2020高中数学 第章 导数应用 1 1.1 导数与函数的单调性学案 2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15-学必求其心得，业必贵于专精1。1导数与函数的单调性学习目标核心素养1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．（重难点)3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间．（重点)1．借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养。1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:导数函数的单调性f′（x）〉0单调递增f′（x）〈0单调递减f′（x)＝0常数函数2．函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x),在区间(a，b）上：导数的绝对值函数值变化函数的图像越大大比较“陡峭”（向上或向下)越小小比较“平缓”（向上或向下)思考：如果在区间(a，b）内恒有f′（x）＝0，则f（x）有什么特性？[提示]函数f(x）为常函数．1．若在区间(a，b)内,f′(x）>0，且f（a）≥0,则在（a，b）内有()A．f（x)>0 B．f（x）〈0C．f（x)＝0 D．不能确定A[由条件可知,f（x)在（a，b)内单调递增，∵f（a)≥0，∴在（a，b)内有f(x）〉0。]2．已知函数y＝f(x）的图像是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，则该函数的图像是()B［由f′（x)图像可知,f′(x)>0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选B。]3．已知函数f(x）＝eq\f（1，2）x2－x，则函数f(x）的单调增区间是（）A．(－∞,－1）和（0，＋∞） B．（0，＋∞)C．（－1，0)和(1，＋∞） D．(1，＋∞)D[法一：f（x)＝eq\f（1，2)x2－x＝eq\f（1，2)(x－1）2－eq\f(1,2)，对应的抛物线开口向上,对称轴为直线x＝1,可知函数f(x）的单调增区间是(1，＋∞）．法二：f′(x）＝x－1,令f′(x）>0，解得x〉1．故函数f（x)的单调增区间是（1，＋∞）．]单调性与导数的关系【例1】(1）函数y＝f（x）的图像如图所示，给出以下说法:①函数y＝f(x）的定义域是［－1，5]；②函数y＝f（x）的值域是(－∞，0]∪[2,4］；③函数y＝f(x）在定义域内是增函数；④函数y＝f（x）在定义域内的导数f′（x)>0.其中正确的序号是（）A．①② B．①③C．②③ D．②④（2）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f（x)的图像如图所示，则导函数y＝f′（x)的图像可能为（）ABCD思路探究:研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．(1）A(2）D［(1）由图像可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故①②正确，选A.（2）由函数的图像可知:当x<0时，函数单调递增,导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正,对照选项，应选D。]1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图像研究函数单调性的方法（1）观察原函数的图像重在找出“上升”“下降"产生变化的点，分析函数值的变化趋势;（2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′（x）是函数f（x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是（）ABCD(2)函数y＝f(x）的导函数y＝f′（x)的图象如图所示，则函数y＝f（x)的图像可能是（）（1）D（2)D[（1)A,B，C均有可能；对于D,若C1为导函数,则y＝f(x)应为增函数,不符合；若C2为导函数，则y＝f（x)应为减函数，也不符合．(2）根据函数的导数的正负与单调性的关系，对照图像可知,答案应选D.]利用导数求函数的单调区间【例2】求函数f（x)＝x＋eq\f（a，x)（a≠0)的单调区间．思路探究：求出导数f′（x)，分a>0和a〈0两种情况．由f′（x)〉0求得单调增区间,由f′（x)<0求得单调减区间．［解]f（x)＝x＋eq\f（a,x)的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞)，f′（x)＝1－eq\f（a,x2）.当a〉0时,令f′（x）＝1－eq\f（a，x2）〉0，解得x〉eq\r（a）或x〈－eq\r（a）；令f′（x)＝1－eq\f（a，x2）〈0，解得－eq\r（a）<x<0或0〈x<eq\r（a）；当a<0时,f′（x)＝1－eq\f(a,x2)〉0恒成立,所以当a>0时，f（x）的单调递增区间为（－∞，－eq\r（a)）和(eq\r(a)，＋∞）；单调递减区间为（－eq\r(a)，0）和(0，eq\r（a）)．当a〈0时,f（x)的单调递增区间为（－∞，0)和（0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f（x)的定义域．2．求导数f′（x)．3．由f′(x）〉0(或f′（x)〈0）,解出相应的x的范围．当f′（x）>0时，f（x)在相应区间上是增函数;当f′(x)<0时,f（x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．（1）函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为()A．（0，＋∞） B．(－∞，0）C．(－∞，1) D．(1，＋∞)(2）函数f（x)＝lnx－x的单调递增区间是（)A．（－∞，1） B．（0,1）C．(0，＋∞) D．(1，＋∞）（1）D（2）B[(1)∵f′（x）＝（ex－ex)′＝ex－e，由f′(x)＝ex－e>0,可得x〉1．即函数f（x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为(1,＋∞），选D。（2）函数的定义域为(0，＋∞）,又f′(x）＝eq\f(1，x)－1,由f′(x）＝eq\f(1,x）－1〉0，得0〈x<1,所以函数f（x）＝lnx－x的单调递增区间是（0，1)，选B.］已知函数的单调性求参数的取值范围[探究问题］1．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a,b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)的单调性如何？［提示]求函数的导函数f′（x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′（x）＝0的Δ＝4（a2－3b）〈0,所以f′(x)〉0恒成立，故f（x)是增函数．