2020高中数学 第一章 三角函数 1. 三角函数模型的简单应用练习（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17-学必求其心得，业必贵于专精第15课时三角函数模型的简单应用对应学生用书P37知识点一已知三角函数模型的应用题1．电流强度I(安)随时间t(秒）变化的函数I＝Asinωt＋eq\f(π，6）（A〉0,ω≠0)的图象如图所示，则当t＝eq\f（1,50）秒时，电流强度是(）A．－5安B．5安C．5eq\r（3)安D．10安答案B解析由图象可知A＝10，T＝2×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4，300）－\f(1,300）))＝eq\f(1,50），∴eq\f（2π，ω)＝eq\f(1,50),∴ω＝100π．∴I＝10sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（100πt＋\f(π,6)））．当t＝eq\f(1,50）秒时,I＝10sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(100π×\f(1,50）＋\f（π，6)））＝5（安)．2．弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t（s）内离开平衡位置（静止时的位置)的距离h（cm）由下面的函数关系式表示：h＝3sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2t＋\f(π,4)）)．（1）求小球开始振动的位置;(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；(3）经过多长时间小球往返振动一次？（4)每秒钟内小球能往返振动多少次？解(1)令t＝0，得h＝3sineq\f(π,4）＝eq\f（3\r（2),2),所以小球开始振动的位置为离开平衡位置向上eq\f(3\r（2）,2)cm处．（2)由题意知，t∈[0，2π），当h＝3时，t＝eq\f(π，8），即最高点为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，8)，3));当h＝－3时，t＝eq\f（5π，8)，即最低点为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（5π，8)，－3）)．(3）T＝eq\f(2π,2)＝π≈3．14，即每经过约3．14秒小球往返振动一次．(4）f＝eq\f(1，T)≈0．318，即每秒内小球往返振动约0．318次．知识点二建立三角函数模型的应用题3．如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（eq\r（2)，－eq\r（2））,角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()答案C解析∵P0(eq\r(2），－eq\r(2）），∴∠P0Ox＝eq\f(π，4)．按逆时针转时间t后得∠POP0＝t,∠POx＝t－eq\f(π,4），此时P点纵坐标为2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(t－\f(π，4)）),∴d＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f（π,4)))）)．当t＝0时，d＝eq\r（2)，排除A，D两项;当t＝eq\f(π，4)时，d＝0，排除B项，故选C．4．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y（m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________，x∈［0,24]．答案y＝－6sineq\f（π,6)x解析将其看成函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，由图象知,A＝6，T＝12，∴ω＝eq\f（2π,T）＝eq\f(π,6)．将(6，0）看成函数图象的第一个特殊点,则eq\f(π,6）×6＋φ＝0，∴φ＝－π．∴函数关系式为y＝6sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,6）x－π））＝－6sineq\f(π,6）x．5．以一年为一个周期，调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦型函数y1波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦型函数y2波动的，并已知5月份销售价格最高为10元,9月份销售价格最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请分别求出y1，y2关于第x月份的函数解析式．解设y1＝Asin(ωx＋φ）＋B，由题意知B＝6．∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元,∴A＝2，T＝2×(7－3)＝8＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,4）．则y1＝2sineq\f(π，4）x＋φ＋6，将点(3，8)代入得φ＝－eq\f(π，4），故y1＝2sineq\f(π,4）x－eq\f（π,4)＋6(1≤x≤12)．同理可得y2＝2sineq\f（π，4）x－eq\f(3π,4）＋8（1≤x≤12)．知识点三在实际生活中的应用题6．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式（其中t以年初以来经过的月份数为计量单位）；(2）估计当年3月1日动物种群数量．解（1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin（ωt＋φ）＋b(A〉0，ω〉0）,则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－A＋b＝700,，A＋b＝900，））解得A＝100,b＝800．又周期T＝2×(6－0)＝12,所以ω＝eq\f（2π,T)＝eq\f（π，6)，所以y＝100sineq\f(π，6）t＋φ＋800．又当t＝6时，y＝900，所以900＝100sineq\f（π,6)×6＋φ＋800，所以sin(π＋φ）＝1，所以sinφ＝－1，所以取φ＝－eq\f（π，2）．所以y＝100sineq\f(π，6）t－eq\f（π，2)＋800．（2）当t＝2时,y＝100sineq\f(π，6）×2－eq\f(π,2）＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750．7．如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0),x∈[0，4］的图象，且图象的最高点为S(3,2eq\r(3）），赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°．求A,ω的值和M,P两点间的距离．解依题意，有A＝2eq\r（3)，eq\f(T,4）＝3，又T＝eq\f（2π，ω），∴ω＝eq\f（π，6)．∴y＝2eq\r(3）sineq\f(π,6)x，x∈［0，4］．∴当x＝4时，y＝2eq\r（3）sineq\f（2π,3）＝3．∴M(4，3）．又P(8，0),∴MP＝eq\r(8－42＋0－32）＝eq\r（42＋32)＝5(km）．即M，P两点间的距离为5km．对应学生用书P39一、选择题1．电流强度I(A)随时间t(s）变化的函数I＝Asin（ωt＋φ)A〉0，ω〉0,0<φ〈eq\f（π，2)的图象如图所示，则当t＝eq\f（1，100）s时，电流强度是(）A．－5AB．5AC．5eq\r(3)AD．10A答案A解析由图象知A＝10,eq\f(T,2）＝eq\f(4,300)－eq\f（1,300）＝eq\f(1,100），∴T＝eq\f(1,50），∴ω＝eq\f（2π，T)＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ）．又eq\f(1,300)，10在图象上,∴100π×eq\f（1，300)＋φ＝eq\f（π,2）＋2kπ，k∈Z．又0<φ〈eq\f(π，2)，∴φ＝eq\f(π，6）．∴I＝10sin100πt＋eq\f（π，6)，当t＝eq\f（1,100)s时，I＝－5A，故选A．2．如图为甲地某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA〉0，ω>0，eq\f(π,2）〈φ〈π的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为()A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃答案D解析由题意得A＝eq\f（1，2)×(30－10）＝10，b＝eq\f（1,2)×(30＋10)＝20，∵2×(14－6)＝16，∴eq\f（2π,ω）＝16，∴ω＝eq\f（π,8),∴y＝10sineq\b\lc\（\rc\（\a\vs4\al\co1（）)eq\f（π，8）x＋φeq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1（))＋20，将x＝6，y＝10代入，得10sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,8）×6＋φ）)＋20＝10，即sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π,4）＋φ））＝－1，由于eq\f（π，2）<φ<π，可得φ＝eq\f(3π,4),∴y＝10sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,8）x＋\f（3π,4))）＋20，x∈[6，14］．当x＝8时，y＝10sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,8）×8＋\f(3π，4)））＋20＝20－5eq\r(2)≈13，即该天8h的温度大约为13℃，故选D．3．如图,设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧eq\x\to(AP)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l）的图象大致是()答案C解析如图,过点O作OD⊥AP于D，由题意知,∠AOD＝eq\f(l,2)，OA＝1，AD＝eq\f(d,2),∴sineq\f（l,2)＝eq\f（d，2），即d＝2sineq\f（l,2）．结合图象知选C．4．已知x1，x2，x3(x1<x2<x3）是函数f（x）＝cosx与函数g(x)＝m的图象在区间eq\f(π,2),3π内的三个不同交点的横坐标，且满足xeq\o\al(2,2)＝x1·x3，则实数m的值为(）A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1，2）C．－eq\f（\r（2），2)D．eq\f（\r（2),2)答案A解析在同一直角坐标系中作出函数f（x)＝cosx与函数g（x）＝m的图象，如图所示．则由图象可知x1＋x2＝2π，且x2＋x3＝4π．结合xeq\o\al（2，2)＝x1·x3（x1〈x2〈x3)，可得x1＝eq\f(2π，3)，x2＝eq\f（4π,3），x3＝eq\f(8π,3)，则m＝feq\f（2π,3）＝feq\f(4π，3）＝feq\f(8π,3）＝－eq\f(1，2），故选A．5．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足y＝500sin（ωx＋φ）＋9500（ω〉0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．x12y100009500则此楼群在第3季度的平均单价大约是(）A．10000元B．9500元C．9000元D．8500元答案C解析因为y＝500sin（ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时,500sin（ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500,即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sin2ω＋φ＝0，，sinω＋φ＝1,))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ω＋φ＝mπ，m∈Z，，ω＋φ＝\f（π，2)＋2nπ，n∈Z，））易得3ω＋φ＝－eq\f（π,2)＋2kπ，k∈Z．又当x＝3时，y＝500sin（3ω＋φ)＋9500，所以y＝9000．二、填空题6．一树干被台风吹断,折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________米．答案20eq\r(3）解析如图所示，在Rt△ABC中,AC＝20米,∠B＝60°，∴sinB＝eq\f(AC，BC）,∴BC＝eq\f(AC，sinB）＝eq\f（20，sin60°)＝eq\f（40\r(3)，3）．又AB＝eq\f（1,2)BC＝eq\f（20\r（3）,3）,∴树干高为AB＋BC＝20eq\r（3)（米）．7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈［0，60］．答案10sineq\f（π,60）t解析解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ）形式，由题意易知A＝10，当t＝0时,d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝eq\f(π,60），所以d＝10sineq\f(π，60）t．8．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq\f(π,6）x＋φ＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：m）的最大值为________m．答案8解析由题图可知－3＋k＝2，得k＝5，∴y＝3sineq\f(π,6）x＋φ＋5，∴ymax＝3＋5＝8．三、解答题9．下表是某地某年月平均气温（单位：)．月份123456平均气温21．426．036．048．859．168．6月份789101112平均气温73．071．964．753．539．827．7以月份为x轴,x＝月份－1,以平均气温为y轴．(1)描出散点图；(2）用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少?(4)估计这个正弦曲线的振幅A；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是________．①eq\f(y，A)＝coseq\f(π，6）x;②eq\f（y－46，A)＝coseq\f（π，6)x;③eq\f（y－46，－A)＝coseq\f（π，6)x；④eq\f（y－26，A）＝sineq\f(π,6)x．解(1）(2）如图所示：（3)1月份的气温最低，为21．4，7月份气温最高，为73．0,据图知,eq\f(T,2)＝7－1＝6，∴T＝12．(4）2A＝