2020高中数学 第章 导数及其应用 1 利用导数判断函数的单调性学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精3。学习目标核心素养1.理解导数与函数单调性的关系．2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．（重点)3．能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．（难点）1.通过学习导数与函数单调性的关系，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养．2．通过利用导数判断函数单调性及求函数的单调区间，提升学生的数学运算素养。函数的单调性与导函数正负的关系导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性＞0＞0锐角上升单调递增＜0＜0钝角下降单调递减思考1：观察下列各图，完成表格内容．函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性正正［1,＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0,＋∞）上单调递减负负（0,＋∞)上单调递减负负(－∞,0)上单调递减思考2:在区间（a,b)上，如果f′（x)＞0,则f（x)在该区间是增函数，反过来也成立吗?［提示]不一定成立．例如f(x）＝x3在R上为增函数,但f′(0）＝0，即f′(x)＞0是f(x）在该区间上为增函数的充分不必要条件．1．函数f(x）＝x＋lnx在(0,6）上是()A．增函数B．减函数C．在eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1，e))）上是减函数，在eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，e），6）)上是增函数D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,e)））上是增函数，在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,e)，6))上是减函数A[∵x∈（0,＋∞），f′（x)＝1＋eq\f(1，x）＞0，∴函数在（0，6)上单调递增．]2．函数f（x)＝ex－x的单调递增区间是(）A．（－∞，1］ B．［1，＋∞）C．（－∞,0] D．（0，＋∞)D[由f′(x）＝ex－1＞0得x＞0,故选D.］3．若函数y＝x3＋ax在R上是增函数,则a的取值范围是________．[0,＋∞)[∵y′＝3x2＋a且y＝x3＋ax在R上是增函数．∴3x2＋a≥0在R上恒成立，即a≥－3x2在R上恒成立．∴a≥(－3x2)max,∴a≥0。]判断或证明函数的单调性【例1】判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．[思路探究]eq\x(求导数)→eq\x(对a进行分类讨论)→eq\x(每种情况下确定函数在－∞，＋∞上的单调性)［解］∵y′＝3ax2，又x2≥0。(1）当a＞0时,y′≥0，函数在R上单调递增;（2)当a＜0时,y′≤0，函数在R上单调递减；(3）当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．判断函数单调性的两种方法(1)利用函数单调性的定义,在定义域内任取x1，x2，且x1〈x2，通过判断f(x1）－f(x2）的符号确定函数的单调性;（2)利用导数判断可导函数f(x）在(a,b)内的单调性，步骤是：①求f′（x)；②确定f′(x)在（a，b）内的符号；③得出结论．提醒：所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．1．证明函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．[证明］显然函数的定义域为{x|x＞0},又因为y′＝(lnx＋x)′＝eq\f（1，x）＋1，当x＞0时,y′＞1＞0,所以y＝lnx＋x在其定义域内为增函数。利用导数求函数的单调区间【例2】（1)求函数f（x)＝3x2－2lnx的单调区间；(2）讨论函数f(x)＝x2－alnx(a≥0)的单调性．［思路探究](1）eq\x(\a\al(求定，义域))→eq\x（\a\al(求导数,f′x））→eq\x(\a\al(解f′x＞0,得增区间))→eq\x(\a\al（解f′x＜0，得减区间))(2）用分类讨论的方法确定f′(x）的符号,确定函数在各区间内的单调性．［解](1）f（x）＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞）．f′(x)＝6x－eq\f（2,x）＝eq\f(23x2－1，x)＝eq\f(2\r(3）x－1\r（3）x＋1，x）,当x＞0,解f′(x)＞0,得x＞eq\f(\r（3)，3)，由x＜0，解f′（x）＜0，得0＜x＜eq\f（\r（3），3）.∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3)，3)，＋∞)),单调递减区间为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3）））.(2)函数f（x）的定义域是（0，＋∞)，f′（x)＝2x－eq\f（a,x）＝eq\f(2x2－a,x）。设g(x）＝2x2－a，由g(x）＝0,得2x2＝a。当a＝0时,f′（x)＝2x＞0，函数f（x）在区间(0，＋∞）上单调递增；当a>0时，由g(x）＝0,得x＝eq\f（\r（2a)，2)或x＝－eq\f(\r(2a),2)（舍去)．当x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f（\r（2a)，2)））时，g(x)＜0，即f′（x）＜0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2a），2）,＋∞））时，g（x)＞0，即f′(x）＞0.所以当a＞0时，函数f（x）在区间eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（\r(2a）,2）))上单调递减，在区间eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2a）,2)，＋∞）)上单调递增．综上，当a＝0时，函数f（x）在（0,＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f（x)在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2a），2)，＋∞)）上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(\r（2a）,2）))上单调递减．