2．函数单调性的充要条件如何?[提示](1）在某个区间内，f′（x）〉0(f′(x)〈0）是函数f(x）在此区间内单调递增（减)的充分条件，而不是必要条件．例如,函数f（x)＝x3在定义域（－∞，＋∞)上是增函数,但f′（x）＝3x2≥0。（2）函数f（x)在（a，b)内单调递增（减）的充要条件是f′（x）≥0（f′（x）≤0)在（a，b)内恒成立，且f′（x)在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,在区间内的个别点处有f′（x）＝0并不影响函数f(x）在该区间内的单调性．【例3】已知关于x的函数y＝x3－ax＋b。(1)若函数y在（1，＋∞）内是增函数,求a的取值范围；（2)若函数y的一个单调递增区间为（1，＋∞），求a的值．思路探究:(1)函数在区间(1，＋∞）内是增函数，则必有y′≥0在（1,＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞),即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．［解]y′＝3x2－a。（1）若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞）时恒成立，即a≤3x2在x∈（1，＋∞）时恒成立，则a≤(3x2)min。因为x〉1，所以3x2>3.所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3］．(2）令y′〉0，得x2〉eq\f(a,3）.若a≤0,则x2〉eq\f（a，3）恒成立,即y′〉0恒成立，此时,函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．若a〉0，令y′〉0，得x>eq\r（\f（a,3）)或x<－eq\r（\f(a，3))。因为（1,＋∞)是函数的一个单调递增区间,所以eq\r（\f(a,3))＝1,即a＝3。1．将本例（1)改为“若函数y在（1，＋∞）上不单调"，则a的取值范围又如何？［解］y′＝3x2－a，当a〈0时，y′＝3x2－a〉0，函数在(1,＋∞）上单调递增，不符合题意．当a〉0时，函数y在(1,＋∞）上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间（1,＋∞）上有根．由3x2－a＝0可得x＝eq\r(\f(a,3））或x＝－eq\r（\f(a，3)）（舍去)．依题意，有eq\r(\f（a，3））>1，∴a〉3，∴a的取值范围是(3,＋∞)．2．本例(1）中函数改为f(x）＝x3－ax2－3x.区间“(1，＋∞)”改为“［1，＋∞)，a的取值范围如何？[解］由f(x)＝x3－ax2－3x得f′（x)＝3x2－2ax－3，∵f（x）在x∈[1，＋∞)上是增函数，∴3x2－2ax－3≥0，∴eq\f（a，3）≤eq\f(x2－1,2x）.令g（x）＝eq\f(x2－1,2x)，x∈[1，＋∞)，g′(x）＝eq\f(x2＋1,2x2)>0，即g（x)在[1，＋∞）上单调递增，∴g（x)≥g(1)＝0，∴a的取值范围为a≤0.1．解答本题注意可导函数f(x）在(a，b)上单调递增（或单调递减）的充要条件是f′（x)≥0（或f′(x）≤0）在（a,b)上恒成立，且f′（x)在(a,b）的任何子区间内都不恒等于0。2．已知f(x）在区间（a，b）上的单调性，求参数取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x）在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b）上单调递增（减）的问题,则f′（x）≥0（f′(x）≤0）在(a,b)内恒成立，注意验证等号是否成立．3．已知函数f（x)＝2ax3＋4x2＋3x－1在R上是增函数,求实数a的取值范围．［解］f′（x)＝6ax2＋8x＋3.∵f（x）在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即6ax2＋8x＋3≥0在R上恒成立,∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(64－72a≤0，，a>0,)）解得a≥eq\f（8，9)。经检验,当a＝eq\f（8,9)时，只有个别点使f′（x）＝0，符合题意．故实数a的取值范围为eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（8，9)，＋∞））.1．函数的单调性与导数符号的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，（1)如果在(a，b）内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，（a,b)为f（x)的单调增区间；（2)如果在（a，b）内，f′(x）〈0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b）为f(x）的单调减区间．2．利用导数求函数的单调区间的步骤求函数的单调区间，就是解不等式f′（x)>0或f′(x）〈0,不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下:（1)求函数f(x)的定义域；（2）求出f′(x);（3）解不等式f′(x)>0可得函数f(x）的单调增区间，解不等式f′（x)<0可得函数f（x)的单调减区间．3．函数f(x)在（a，b）内单调递增（减）的充要条件是f′(x）≥0（f′（x）≤0）在(a，b)内恒成立，且f′(x）在（a，b)的任意区间内都不恒等于0.这就是说,在区间内的个别点处有f′（x)＝0并不影响函数f(x）在该区间内的单调性．1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1）函数f(x)在定义域上都有f′（x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增． （）(2）函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭"． (）(3）函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大． （）［答案］（1）×（2）×(3）√2．已知函数f（x）＝eq\r（x)＋lnx，则有（）A．f（2）＜f（e)＜f（3）B．f（e）＜f（2)＜f(3)C．f(3)＜f(e）＜f（2）D．f（e）＜f（3)＜f（2)A[因为在定义域(0，＋∞）上f′（x）＝eq\f(1，2\r(x)）＋eq\f(1，x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以有f(2）＜f(e)＜f(3)．故选A.]3．函数f（x）＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．（1，2)［f′(x）＝6