2020高中数学 第章 导数及其应用 .2. 导数的四则运算法则学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精3.2.3导数的四则运算法则学习目标核心素养1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数和、差、积、商的求导法则．(重点）3.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．（重点、难点)通过综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数，提升学生逻辑推理、数学运算素养。导数的运算法则(1)前提：函数f(x),g(x）是可导的．(2）法则：①和（或差)的求导法则：（f(x)±g(x））′＝f′(x）±g′(x)，推广：（f1±f2±…±fn）′＝f1′±f2′±…±fn′。②积的求导法则：［f(x)g(x）]′＝f′(x）g（x)＋f（x)g′(x)．特别地：[Cf（x）]′＝Cf′(x)．③商的求导法则：eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（fx，gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x，g2x)(g（x)≠0），特别地：eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（1,gx))）′＝－eq\f（g′x，g2x）（g(x）≠0)．思考：商的导数eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（fx，gx))）′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f（x）还是g(x)进行求导?[提示］先对f(x）求导，即f′(x）g(x)，再对g（x）求导，即f（x）g′(x)．1．下列结论不正确的是(）A．若y＝3，则y′＝0B．若f（x）＝3x＋1，则f′（1）＝3C．若y＝－eq\r(x）＋x，则y′＝－eq\f（1，2\r(x）)＋1D．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinxD[D项，∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx）′＋(cosx）′＝cosx－sinx．]2．设y＝－2exsinx，则y′等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex（sinx＋cosx)D［y′＝－2(exsinx＋excosx）＝－2ex(sinx＋cosx)．]3．已知函数f（x)＝eq\f（lnx,x),则f′(1）＝________。1［∵f′（x）＝eq\f（\f(1，x）×x－lnx,x2)＝eq\f（1－lnx,x2),∴f′(1）＝1.]用导数的求导法则求导数【例1】求下列函数的导数:(1）y＝2x2＋eq\f（1，x)－eq\f(3,x3)； （2)y＝eq\f(x＋3,x2＋3);（3）y＝excosx＋sinx； （4）y＝x3＋lgx。[思路探究］观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解．[解](1）∵y＝2x2＋x－1－3·x－3，∴y′＝4x－x－2－3·（－3）x－4＝4x－eq\f(1，x2）＋eq\f（9，x4）。（2)y′＝eq\f(1·x2＋3－2xx＋3，x2＋32）＝eq\f(－x2－6x＋3,x2＋32）.（3）y′＝(excosx＋sinx)′＝(excosx）′＋(sinx)′＝（ex）′cosx＋ex(cosx）′＋cosx＝excosx－exsinx＋cosx.（4）y′＝3x2＋eq\f（1,xln10)。应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导。提醒：当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，再求导。求下列函数的导数：（1）y＝eq\f(1，x2)＋sineq\f（x,2)coseq\f(x,2)； （2)y＝xeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x2－\f(3，2）x－6)）＋2;(3)y＝cosxlnx； (4）y＝eq\f(x，ex)。［解](1)y′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,x2)＋sin\f（x,2)cos\f（x，2）)）eq\s\up8(′）＝(x－2)′＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）sinx))eq\s\up8(′）＝－2x－3＋eq\f（1，2）cosx＝－eq\f（2，x3)＋eq\f(1，2）cosx.(2)y′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f（3，2)x2－6x＋2))eq\s\up8（′）＝（x3)′－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2）x2)）eq\s\up8（′）－(6x）′＋(2）′＝3x2－3x－6.(3）y′＝(cosxlnx)′＝(cosx）′lnx＋cosx（lnx）′＝－sinxlnx＋eq\f(cosx，x)。(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x,ex)))eq\s\up8（′）＝eq\f(x′ex－xex′,ex2)＝eq\f(ex－xex,e2x)＝eq\f（1－x，ex）.导数运算法则的应用[探究问题］1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗?［提示][f1（x)±f2（x）±…±fn(x)］′＝f1′(x）±f2′（x)±…±f′n(x)．2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？［提示]对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．【例2】已知函数f(x）＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1（a∈R）．当a＝－1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2）)处的切线方程．[思路探究]先求导,再求切线斜率，根据点斜式得切线方程．[解］因为当a＝－1时，f（x)＝lnx＋x＋eq\f（2，x)－1，x∈（0，＋∞)．所以f′（x）＝eq\f(x2＋x－2,x2），x∈（0，＋∞)，因为f′(2）＝1，即曲线y＝f（x)在点（2，f(2）)处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以曲线y＝f(x）在点(2，f（2））处的切线方程为y－(ln2＋2）＝x－2，即x－y＋ln2＝0。1．(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y＝f(x)在点(2，f（2))处的切线方程为x－y＋ln2＝0”，求a的值．[解］因为f′（x）＝eq\f(1,x）－a＋eq\f(a－1，x2)＝eq\f(－ax2＋x＋a－1，x2)，又曲线在点（2，，f(2）)处的切线方程为x－y＋ln2＝0，所以f′（2）＝1，即eq\f（－22a＋2＋a－1，22)＝1，即a＝－1.2．（改变问法）本典例的条件不变，求使f′(x)〉0成立的x的取值范围．［解]因为当a＝－1时，f（x)＝lnx＋x＋eq\f（2,x）－1，x∈（0，＋∞）．所以f′(x)＝eq\f（x2＋x－2,x2），x∈(0,＋∞），因为f′(x）>0,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2＞0，，x＞0。)）解得x∈（1,＋∞）．1此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素。其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系。2准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键。1．思考辨析（1）若f(a）＝a3＋2ax－x2，则f′（a)＝3a2＋2x. (）（2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（C，gx）)）eq\s\up8（′）＝eq\f(－Cg′x，g2x). ()（3）任何函数都可以应用导数的运算法则求导数． (）［提示](1）√(2)√（3)×应用导数的运算法则求导数的前提是f（x）,g(x)均为可导函数,即f′（x)，g′(x)存在．2．对于函数f（x)＝eq\f(ex,x2)＋lnx－eq\f（2k，x），若f′（1)＝1，则k等于()A．eq\f（e，2) B．eq\f（e,3)C．－eq\f(e，2) D．－eq\f(e，3)A［∵f′(x)＝eq\f（exx－2，x3）＋eq\f（1，x）＋eq\f(2k，x2），∴f′（1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝eq\f（e，2），故选A。]3．曲线y＝eq\f（sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1，2）在点Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)，0）)处的切线的斜率为（)A．－eq\f（1,2) B．eq\f(1，2）C．－eq\f(\r(2)，2) D．eq\f（\r（2),2)B［∵y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2）＝eq\f（1,sinx＋cosx2）,∴y′|eq\s\do5(x＝\f（π,4))＝eq\f(1,2),∴曲线在点Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,4），0)）处的切线的斜率为eq\f(1,2)。]4．已知a为实数，f(x）＝（x2－4）（x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.eq\f（1,2)[∵f（x)＝(x2－4)（x－a）＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′（x)＝3x2－2ax－4。又∵f′(－1）＝3＋2a－4＝0，∴a＝eq\f（1,2)。］5．设函数f(x)＝eq\f（1，3)x3－eq\f(a,2）x2＋bx＋c，其中a＞0，曲线y＝f（x)在点P（0，f(0））处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．