)0单位延时阶跃函数的定义为

(t

) 0

(tt)00 1 (tt)0单位阶跃函数的作用u(t)US0t用来表示t0K闭合，直流电u(t)US0tS可用图12-3所示的由阶跃电压U (t)电源SS激励的RC电路表示，U (t)代替了t0 tS0S时刻K闭合将直流电源电压U 接入RC电路Su(u(t)S0U

的作用。在t0时刻换路后过渡过程中的电以表示为

(t)表示了t04-2（a）RC电路t0时的电容电压可Cu (t)(U C

1)eRCU

S(t)S0 S (b)u(t)0SCu (u(t)0SC或 t

1eRCU0

1 Se Se 用阶跃函数表示矩形脉冲信号，如图4-4C（）的矩形脉冲电压u (t)，可以用图4-4（b，CUS（c）的阶跃函数u(t)U (t)和延时阶跃函数SS u(t)U (tt)之和来表示，即 (cS C(t)=u(t)+u(t) 图4-4 用阶跃函数表示矩形脉冲CS S U (t)U (ttS S 单位阶跃响应的定义单位阶跃响应的定义为：零状态电路在单位阶跃函数电源(t)激励下的响应。并用S(t)表示。RC电路的单位阶跃响应为1S(t)(1eRC)(t)单位延阶跃时响应为S(tt0

tt )e

)(tt)0对于如图4-3所示的RC电路的阶跃响应是u (t)UC S

S(t)U

1 t tSS 如果电路的激励是延时阶跃函数U (tt)时，则RCS u (t)UC S

S(tt0

)U

tt (1 S

)(tt)0关于阶跃函数激励非零状态电路的响应C 0 0 S 应用叠加定理，这时电路的完全响应是零状态响应，即阶跃响应和零输入响应之和。如图4-3所示电路，u (0)U ，且U U 。这时电路的阶跃响应U S(t)C 0 0 S 响应为U

t 0e RC (t 0u (t)UC S

S(t)+U

teRC(t)0（五）关于RLC二阶电路的分析方法由两个独立储能元件组成的电路，其过渡过程的特征性用二阶微分方程描述，故称为二阶电路。RLC串联电路，是典型的二阶电路。通过对它的分析来明确二阶电路过渡过程的基本概念和分析方法，着重讨论RLCRLC串联电路的充电过程，即零状态响应和完全响应。Kt0RLiCUKt0RLiCUCSt0时以电容电压u

C为变C 量描述动态过程特性的微分方程是图4-5 RLC串联二阶电路d2uLC dt2

duRC dt

u 0CC过渡过程中电容电压u 随时间变化的规律，就是微分方程的解。方程的求解，需有下两个初始条件：Cu(0)C

u (0)duCduCdtt0

i (0) LCC只要知道电路的两个初始状态uC

(0和iL

(0)，按上式便可得出初始条件u

(0)和u(0)。CCC于是串联电路的放电过程的u ，就是满足上述初始条件齐次微分方程的解；充CCCC电过程的u ，就是满足初始条件非齐次微分方程的解。C电路的固有频率与固有响应电路的固有频率，是二阶微分方程的特征方程的根。即

LCS2RCS 10S1,2

R ( )2( )22LR1LC1的固有响应就是零输入响应，是上述二阶齐次微分方程的解。根据R，L，C元件参数的不同数值，固有频率和固有响应，有如下四种形式。（1）当

R

LC1时，固有频率是两个不等的负实数，即LC1

S，1 ，

2。这时2固有响应是过阻尼放电过程，其数学表达式为tu (t)Ke1tK e2ttLCC LCR2

S j（2）当

时，固有频率是一对负实部的共轭复数，即1 d，2 S j 2 tu (t)e(K cos tK sin ttLCC 1 d 2 LC（3）当

R2

时，固有频率是两个相等的负实数，即S

1,

。这时固有响应是临界阻尼非振荡放电过程。其数学表达式为tu (t)(K K t)etC 1 21 2 （4）当R0时，固有频率是一对共轭虚数，即S j ，S j1 2 tu (t)K costK sinttC 1 0 2 0C已知电路中的两个初始状态，便可得出两个初始条件uC

