2020高中数学 第章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系学案 4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精§1同角三角函数的基本关系学习目标核心素养1。理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1,eq\f(sinα，cosα）＝tanα。(重点）2。会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．（难点)1。通过学习同角三角函数基本关系式提升数学抽象素养．2.通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式，培养逻辑推理素养。同角三角函数基本关系式（1）关系式①平方关系:sin2α＋cos2α＝__1__；②商数关系：eq\f（sinα，cosα）＝tan__α。(2)文字叙述同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．(3）变形形式①1＝sin2α＋cos2α；②sin2α＝1－cos2α;cos2α＝1－sin2α;③sinα＝±eq\r（1－cos2α);cosα＝±eq\r(1－sin2α)；④sinα＝cosαtanα;⑤（sinα±cosα)2＝1±2sin_αcos__α。思考:sin230°＋cos245°等于1吗？eq\f（sin90°,cos90°)有意义吗?[提示]不等于1，eq\f(sin90°,cos90°)分母为0，无意义．1．已知sinα＝－eq\f（4，5），α是第三象限角，则tanα等于（）A．eq\f（3，4)B．－eq\f(3，4）C．eq\f(4,3）D．－eq\f（4,3）C[因为sinα＝－eq\f（4，5)，且α是第三象限角．所以cosα＝－eq\r（1－sin2α）＝－eq\f(3,5）。所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f（4，3）.]2．已知3sinα＋cosα＝0，则tanα＝________。－eq\f（1，3)[因为3sinα＋cosα＝0，所以cosα＝－3sinα，所以tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝eq\f（sinα,－3sinα）＝－eq\f（1,3)。］3．已知sinθ＝eq\f（m－3，m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5),则m＝________.0或8[由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.］4。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(tanx＋\f（cosx,sinx)）)cos2x＝()A．tanx B．sinxC．cosx D．eq\f（cosx，sinx）D[原式＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（sinx,cosx)＋\f（cosx，sinx）)）cos2x＝eq\f(sin2x＋cos2x，sinxcosx)·cos2x＝eq\f（cosx，sinx）.]利用同角基本关系式求值【例1】已知cosα＝－eq\f（8，17)，求sinα，tanα的值．[解］∵cosα＝－eq\f(8，17)<0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r（1－cos2α)＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（8,17))）2）＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17）,－\f(8，17)）＝－eq\f(15,8）。如果α是第三象限角,同理可得sinα＝－eq\r（1－cos2α）＝－eq\f(15，17),tanα＝eq\f（15,8)。已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系,再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解。1．已知tanα＝eq\f（4，3）且α为第三象限角,求sinα,cosα的值．[解］由tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝eq\f（4,3），得sinα＝eq\f（4，3）cosα.①又sin2α＋cos2α＝1,②由①②得eq\f（16，9）cos2α＋cos2α＝1,即cos2α＝eq\f(9，25)，又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3，5）,sinα＝－eq\f(4,5).利用sinα±cosα，sinα,cosα之间的关系求值【例2】已知0<α<π，sinα＋cosα＝eq\f（1,5)，求tanα的值．[解］由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，①得sinα·cosα＝－eq\f（12，25)〈0，又0〈α<π，∴sinα>0，cosα〈0,则sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r（1－2sinαcosα）＝eq\r(1－2×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(12,25）))）＝eq\f(7,5)，②由①②解得sinα＝eq\f(4，5），cosα＝－eq\f(3,5），∴tanα＝eq\f(sinα，cosα）＝－eq\f(4,3）。sinα＋cosα,sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是:(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，利用此关系求sinα＋cosα或sinα－cosα的值时，要注意判断它们的符号．2．sinαcosα＝eq\f(1，8)，且eq\f(π，4）<α<eq\f（π,2)，则cosα－sinα的值为()A．