1求函数y＝fx单调区间的步骤①确定函数y＝fx的定义域.②求导数y′＝f′x.,③解不等式f′x〉0，函数在单调区间上为增函数；解不等式f′x〈0,函数在单调区间上为减函数.2含有参数的函数单调性问题的处理方法①在判断含有参数的函数的单调性时,不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′x的符号,否则会产生错误.②分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中,原先的不确定因素,就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.2．已知函数f(x）＝eq\f（1,2)x2－（a＋m)x＋alnx，且f′（1）＝0，其中a，m∈R.（1)求m的值；（2)求函数f(x)的单调递增区间．[解](1）由题设知，函数f（x)的定义域为(0，＋∞），f′(x)＝x－(a＋m)＋eq\f(a,x)。由f′（1)＝0，得1－(a＋m)＋a＝0，解得m＝1。（2）由（1）得f′（x）＝x－（a＋1)＋eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a＋1x＋a,x）＝eq\f(x－ax－1，x）.当a>1时，由f′(x）＞0,得x>a或0<x<1,此时f(x)的单调递增区间为(a，＋∞),(0,1)；当a＝1时，f（x）的单调递增区间为（0,＋∞);当0〈a<1时，由f′（x)〉0，得x〉1或0〈x〈a，此时f（x）的单调递增区间为（1，＋∞),(0,a）;当a≤0时,由f′（x）〉0,得x〉1，此时f（x）的单调递增区间为（1，＋∞)．综上,当a〉1时，f(x)的单调递增区间为（a，＋∞),（0,1）;当a＝1时,f（x）的单调递增区间为（0,＋∞);当0<a〈1时，f（x)的单调递增区间为(1，＋∞)，(0，a);当a≤0时，f(x）的单调递增区间为（1，＋∞).含参数函数的单调性问题[探究问题］1．利用导数讨论函数的单调性，需要先确定什么?[提示］函数的定义域,解答函数问题要遵循“定义域优先原则"．2．函数f(x)在区间（a，b）上f′(x）＞0与函数在区间(a，b）上是增函数有何关系？[提示]由函数f（x）在(a，b）上f′(x）>0⇒函数f（x)在（a,b）上是增函数,即函数f（x）在（a,b）上f′(x)〉0是f（x)在（a，b）上是增函数的充分不必要条件．【例3】函数f(x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上单调递增，求实数k的取值范围．［思路探究］求导后，把求k的范围转化为f′（x）≥0在(1，＋∞）上恒成立问题．［解］由于f′（x）＝k－eq\f（1,x），f(x）＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x）＝k－eq\f(1，x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．所以k≥eq\f（1,x),而0＜eq\f（1，x）＜1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．1．(变换条件)若函数f(x)＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上单调递减,求k的取值范围．[解]因为函数f(x)＝kx－lnx，故f′（x)＝k－eq\f（1，x）,函数在区间(1，＋∞)上单调递减，则f′(x）≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k－eq\f(1，x)≤0在区间(1,＋∞）上恒成立,故k≤eq\f（1，x)在区间（1,＋∞)上恒成立,因为在区间（1，＋∞)上0<eq\f（1，x)〈1，故k≤0.2．(变换条件)试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．［解］因为函数f(x）＝kx－lnx的定义域为（0，＋∞)，又f′(x)＝k－eq\f(1,x)，当k≤0时,f′（x)＝k－eq\f(1,x）≤0恒成立，故函数在区间(0，＋∞）上为减函数；当k＞0时,令f′(x）＞0解得x＞eq\f（1,k）,令f′(x）＜0解得x＜eq\f（1,k）。综上所述：当k≤0时，函数的单调减区间为(0，＋∞)；当k＞0时，函数的单调增区间为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，k），＋∞）)，减区间为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f（1，k)）)。（1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′（x）≥0(或f′（x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝"时是否满足题意．②先令f′(x)〉0(或f′（x）〈0），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝"时f(x）是否满足题意．（2)恒成立问题的重要思路①m≥f(x)恒成立⇒m≥f（x)max。②m≤f（x)恒成立⇒m≤f（x）min。提醒：对含参数问题的讨论，要始终注意定义域的影响以及分类讨论的标准．1．思考辨析（1)函数f(x）在区间（a，b)内单调递增，则f′（x)＞0.(）（2）一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”． （)（3）函数y＝ex＋x在R上是增函数． （)[提示］（1)×f′（x）≥0且f′（x）不恒为0.(2)√(3)√2．函数f(x）＝lnx－ax（a＞0）的单调递增区间为（）A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(1，a)）) B．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,a），＋∞）)C．(0,＋∞) D．(0,a)A［f（x)的定义域为{x｜x＞0｝，且a＞0。由f′（x)＝eq\f(1，x）－a＞0得0＜x＜eq\f（1，a）.]3．若函数f（x）＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）内单调递增，则m的取值范围是（)A．m≥eq\f（4,3） B．m＞eq\f（4，3）C．m≤eq\f(4,3） D．m＜eq\f（4，3）A［∵函数f（x）＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞,＋∞）内单调递增,∴f′（x）＝3x2＋4x＋m≥0在R上