(0) u和C和

(0)，上述u

(0)式CK1K2便可确定，放电过程中的响应电容电压便可解出。应该指出，二阶C电路微分方程的初始条件和积分常数K和K 的确定，是二阶电路的分析计算中的难点。1 2和由以上分析可知，二阶电路分析的基本步骤是：(a)根据微分方程的特征方程计算出电路的固有频率；(b)根据固有频率写出固有响应的表达式；(c)根据电路的初始条件，确定和求解方程计算积分常数K和K1 2

的初始条件u

(0) u(0C

,并根据初始条件和固有响应表1 2 C达式确定积分常数K和K ,便解出了放电过程中的响应变量电容电压u (t)还应指出，二阶电路的固有频率是“复频率1 2 CS1,2

jdd式中，是正实数，它决定响应的衰减特征，称为衰减常数； 是决定电路响应衰减振荡dd的特性，称为阻尼角频率 d

22 ，0 ，

是电路固有的振荡角频率，称为谐振角频率。上述计算固有频率S1,2RLC微分方程为d2f(t) df(t)a b cf(t)Edt2 dt的特征方程为则电路的固有频率是

aS2bSc0S1,2

b(b)(b)2c2a aRLC串联二阶电路充电过程的分析方法S当外加直流激励电压源电压U时，RLC串联电路的充电过程，若电路初始储能为零，SC S uUuC S

R

LC1时，固有频率是LC1

S1，S

2。则u (t)KeC 1

K e2tU 0tt

R

LC1时，固有频率是LC1

jd

S j 。则，dt2u (t)e(K cos tK sin t)U，dt2C 1 d 2 d S

R

LCLC

S1,

。则u (t)(K K t)eC 1 2

U 0tSt1 2 当R0时，固有频率S j ，S 1 2 tu (t)K costK sintUtC 1 0 2 0 SC最后，根据初始条件uC

(0和u(0K

2，便解出响应变量uC

(t)。C1关于振荡与非振荡的概念C1电路过渡过程的实质，就是能量的转换过程。这种能量转换的过程，由电路的两个初C始状态u(0)，i(0)和电路结构及元件参数来确定。在无电源RLC串联电路的放电过程中，CLLC一无储能。在过渡过程中电阻元件R总是消耗能量的，电容元件和电感元件是要释放出原RLCRLCR2即

时，电阻元件消耗功率较小，按能量守恒原理，在放电开始一段时间内，某一储能元件，如电容元件释放出的电场能量，一部分为电阻R所消耗，另一部分为电感元件R所消耗，另一部分为RLCR

R

LCLC根据能量守恒原理，这时电容和电感元件均不断同时释放储能，提供给电阻R全部储能为电阻元件所消耗，过渡过程便结束，形成非振荡性的阻尼放电过程。这应指出，如果二阶电路的两个独立储能元件的性质相同的元件时，在放电过程中，过程。RCRL电路放电和充电间常数的概念，熟练掌握直流一阶电路分析的三要素法。对于RLC二阶电路，着重固有频率与固有响应的关系的掌握。三、解题指导（一）例题分析例4-1] 应用经典法求解一阶电路过渡过程的分析计算如图4-（所示电路t0L时刻进行换路，开关K触头从a合于b，换路前电路处于稳态，试列出以i(t)为变量，t0LL时电路的微分方程2求出t0时电流i(t)及其暂态响应与稳态响应求出t0时电路的零输入响应、零状态响应和完全响应。L解[解题思] 本题是用经典法分析RL一阶电路过渡过程的计算由于所给出的电L路是典型RL电路，故分析时应将t0时电路应用戴维南定理化简为典型的RL串联一阶电路，从而方便地列出电路的微分方程。初始状态，亦即初始条件i (0)的计算，由于换L前电路处于直流稳态则应作出t0 电路计算得出按t0时等效电路便可列出以i(t)响应并得出完全响应。L [解题方法]（1）计算i (0)，作出t0 电路如图12-6（bL 得出4i (0)L 48

31A（2）应用戴维南定理化简t0时的图4-6（c）电路为如图4-6（c）所示等效电路。其中U 24 2418OC 824 VR824824

6L（3）所示等效电路，列出t0时，以i(t)为变量的微分方程为Ldi (t)2 L 6idt L

(t)18（4）t0时i(t的计算。求解上式所示微分方程，其通解为Li KeLh

RL

Ke3tKabt08iL83A424V242H3A424i(0)L (a) (b)8iL6iLV242H8V2H)t0电路 (d)t0等效电路图4-6 例12-1电路图特解为Ui S

