2020高中数学 第章 不等式 .2 一元二次不等式（第1课时）一元二次不等式及其解法讲义 5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法．（重点)2。能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)通过一元二次不等式的学习,培养数学运算素养.1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0）．（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0）．(3）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）．(4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0)．思考1:不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？［提示]此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2:类比“方程x2＝1的解集是{1,－1｝,解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么?[提示]不等式x2〉1的解集为｛x｜x〈－1或x>1｝,该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次"的关系设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x）＞0或求方程f（x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解f(x）＜0的步骤画函数y＝f(x）的示意图得等的集不式解f（x）＞0｛x｜x＜x1_或x＞x2}eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\}（\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))）Rf(x）＜0｛x｜x1＜x＜x2}∅∅思考3:若一元二次不等式ax2＋x－1〉0的解集为R，则实数a应满足什么条件？[提示]结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2＋x－1〉0的解集为R，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉0,,1＋4a<0，))解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R。1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞3或x＜－\f(1,2))）））B。eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)≤x≤3）)))C。eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥3或x≤－\f（1,2)）））)D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－eq\f(1，2)。］2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为（）A.eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（－1＜x＜\f（1，3））)）） B。eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（1,3）＜x＜1)))）C．∅ D．RD[因为Δ＝（－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.］3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．{x｜x〉5或x<－1｝［由x2－2x－5〉2x，得x2－4x－5〉0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5｝．］4．不等式－3x2＋5x－4〉0的解集为________．∅[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5）2－4×3×4＝－23〈0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4〈0的解集为∅.]一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：（1)2x2＋7x＋3>0；(2）－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(3）－2x2＋3x－2〈0。[解］（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq\f（1，2）。又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x>－\f(1，2）或x<－3））)）。（2)原不等式可化为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f（9，2))）2≤0，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（9，4)）))）。(3)原不等式可化为2x2－3x＋2〉0,因为Δ＝9－4×2×2＝－7〈0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R。解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正。2判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式。3求实根。求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图。5写解集。根据图象写出不等式的解集.1．解下列不等式（1)2x2－3x－2〉0；(2)x2－4x＋4>0；（3)－x2＋2x－3<0；（4)－3x2＋5x－2>0。[解］（1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x〈－\f（1,2）或x〉2）)））.(2）∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4〉0的解集为eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x｜x≠2））。（3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ〈0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－3〈0的解集为R。(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝eq\f(2,3)，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2，3）<x<1)))）。含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1）x＋1<0。思路探究：①对于二次项的系数a是否分a＝0,a<0，a〉0三类进行讨论?②当a≠0时，是否还要比较两根的大小?[解］当a＝0时，原不等式可化为x>1.当a≠0时，原不等式可化为（ax－1)（x－1)〈0。当a<0时，不等式可化为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1，a））)(x－1）〉0，∵eq\f（1,a）<1，∴x〈eq\f(1,a）或x>1。当a〉0时，原不等式可化为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，a）))(x－1)<0。若eq\f(1,a）〈1，即a>1，则eq\f(1，a)<x<1；若eq\f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈∅；若eq\f(1，a）〉1，即0〈a<1，则1<x<eq\f（1,a)。综上所述，当a〈0时,原不等式的解集为eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x〈\f(1,a)或x>1)）));当a＝0时,原不等式的解集为{x|x>1｝;当0〈a<1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(1<x〈\f（1,a）))))；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a〉1时，原不等式的解集为eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1，a）〈x〈1）））)。解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并．2．解关于x的不等式:ax2－2≥2x－ax（a<0)．[解]原不等式移项得ax2＋(a－2）x－2≥0，化简为（x＋1）(ax－2)≥0。∵a〈0，∴（x＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))≤0。当－2<a〈0时,eq\f(2,a)≤x≤－1；当a＝－2时,x＝－1;当a〈－2时，－1≤x≤eq\f(2,a）。综上所述，当－2〈a<0时，解集为eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（2,a)≤x≤－1）））);当a＝－2时，解集为{x|x＝－1};当a<－2时，解集为eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2，a）））))。一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y〈0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？［提示］y＝x2－2x－3的图象如图所示．函数y＝x2－2x－3的值满足y〉0时自变量x组成的集合,亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合｛x|x<－1或x〉3};同理，满足y〈0时x的取值集合为{x｜－1<x<3｝，满足y＝0时x的取值集合,亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合｛－1,3｝．