eq\f（\r(3）,2） B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f（3,4） D．－eq\f(3，4)B[∵(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2×eq\f(1，8)＝eq\f（3,4），∴cosα－sinα＝±eq\f（\r(3），2）.又eq\f(π,4)〈α<eq\f（π，2），sinα〉cosα，∴cosα－sinα＝－eq\f(\r（3),2）。]利用同角三角函数关系化简、证明[探究问题]1．平方关系对任意α∈R均成立,对吗？商数关系呢？［提示］平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋eq\f(π，2)(k∈Z）．2．证明三角恒等式常用哪些技巧？［提示］切弦互化，整体代换，“1”的代换．3．证明三角恒等式应遵循什么样的原则？[提示］由繁到简．【例3】（1)化简tanα·eq\r（\f（1，sin2α）－1），其中α是第二象限角；（2）求证：eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(tanα＋1，tanα－1)。[思路探究](1)先确定sinα，cosα的符号,结合平方关系和商数关系化简．(2）逆用平方关系结合tanα＝eq\f（sinα,cosα)化简．［解］（1)因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα〈0。故tanα·eq\r（\f(1,sin2α）－1）＝tanα·eq\r（\f（1－sin2α，sin2α））＝tanαeq\r(\f（cos2α,sin2α)）＝eq\f(sinα,cosα）·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f（cosα，sinα）））＝eq\f(sinα,cosα）·eq\f（－cosα，sinα)＝－1.(2)证明：左边＝eq\f（sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα2，sin2α－cos2α)＝eq\f（sinα＋cosα，sinα－cosα）＝eq\f（tanα＋1,tanα－1）＝右边．所以原式成立．1．将例3(1)变为“eq\f（cos36°－\r(1－cos236°），\r(1－2sin36°cos36°)）"，试对该式进行化简．［解]原式＝eq\f(cos36°－\r(sin236°），\r（sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°））＝eq\f(cos36°－sin36°,\r（cos36°－sin36°2)）＝eq\f(cos36°－sin36°，｜cos36°－sin36°|）＝eq\f（cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1。2．将例3(2)变为试证“eq\f（tanαsinα,tanα－sinα）＝eq\f(1＋cosα,sinα）”．［证明］左边＝eq\f（\f（sin2α，cosα），\f（sinα，cosα）－sinα）＝eq\f(sin2α，sinα－sinαcosα)＝eq\f（1－cos2α,sinα1－cosα）＝eq\f(1＋cosα，sinα）＝右边，所以等式成立．1．化简过程中常用的方法有：(1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2）对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．（3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数,达到化简的目的．2．证明三角恒等式常用的方法有：（1）从一边开始，证得它等于另一边；（2)证明左右两边都等于同一个式子；（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．1．“同角”有两层含义：一是“角相同”;二是“任意性”,即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如:sin23α＋cos23α＝1等．2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：（1)“1"的代换．为了解题的需要,有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系。1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)sin2α＋cos2β＝1。（）（2)对任意角α，eq\f(sin\f(α，2),cos\f（α,2)）＝taneq\f(α,2)。()(3)利用平方关系求sinα或cosα时，会得到正负两个值．(）（4）若sinα＝eq\f（1，2)，则cosα＝eq\f（\r（3）,2）.()［答案］（1）×（2）×（3)×（4)×2．若sinα＝eq\f(4,5),且α是第二象限角，则tanα的值等于(）A．－eq\f(4，3） B．eq\f(3,4)C．±eq\f(3,4) D．±eq\f（4,3）A[α为第二象限角，sinα＝eq\f(4,5），cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f（4，3).］3．已知角A是三角形的一个内角,sinA＋cosA＝eq\f（2，3），则这个三角形是（)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形B[∵sinA＋cosA＝eq\f(2,3)，∴1＋2sinAcosA＝eq\f(4,9），∴sinAcosA＝－eq\f（5，18)〈0，又∵A∈(0，π)，sinA>0，∴cosA<0,A为钝角．故选B。］4．已知eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ）＝eq\f（6,11）,求下列各式的值．(1）eq\f(5cos2θ,sin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ）;（2）1－4sinθcosθ＋