3故得出i(t)全解的表达式为L

Lp Ri (t)i iL Lh

6Ke3tt0时刻，上式为i (0)K31LK2解出过渡过程中的电流为

Li(t)=2e3t3A t0L其中，暂态响应为2e3tA，稳态响应为3A。（5）零输入响应、零状态响应和完全响应 Rt零输入响应为 iL

(t)i (0)e L

e3t A t0i(t)USe tRL)

L R3(1e3t) A t0i (t)i(t)+i

(t)=e3t+3(1e3t)A t0L L L例12-2] 应用三要素法求含受控源一会电路的过渡超过程.如图4-7(a)所示电路,CC t0时刻开关K闭合,换路前电路处于稳态,u (0 )2试用三要素法计算t0时电中的电流i和电压u CC 解[解题思] 本题是一含受控源RC一阶电路的分析计算，应用三要素法解题，C 分别计算出初始值u (0 )，i(0 )，稳态值u ()，i()和t0时电路的时间常数C iKiK6Vt0i110.8FC

i(0) 6V

1 2V2i(0)i()

(a)电路图 (b)t0 电路 6V

1 i()

i11i11I2i0)t电路 (d)求R电路0C 图4-7 例12-2电路[解题方] （1）计算初始值u (0 )和C C C 根据换路定律得出u (0 )=u (0 )C C 作t0 电路，如图所示。应用网孔分析法，选定绕行方向为顺时针方向，出网孔方程分别为①4i(0 )i (0 )6①C ②3i(0 )2i (0 )2②C 应用克拉姆法则解上述网孔方程组得出i(0

) 1026 16 1224 132 A（2）计算稳态值uC(和i(作出t(电路，如图4-7（c）KVL方程为(11)i()2i()6i()6得出 4

1.5Au ()1i()2i()3i()C31.54.5 V（3）计算t0时电路的时间常数0 先求电容元件C断开后电路的戴维南等效电阻R 。求R 电路如图0 受控源电路，应用伏安关系，端口外加电压源电压为U，产生输入电流为I。列KVL方程为UR 故 0 I

U1I(Ii)12i5I3U51.254 0时间常数为 RC1.250.81s0C(4)按三要素公式计算u (t)和i(t)C tu (t)C

u (0C

)uC

()e

uC

()(24.5)et4.52.5et4.5 V t0i(t)[i(0

t)i()]ei()21.5et

1.5二

0.5et1.5 A t0练习题4-3 如(a)所示电路，t=0时刻开关K打开，换路前电路处于稳态。试求换路后初始值uC(0),iL(0),uL(0),iR(0)和iC(0).(b)练习题12-3的图C解(1)计算uC

(0 ),i(0 )L 由于换路前电路处于稳态，则 i(0) 12 9124 0.75AL 1246 124故按换路定律得出

u (0C

)4iL

(0)40.753Vi(0L

)iL

(0)0.75Au (0C

)uC

(0)3V(2)计算u (0),i(0)和i(0(2)计算L R C 作t0 电路，如图(b)所示。则有i(0R

) 3 0.25A12u (0 )40.7530VL i(0C

)[i(0L

)iR

(0)](0.250.75)1A练习题4-5 在RC电路电容放电过程中，C4F，要求在放电开始后0.8秒内放电过基本结束。问放电回路中电阻R是多少？解若经过4时间放电过程基本结束，则0.80.2s4因RC，则有

R

0.2 5010

50kC 4106练习题4-8 如图所示电路，t=0时刻开关K闭合，开关闭合前电路处于未充电。问开关闭合后经1ms时间的电容电压是多少？练习题4-8的图解(1)当电容元件断开后电路的戴维南等效电路：u 16OC 2R 10120200 2计算电路的时间常数：R电容的充电电压为

C20501060

1msCu (t)3(1e103t(4)当t1ms时，电容电压为Cu (1ms)3(1e103103)C3(1e1)1.9VL 练习题4-9 如图所示电路，当t=0时刻开关闭合，换路前电路处于稳态。求t≥0时电感流i(t)和电压u (t)和u L 解(1)i