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)和不等式ax2＋bx＋c〉0(a〉0）或ax2＋bx＋c〈0（a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就转化为方程，当y>0或y〈0时,就转化为一元二次不等式．2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3〉0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？[提示］方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3｝．不等式x2－2x－3〉0的解集为｛x｜x<－1或x>3｝，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a〉0）和ax2＋bx＋c<0（a〉0)的解集分别为{x｜x〈x1或x〉x2｝，｛x|x1〈x<x2}（x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？[提示]一元二次不等式ax2＋bx＋c〉0（a〉0）和ax2＋bx＋c〈0（a>0)的解集分别为｛x｜x<x1或x〉x2｝，{x｜x1〈x<x2｝（x1〈x2）,则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＋x2＝－\f(b,a），,x1x2＝\f(c，a)，）)即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c〉0的解集为｛x|2〈x〈3｝,求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．思路探究:［解]法一：由不等式ax2＋bx＋c〉0的解集为{x｜2<x〈3｝可知,a〈0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知eq\f（b,a)＝－5,eq\f（c,a)＝6。由a<0知c〈0，eq\f（b,c)＝eq\f（－5，6），故不等式cx2＋bx＋a〈0，即x2＋eq\f（b，c）x＋eq\f（a，c)〉0,即x2－eq\f（5,6）x＋eq\f(1，6）〉0，解得x<eq\f(1，3）或x〉eq\f(1，2),所以不等式cx2＋bx＋a〈0的解集为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，＋∞））。法二：由不等式ax2＋bx＋c〉0的解集为{x|2<x〈3｝可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a（x－2）(x－3）＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a,故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(1，3)））eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2））)〈0，故原不等式的解集为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞,\f（1,3)）)∪eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）,＋∞））。1．（变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解］由根与系数的关系知eq\f（b，a）＝－5，eq\f（c，a）＝6且a<0.∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f（5，6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f（b，c）x＋eq\f（a,c)〈0,即x2＋eq\f（5，6）x＋eq\f（1,6)<0.解之得eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2）<x〈－\f（1,3）))))。2．（变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c〉0的解集为｛x|2〈x〈3}变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)≤x≤2））))。求不等式cx2＋bx＋a〈0的解集．［解］法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\｝（\a\vs4\al\co1（－\f(1,3）≤x≤2)）))知a＜0。又eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,3）)）×2＝eq\f(c,a）＜0，则c＞0。又－eq\f(1，3），2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－eq\f（b，a)＝eq\f(5，3），∴eq\f(b，a）＝－eq\f（5,3).又eq\f(c,a)＝－eq\f（2，3），∴b＝－eq\f(5,3）a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式变为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2,3）a）)x2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（5，3）a)）x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0。又∵a＜0,∴2x2＋5x－3＜0,所求不等式的解集为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\｝(\a\vs4\al\co1（－3＜x＜\f（1，2））））).法二:由已知得a＜0且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,3)))＋2＝－eq\f(b，a）,eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3)）)×2＝eq\f（c,a)知c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f（b,c）,x1·x2＝eq\f(a,c），其中eq\f（a,c)＝eq\f（1，\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,3）))×2)＝－eq\f（3，2）,－eq\f(b,c）＝eq\f（－\f（b，a）,\f（c，a）)＝eq\f（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3））)＋2,\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,3)）)×2）＝eq\f(1,\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)）））＋eq\f（1，2）＝－eq\f（5，2),∴x1＝eq\f（1,\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3）))）＝－3,x2＝eq\f（1,2）.∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0）的解集为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\｝(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2））)）).已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循:1根据解集来判断二次项系数的符号；2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；3约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解。1．解一元二次不等式的常见方法(1）图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式:ax2＋bx＋c＞0(a＞0）或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．（2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若（x－m）(x－n)＞0，则可得｛x｜x＞n或x＜m}；若(x－m）（x－n）＜0，则可得{x｜m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏"，讨论需从如下三个方面进行考虑（1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0,a＝0。（2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0),一根(Δ＝0)，无根（Δ〈0）．（3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2。3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．1．判断正误（1）mx2－5x〈0是一元二次不等式．(）(2）若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()（3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2（x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c〈0的解集为{x|x1〈x<x2}．（）（4）不等式x2－2x＋3>0的解集为R。（）［答案](1）×（2)×(3)×（4）√［提示]（1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式;当m≠0时，是一元二次不等式．(2）错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1〉0恒成立，即原不等式的解集为R。(3）错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为｛x｜x1<x<x2}，否则不成立．(4）正确．因为Δ＝（－2）2－12<0,所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R。2．设a<－1,则关于x的不等式a（x－a）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（1，a))）〈0的解集为________．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc