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文档简介
学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE10-学必求其心得,业必贵于专精4数学归纳法[A组基础巩固]1.用数学归纳法证明1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2n-1)〈n(n∈N+,n〉1)时,第一步应验证不等式()A.1+eq\f(1,2)〈2B.1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)〈2C.1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)<3D.1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)〈3解析:∵n∈N+,n〉1,∴n取第一个正整数为2,左端分母最大的项为eq\f(1,22-1)=eq\f(1,3)。答案:B2.证明eq\f(n+2,2)〈1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)+…+eq\f(1,2n)<n+1(n〉1),当n=2时,中间式等于()A.1 B.1+eq\f(1,2)C.1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3) D.1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)解析:中间式中的eq\f(1,2n)表示中间式的最后一项,前面的保留,所以n=1时,中间式为1+eq\f(1,2),n=2时,中间式为1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4).答案:D3.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=eq\f(1,4)n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立,则a,b的值应该等于()A.a=1,b=3 B.a=-1,b=1C.a=1,b=2 D.a=2,b=3解析:当n=1时,原式可化为ab+a+b=11;①当n=2时,原式可化为ab+2(a+b)=16.②由①②可得a+b=5,ab=6,验证可知只有选项D适合.答案:D4.用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n+1)+eq\f(1,n+2)+…+eq\f(1,n+n)>eq\f(13,24)的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式左边的变化情况为()A.增加eq\f(1,2k+1)B.增加eq\f(1,2k+1)+eq\f(1,2k+1)C.增加eq\f(1,2k+1)+eq\f(1,2k+1),减少eq\f(1,k+1)D.增加eq\f(1,2k+1),减少eq\f(1,k+1)解析:当n=k时,不等式的左边=eq\f(1,k+1)+eq\f(1,k+2)+…+eq\f(1,k+k),当n=k+1时,不等式的左边=eq\f(1,k+2)+eq\f(1,k+3)+…+eq\f(1,k+1+k+1),又eq\f(1,k+2)+eq\f(1,k+3)+…+eq\f(1,k+1+k+1)-(eq\f(1,k+1)+eq\f(1,k+2)+…+eq\f(1,k+k))=eq\f(1,2k+1)+eq\f(1,2k+1)-eq\f(1,k+1),所以由n=k到n=k+1时,不等式的左边增加eq\f(1,2k+1)+eq\f(1,2k+1),减少eq\f(1,k+1)。答案:C5.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的过程如下:①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k=eq\f(1-2k+1,1-2)=2k+1-1,所以,当n=k+1时等式成立.由此可知,对任何n∈N+,等式都成立.上述证明的错误是________.解析:当n=k+1时正确的解法是1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1,即一定用上第二步中的假设.答案:没有用上归纳假设进行递推6.n为正奇数,求证:xn+yn能被x+y整除,当第二步假设n=k(k∈N+)命题为真时,则需证n=________时命题也为真.解析:n为正奇数,现在n=k,说明k为正奇数,下一个正奇数应为k+2.答案:k+27.对于不等式eq\r(n2+4n)<n+2(n∈N+),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,eq\r(12+4)<1+2,不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式成立,即eq\r(k2+4k)<k+2,则n=k+1时,eq\r(k+12+4k+1)=eq\r(k2+6k+5)<eq\r(k2+6k+5+4)=eq\r(k+32)=(k+1)+2.∴当n=k+1时,不等式成立.上述证法第________步错误.解析:第(2)步中证明n=k+1时不等式成立时,未用归纳假设.答案:(2)8.用数学归纳法证明:2+4+6+…+2(n+1)=(n+1)(n+2)(n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=2+4=6,右边=2×3=6,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即2+4+6+…+2(k+1)=(k+1)(k+2),则当n=k+1时,左边=2+4+6+…+2(k+1)+2(k+2)=(k+1)(k+2)+2(k+2)=(k+2)(k+3)=[(k+1)+1][(k+1)+2].这就是说,当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意的n∈N+,等式都成立.9.用数学归纳法证明:(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=eq\f(1,4)n2(n2-1)(n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=0,右边=0,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=eq\f(1,4)k2(k2-1)成立.则当n=k+1时,[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]=[(k2-12)+(2k+1)]+2[(k2-22)+(2k+1)]+…+k[(k2-k2)+(2k+1)]=[(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)]+(2k+1)·(1+2+…+k)=eq\f(1,4)k2(k2-1)+(2k+1)·eq\f(1,2)k(k+1)=eq\f(1,4)(k+1)2[(k+1)2-1].所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知等式对一切n∈N+都成立.[B组能力提升]1.使不等式2n>n2+1对任意n≥k的自然数n都成立的最小k值为()A.2 B.3C.4 D.5解析:25=32,52+1=26,对n≥5的所有自然数n,2n〉n2+1都成立.答案:D2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立解析:对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错误.对于B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于C,没有奠基部分,故C错误.对于D,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D。答案:D3.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+成立,那么a=________,b=________,c=________.解析:把n=1,2,3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c,可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1=3a-b+c,,1+2×3=322a-b+c,,1+2×3+3×32=333a-b+c。))整理并解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=\f(1,2),,b=\f(1,4),,c=\f(1,4)。))答案:eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)4.用数学归纳法证明:当n∈N+,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时,原式为__________________.从n=k到n=k+1时需增添的项是__________________.解析:当n=1时,1+2+22+…+25×1-1=1+2+22+23+24;1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+…+25k+4.答案:1+2+22+23+2425k+25k+1+…+25k+45.用数学归纳法证明3n〉n2(n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=3,右边=1,3〉1,不等式成立.当n=2时,左边=9,右边=4,9〉4,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,即3k〉k2,则n=k+1时,左边=3k+1=3·3k〉3·k2,右边=(k+1)2=k2+2k+1,∵3k2-(k2+2k+1)=2k2-2k-1=2(k-0.5)2-1.5,当k≥2,k∈N时,上式恒为正值.则左边>右边,即3k+1>(k+1)2,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,对任何正整数n,总有3n〉n2成立.6.已知正项数列{bn}的前n项和Bn=eq\f(1,4)(bn+1)2。(1)求出b1,b2,b3,b4的值;(2)猜想{bn}的通项公式并用数学归纳法证明.解析:(1)由已知Bn=eq\f(1,4)(bn+1)2,数列{bn}为正项数列,得B1=b1=eq\f(1,4)(b1+1)2⇒b1=1=2×1-1,B2=b1+b2=eq\f(1,4)(b2+1)2,即1+b2=eq\f(1,4)(b2+1)2⇒b2=3=2×2-1,B3=b1+b2+b3=1+3+b3=eq\f(1,4)(b3+1)2⇒b3=5=2×3-1,B4=b1+b2+b3+b4=1+3+5+b4=eq\f(1,4)(b4+1)2⇒b4=7=2×4-1。(2)由此猜想出:bn=2n-1(n≥1)为数列的通项公式,用
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