(0

练习题4-9图6 32A=63L 610-3(2)=R= 3

=2103sL(3)i (t)=2e500tA t≥0Ldi (t) d L Lu (t)=L dt =610L6e500tV t≥0

dt(2e500t)RLu (t)=3i (t)6e500tV t≥0RL练习题4-13 如图所示电路当t=0时刻开关闭合开关闭合前电路处于稳态求t≥0i(t)。解应用叠加定理解题。2A电流源作用于电路时，因换路前电流源已作用于电路，且已处于稳态，故Li' (t)=2A t≥0L4-13图10V电压源单独作用于零状态电路时，t≥0电路中的电感电流为i" (tL

10 2(1

RtL )进行叠加得出电感电流为

5(1e

2810

t)5(1e250t)A t≥0= i (t) i' (t) i" (t= L L L=2+5e250t)A t≥0练习题4-21 如图(a)所示电路。

(02mA,输入如图(b)所示波形电流i(t)求完全响应L。i (t)应L。L练习题4-21图解(1)i(t)用延时阶跃函数表示为i(t)=9(t-2)-9(t-4)mA当9(t-2)mA电流作用时的阶跃响应为2910-324 [1-e

2103(t2)]=3[1e2000(t2)]·(t-2)mA当-9(t-4)mA电流作用时的阶跃响应为22910-3[1e2000(t2=3[1e2000(t4)]·(t4)mA故阶跃响应为Li' (t)=3[1e2000(t2)]·(t-2)3[1e2000(t4)]·(t4)mAL(2)零输入响应L在初始状态i (0)=2mA作用电路的响应为L=i" (t) =L

(0)et=2

e2000t(t)mA(3)完全响应为=i (t) =L

' (t) +L+

" (t)L=3[1e2000(t2)]·(t-2)-3[1e2000(t4)]·(t-4)+2e2000t·(t)mA练习题4-29 如图所示电路。当t=0时刻开关K闭合，电路进行充电，开关闭合前电C路中无储能。求t≥0时u (t)和i(t).C练习题4-29图解(1)计算电路的固有频率S1,2

2 21

1j(22(22)2111齐次微分方程的通解为u (t)et(KCh 1

costK2

sint)非齐次微分方程的特解为1完全解为1

u (t)6Cpu (t)uCpC Cp

(t)+u (t)=6+et(K

costK2

sint)KK1 2CCuCC

(0)=0，(0)=0

(0)L

du (t)du (t)Cdtu'C当t=0时刻，有

(0)

L 0t0 CC 1 1u (0)=6+K=0 KC 1 1C对式u (t)求导并取t=0值为Cu' (0)K K 0C 1 2K2故解出响应电容电压为

K 61u(0)6et(6cost6sint)u2C22i2

[6

sin(t45)](t)Vi(t)

du (t)C dt

d

[6

sin(t45)]3 2et[sin(t45)cos(t45)]3 2et[(sintcos45costsin45)(costcos45sintsin45)]3 2et(sintcos45sintsin45)3 2et(2

2sint)26etsint(t)A本题解题中应用的三角函数公式有：sin)sicocosico)cocosisi(三)部分习题解答34-860a(1)t≥0时以uC(t)为变量的微分方程；(2t≥0时uC(t)和i(t)；(3)计算出t0，t5mst10ms20ms时刻电容中的储能。解(1)时电路的微分方程为duRC dt

(t

u (t)0Cdu(22)1032.5106 Cdt

(t

u (t)0C10103

du (tCdt

u (t)0C2 t≥0时响应uC(t)iC(t)u (0)2103510C

10VRC(22)1032.5106t

10msu (t)uC C

(0)e

10e100tV t≥0i(t)C

du (tC

2.5106d

(10e100t)C(3)计算各时刻的储能

dt dt2.5e100tmA t≥0ut=0时刻：C

(0)10v,C

(0)12.51061022

125Jut=5ms时刻：C

(5)6V,C

(5)12.5106622

45Jut=10ms时刻：ut=20ms时刻：

)3.68V,C(20)1.35V,C

)12.5106(3.68)22(20)12.5106(1.35)2

16.9J2.29J4-89t0K(1)t≥0i(t)为变量的微分方程；(2t≥0iL(t)；(3)计算出t0ms,0.2ms,05ms和1ms时刻电感中的磁场能量。解(1)t≥0时电路的微分方程为diL L

