2020高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法课后巩固提升 2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精4数学归纳法[A组基础巩固]1．用数学归纳法证明1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1,3）＋…＋eq\f（1，2n－1）〈n（n∈N＋，n〉1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f（1，2）〈2B．1＋eq\f（1，2)＋eq\f（1，3)〈2C．1＋eq\f(1，2）＋eq\f(1，3）<3D．1＋eq\f（1,2)＋eq\f(1，3)＋eq\f（1,4）〈3解析：∵n∈N＋，n〉1,∴n取第一个正整数为2,左端分母最大的项为eq\f(1,22－1）＝eq\f(1，3）。答案：B2．证明eq\f(n＋2，2)〈1＋eq\f(1,2）＋eq\f(1，3）＋eq\f(1,4）＋…＋eq\f(1,2n)<n＋1（n〉1）,当n＝2时，中间式等于（）A．1 B．1＋eq\f(1,2)C．1＋eq\f（1,2）＋eq\f(1,3） D．1＋eq\f(1，2）＋eq\f（1，3)＋eq\f（1,4）解析：中间式中的eq\f(1，2n)表示中间式的最后一项，前面的保留，所以n＝1时，中间式为1＋eq\f(1,2)，n＝2时,中间式为1＋eq\f(1,2）＋eq\f（1，3）＋eq\f（1,4).答案:D3．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n（n＋1）（n＋2)＝eq\f(1,4）n（n＋1）(n＋a)（n＋b）对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于（)A．a＝1,b＝3 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3解析：当n＝1时，原式可化为ab＋a＋b＝11;①当n＝2时,原式可化为ab＋2(a＋b)＝16.②由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合．答案：D4．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1）＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f（1,n＋n)＞eq\f（13，24)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时,不等式左边的变化情况为(）A．增加eq\f（1，2k＋1）B．增加eq\f(1，2k＋1）＋eq\f（1,2k＋1）C．增加eq\f（1，2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1），减少eq\f(1，k＋1)D．增加eq\f(1,2k＋1)，减少eq\f（1，k＋1）解析：当n＝k时，不等式的左边＝eq\f（1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1，k＋k），当n＝k＋1时，不等式的左边＝eq\f（1,k＋2）＋eq\f（1,k＋3)＋…＋eq\f（1,k＋1＋k＋1),又eq\f(1，k＋2)＋eq\f（1,k＋3)＋…＋eq\f(1，k＋1＋k＋1)－(eq\f（1,k＋1）＋eq\f（1,k＋2）＋…＋eq\f（1,k＋k)）＝eq\f（1，2k＋1）＋eq\f(1，2k＋1）－eq\f(1，k＋1)，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加eq\f(1,2k＋1）＋eq\f（1，2k＋1)，减少eq\f（1,k＋1）。答案：C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N＋）的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1,则当n＝k＋1时,1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f（1－2k＋1,1－2）＝2k＋1－1，所以，当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：当n＝k＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，即一定用上第二步中的假设．答案:没有用上归纳假设进行递推6．n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除，当第二步假设n＝k（k∈N＋）命题为真时,则需证n＝________时命题也为真．解析:n为正奇数，现在n＝k，说明k为正奇数，下一个正奇数应为k＋2.答案：k＋27．对于不等式eq\r（n2＋4n）<n＋2（n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r（12＋4)<1＋2，不等式成立．(2）假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立,即eq\r（k2＋4k)<k＋2，则n＝k＋1时,eq\r(k＋12＋4k＋1）＝eq\r(k2＋6k＋5）<eq\r（k2＋6k＋5＋4）＝eq\r(k＋32）＝(k＋1)＋2.∴当n＝k＋1时,不等式成立．上述证法第________步错误．解析:第（2）步中证明n＝k＋1时不等式成立时，未用归纳假设．答案：(2）8．用数学归纳法证明：2＋4＋6＋…＋2（n＋1）＝(n＋1)（n＋2)(n∈N＋）．证明:（1）当n＝1时，左边＝2＋4＝6，右边＝2×3＝6，等式成立．（2)假设当n＝k时等式成立，即2＋4＋6＋…＋2（k＋1）＝（k＋1）(k＋2），则当n＝k＋1时,左边＝2＋4＋6＋…＋2（k＋1）＋2（k＋2）＝(k＋1)（k＋2）＋2（k＋2)＝（k＋2)（k＋3)＝[（k＋1)＋1]［（k＋1）＋2]．