2020高中数学 第章 概率章末复习课讲义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15-学必求其心得，业必贵于专精第3章概率频率与概率【例1】对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品概率eq\f(b,a)（1）计算表中次品的频率;(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3）为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘?思路点拨：（1）根据频数除以总数＝频率，分别求出即可;(2）根据（1）中所求即可得出任取1个U盘是次品的概率；(3）利用不等式得出x（1－0。02）≥2000,求出即可．［解](1）表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017，0.02,0。018。（2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0。02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02。（3）设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0。02）≥2000,因为x是正整数,所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．频率是概率的近似值，而概率是一个理论值．当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值，故可用频率来估计概率．1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880。920。890.91(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少?(2)假设该射手射击了300次，期望击中靶心的次数是多少？(3）假如该射手射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗?(4)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？思路点拨:弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．[解]（1）由题意,得击中靶心的频率与0。9接近，故概率约为0。9.（2)击中靶心的次数大约为300×0。9＝270（次）．(3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0。9,所以不一定击中靶心．（4）不一定．2．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题,每题10分,然后做了统计，下表是统计结果：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率（1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留到小数点后三位)；(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．思路点拨：由频数求出频率，再由频率估计概率．[解］（1）贫因地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率0.5330。5400。5200.5200.5120.503发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率0.5670。5800.5600.5550.5520。550（2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0。550。古典概型【例2】某产品的三个质量指标分别为x,y，z,用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）(1，1,2）（2,1，1)（2,2,2）（1,1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z）（1，2，2）(2，1,1）（2，2，1)(1，1，1）(2，1，2）(1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2）在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．思路点拨:(1)用综合指标S＝x＋y＋z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求．（2）①直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果．②列出在取出的2件产品中每件产品的综合指标S都等于4的所有情况,然后利用古典概型概率计算公式求解．[解](1)计算10件产品的综合指标S,如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4,A5,A7,A9，共6件，故该样本的一等品率为eq\f（6，10）＝0。6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6。(2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2｝，｛A1,A4｝，{A1,A5｝，{A1,A7}，{A1，A9},｛A2，A4｝，{A2，A5｝，{A2，A7｝，{A2，A9｝，{A4，A5｝，｛A4，A7｝，{A4，A9}，｛A5，A7}，{A5,A9｝，｛A7，A9｝，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2｝，｛A1,A5},｛A1，A7}，｛A2，A5｝，{A2,A7｝，｛A5，A7｝，共6种．所以P(B)＝eq\f（6，15)＝eq\f(2,5）.1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．3．甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）．求：（1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．思路点拨：首先列举出基本事件的总数，确定出所求事件包含的基本事件数，利用公式求概率．［解]甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的3种不同出法．一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同．例如都出了锤子．甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀,甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况．乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况．设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C．由图容易得到:(1）平局含3个基本事件（图中的△）；(2）甲赢含3个基本事件（图中的○)；(3）乙赢含3个基本事件（图中的※)．由古典概型的概率计算公式，可得P（A)＝eq\f（3，9）＝eq\f(1,3）；P（B）＝eq\f（3,9)＝eq\f(1,3）;P（C）＝eq\f（3,9）＝eq\f（1，3).4．先后随机投掷2枚均匀的正方体骰子,其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．（1）求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；（2）求点P(x，y）满足y2〈4x的概率．思路点拨：（1）是一个古典概型，基本事件总数为6×6＝36个,再验证满足条件的事件数；（2）也是一个古典概型，与（1）解法相同．[解］（1）投掷每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36.记“点P(x，y）在直线y＝x－1上"为事件A,A有5个基本事件:A＝｛(2，1)，(3,2)，(4，3)，（5，4），（6,5)}．∴P（A)＝eq\f（5，36）。（2）记“点P(x,y)满足y2〈4x”为事件B，当x＝1时,y＝1；当x＝2时，y＝1，2；当x＝3时，y＝1，2,3；当x＝4时，y＝1,2，3；当x＝5时，y＝1，2，3，4；当x＝6时，y＝1，2，3,4。则事件B有17个基本事件．∴P(B)＝eq\f（17,36）.互斥事件和对立事件的概率【例3】甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目，选择题3个,判断题2个，甲、乙两人各抽一题．（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？思路点拨：本题利用分类思想,把甲、乙抽题情况先分为四类，即“甲抽选择题，乙抽判断题”“甲抽判断题,乙抽选择题“甲、乙都抽到选择题”“甲、乙都抽到判断题”这四个互斥事件，而在每个互斥事件中,又按抽某个具体题目分类，从而写出了所有可能的基本事件,第（2）问利用对立事件求解更为方便．[解]把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1），(x1，p2),(x2，p1)，（x2，p2)，（x3，p1），（x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题"的情况有：（p1，x1)，（p1，x2），（p1，x3）,(p2，x1），（p2，x2)，(p2,x3),共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1），（x2，x3）,（x3，x1)，(x3，x2），共6种;“甲、乙都抽到判断题"的情况有：(p1，p2)，（p2,p1),共2种．（1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率是P1＝eq\f(6,20）＝eq\f（3,10),“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率是P2＝eq\f(6,20）＝eq\f(3，10).故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P＝P1＋P2＝eq\f(3，10）＋eq\f（3，10）＝eq\f(3，5)。（2）甲、乙两人都抽到判断题的概率是eq\f(2，20）＝eq\f（1,10）,故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1－eq\f(1,10)＝eq\f（9,10).1．互斥事件的概率的加法公式P（A＋B）＝P(A）＋P（B）．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．5．甲、乙两人举行比赛,比赛结果有胜、负、平三种情况，甲胜的概率是30％，甲、乙平的概率是50％,那么(1）甲负的概率是多少?（2）甲不输的概率是多少？思路点拨：由题意，“甲胜”“甲、乙平"“甲负"这三个事件两两互斥，可利用互斥事件的概率公式求解．［解］记“甲胜"为事件A，“甲、乙平”为事件B，“甲负”为事件C,则A,B，C两两互斥，且P（A)＋P（B）＋P(C）＝1。(1)P(C）＝1－P（A)－P(B）＝1－30％－50％＝20％.（2)P（A＋B)＝P(A)＋P（B）＝30%＋50%＝80%.故甲负的概率是20％，甲不输的概率是80%.6．由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345个人及以上概率0。20。140。40。10.10.06求：（1）“至多有2个人排队”的概率;（2）“至少有2个人排队"的概率．思路点拨:“至多有2个人排队"由“没有人排队”“有1个人排队”“有2个人排队”这三个互斥事件组成．“至少有2个人排队”,可以研究它的对立事件“至多有1个人排队”．“至多有1个人排队”包括“没有人排队"和“有1个人排队”两种情况．［解]（1）设“没有人排队"为事件A,“有1个人排队”为事件B，“有2个人排队”为事件C，则P(A