(t

(t)0dt Ldi (t)8103 Ldt

16iL

(t)0Lt时的电流i(t)L

ti(t)i(0)eL由于换路前电路处于稳态，则有i(0)L

12 ( 8 )124 4312412412 ( 8

)0.6A124 433L8103

8103

1103s故得出

R 124 16 2i(t)0.6e210A t≥0L计算各时刻的储能it=0ms时刻：L

(0)0.6A,L

(0)18103(0.6)22

1.44mJit=0.2ms时刻：L

(0.2)0.4A,

(0.2)18103(0.4)2L 2

0.64mJit=0.5ms时刻：L

(0.5)0.22A,L

(0.5)18103(0.22)22

0.195mJit=1ms时刻：L

(1)0.081A,L

(1)18103(0.081)22

0.026mJ一个电感线圈被短接后，经过136.8﹪100.536.8﹪R解(1)线圈被短接后，经过1秒电感电流减到初始值的36.8﹪，即为1的时间。故此1时电路的时间常数 1s，即1 L1s1 R2经过10电阻串联短接时，则经过0.5秒后电感中的电流衰减初始值的36.8﹪，为1的时间。故此时电路的时间常数 0.5s，即2 L 0.5s2 R10由上两式可知 1 2L 2L 故 R R102RR10R10图1293gR 10R 1kR3.5k,R 100,U45V.当电桥平衡时，被测线圈电阻gA BRR AX RB

，按规定，在完毕后，先打开开关K

，然后打开开关K

。如果错误地将顺序2 1 12搞反，先打开开关K ，然后打开开关K时，问K 打开瞬间检流计G是否安全(设检流最大可测电流为10A2 1 12解电桥平衡时，电感线圈电阻为这时线圈中通过的电流为

R ARRX RRB

10 3500351000i U 4.5 0.1AL R R 1035A X如果将开关K2先打开，此瞬间电感电流不能跃变，仍为01A，又由于g，R 10,R R 101Rg，BA B B

(RA

R)，则01AG，远远超过检流计的额定电流，这时不允许的。4.103(a)所示电路。t0时刻换路开关Kt≥0时i(t和u(t.L解应用三要素解题。L (1)求初始值iL 由于换路前电路处于稳态，做出t0 电路，如图4-103(b)所示。列KVL方程为4i(0

)[i(0

)3i(0

)]42020i(0

)20i(0

)201A20i(0L

)iL

(0)4i(0

)4A求u(0求

)，做出t0

电路，如图4-103(c)所示。列节点方程为(11)u(04 4

)203i(04

)41u(0)13(

20u(0) )2 4163u(0)4 5u(0)16故解出

u(0

4 )16412.8 5 VL求稳态值i(和u(L作t4-103(b)所示。求u(列节点方程为(111)u()203i()4 4 4 43u()53(20u())故解出

4 4203u()46u()204u()20413.336i()

u(

13.33

3.33AL 4 4求时间常数先求R0，作电压源置零，电感元件两端断开后求R0电路，如图4-103(d)所示。应用伏安关系法，端口外加电压源U，产生输入电流I，列KVL方程为U4I4(4iI)8I16i8I16(U4I)424I4U5U24IR U244.8故解出

0 I 5 L 10103sR0应用三要素公式得出

4.8

4.8 ti(t)3.33(43.33)eL

101033.330.67e48A t≥0u(t)13.33(12.813.33)e48t013.330.53e480tV t≥04-105t0Kab，电源电压初相为C30，换路前电路处于稳态。求换路后u (t)和i(t).CC解(1)初始值u (0)C由于换路前电路处于直流稳态，则Vu (0)6VCC求稳态值u ()C由于换路后电路接入正弦交流电压，故应用相量法求稳态电容电压。sU sC

(j 1 )Rj1 CC 11030 (j 1 )20j31410010611030(j31.85)20j31.85

31410010611030 (j31.85)37.657.8793.1862.23V2c故得出 u (t)2cu (0)C

93.18sin(314t62.23)V293.18sin(62.23)116.53V2

RC20100106

2mst≥0时的电容电压为u (t)ucc2

(t)[uC

(0)u

c

(0)]et 93.18sin(314t62.23)(6116.53)e50电容电流为

131.77sin(314t62.23)122.53e50V t≥0i(t)CduC(tC dt

100106.77314cos(314t62.23)]500122.53e500t4.138sin(314t27.77)6.13e50A t≥04.36. RLC 并联电路，

L6H,C 118

F,iL

(0)10A,uC

(0)0.求R 为4.55.12和6.369三种情况时，电路的固有响