这就是说,当n＝k＋1时等式也成立．由（1）(2）可知，对于任意的n∈N＋，等式都成立．9．用数学归纳法证明：(n2－12）＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2）＝eq\f（1，4）n2(n2－1）(n∈N＋)．证明：（1)当n＝1时,左边＝0,右边＝0，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1,k∈N＋）时，等式成立,即（k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k（k2－k2）＝eq\f（1，4）k2(k2－1)成立．则当n＝k＋1时,［（k＋1)2－12］＋2[（k＋1）2－22]＋…＋k[（k＋1)2－k2]＋（k＋1）［（k＋1）2－(k＋1）2]＝［(k2－12）＋（2k＋1）］＋2［(k2－22)＋(2k＋1)]＋…＋k[(k2－k2）＋(2k＋1）]＝[(k2－12)＋2（k2－22)＋…＋k(k2－k2）]＋(2k＋1）·（1＋2＋…＋k)＝eq\f(1，4）k2(k2－1）＋(2k＋1)·eq\f(1,2)k（k＋1）＝eq\f（1,4）（k＋1）2[(k＋1)2－1］．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)（2)可知等式对一切n∈N＋都成立．[B组能力提升］1．使不等式2n>n2＋1对任意n≥k的自然数n都成立的最小k值为(）A．2 B．3C．4 D．5解析：25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n，2n〉n2＋1都成立．答案：D2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x）满足“当f(k)≥k2成立时总可推出f（k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是()A．若f（3)≥9成立，则当k≥1，均有f(k）≥k2成立B．若f（5)≥25成立,则当k≤5时,均有f（k)≥k2成立C．若f（7)＜49成立，则当k≥8时，均有f（k）＜k2成立D．若f（4）＝25成立，则当k≥4时，均有f(k）≥k2成立解析：对于A，f（3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f（k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符,故B错误．对于C,没有奠基部分,故C错误．对于D,f（4）＝25≥42，由题设的递推关系,可知结论成立，故选D。答案：D3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b）＋c对一切n∈N＋成立,那么a＝________,b＝________，c＝________.解析:把n＝1,2，3代入1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n（na－b)＋c，可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1＝3a－b＋c,,1＋2×3＝322a－b＋c，，1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c。））整理并解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f（1，2)，，b＝\f（1,4）,，c＝\f(1,4）。）)答案：eq\f(1,2）eq\f(1,4）eq\f（1,4)4．用数学归纳法证明：当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时，原式为__________________．从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是__________________．解析：当n＝1时，1＋2＋22＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24;1＋2＋22＋…＋25（k＋1)－1－（1＋2＋22＋…＋25k－1）＝25k＋25k＋1＋…＋25k＋4.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋…＋25k＋45．用数学归纳法证明3n〉n2(n∈N＋）．证明:(1)当n＝1时，左边＝3，右边＝1，3〉1，不等式成立．当n＝2时，左边＝9,右边＝4，9〉4，不等式成立．（2）假设当n＝k(k≥2）时,不等式成立,即3k〉k2,则n＝k＋1时，左边＝3k＋1＝3·3k〉3·k2，右边＝(k＋1）2＝k2＋2k＋1，∵3k2－（k2＋2k＋1)＝2k2－2k－1＝2（k－0.5）2－1.5，当k≥2，k∈N时，上式恒为正值．则左边>右边,即3k＋1>（k＋1)2，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由（1）(2）可知，对任何正整数n，总有3n〉n2成立．6．已知正项数列｛bn｝的前n项和Bn＝eq\f（1,4）（bn＋1）2。（1）求出b1，b2,b3,b4的值；(2）猜想｛bn｝的通项公式并用数学归纳法证明．解析:（1）由已知Bn＝eq\f(1，4）(bn＋1)2,数列{bn｝为正项数列，得B1＝b1＝eq\f（1,4)(b1＋1)2⇒b1＝1＝2×1－1,B2＝b1＋b2＝eq\f(1,4）(b2＋1）2，即1＋b2＝eq\f(1,4)(b2＋1)2⇒b2＝3＝2×2－1，B3＝b1＋b2＋b3＝1＋3＋b3＝eq\f(1,4)(b3＋1)2⇒b3＝5＝2×3－1，B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝1＋3＋5＋b4＝eq\f（1,4)(b4＋1）2⇒b4＝7＝2×4－1。(2）由此猜想出：bn＝2n－1(n≥1)为数列的通项公式，用