高二下学期期末考试数学试卷与答案解析(共四套)

高二下学期期末考试数学试卷（一）注意事项：1．本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a4a6＝64，则公比q＝（）A．4 B．3 C．2 D．2.从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（）A．4种 B．12种 C．24种 D．64种3.直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．14.若函数f（x）＝alnx﹣x2+5x在（1，3）内无极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，3） B．（﹣∞，﹣）C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记X＝b﹣a，则随机变量X的期望为（）A． B． C．3 D．46.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．7.已知x与y之间的几组数据如表：x1234y1mn4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程y＝中，其中，．相关系数r＝．A．三条回归直线有共同交点B．相关系数中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a28.已知数列{an}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22﹣1项是，，再接下来的23﹣1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为Sn，下列判断：①是{an}的第2036项；②存在常数M，使得Sn＜M恒成立；③S2036＝1018；④满足不等式Sn＞1019的正整数n的最小值是2100．其中正确的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，满足a1+3a2＝S6，则下列四个选项中正确的有（）A．a7＝0 B．S13＝0 C．S7最小 D．S5＝S8．10.现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（）A．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种11.如图所示，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（）A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变小D．解释变量x与预报变量y的相关性变强12.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），导函数为f′（x），xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，且，则（）A．f′（）＝0B．f（x）在处取得极大值C．0＜f（1）＜1D．f（x）在（0，+∞）单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数f（x）＝（2x﹣x2）ex取得极小值时的x值为．14.已知（x﹣）（1﹣x）4的展开式中x2的系数为4，则a＝，（x﹣）（1﹣x）4的展开式中的常数项为．15.用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是．16.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.已知F（x）＝t（t﹣4）dt，x∈（﹣1，+∞）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，5]上的最值．18.某校寒假行政值班安排，要求每天安排一名行政人员值日，现从包含甲、乙两人的七名行政人员中选四人负责四天的轮班值日，在下列条件下，各有多少种不同的安排方法？（1）甲、乙两人都被选中，且安排在前两天值日；（2）甲、乙两人只有一人被选中，且不能安排在后两天值日．19.已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1：3．（1）求n的值；（2）求二项展开式中各项二项式系数和以及各项系数和；（3）求展开式中系数的绝对值最大的项．20.近年来，随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高，电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向．为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在黄金周期间同时投放市场．为了了解这两款车型在黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量（单位：台），得到如表：4S店甲乙丙丁戊车型A661381l车型B1291364（Ⅰ）若从甲、乙两家4S店销售出的电动汽车中分别各自随机抽取1台电动汽车作满意度调查，求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型A的概率；（Ⅱ）现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．21.国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了100人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：（Ⅰ）根据已知条件，完成2×2列联表支持不支持合计中老年组100中青年组100合计200（Ⅱ）是否有99.9%的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828附：K2＝22.已知数列{an}满足a1+a3＝12，a2＝6，为与的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足b2n﹣1＝2Sn﹣an﹣1，b2n+b2n﹣1＝an（an+2），求证：+…+（n≥2）．答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a4a6＝64，则公比q＝（）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式列方程组，能求出公比．【解答】解：∵各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a4a6＝64，∴，且q＞0，解得＝，q＝2，∴公比q＝2．故选：C．【知识点】等比数列的性质2.从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（）A．4种 B．12种 C．24种 D．64种【答案】C【分析】分析易得，这是一个排列问题，由排列公式计算可得答案；【解答】解：根据题意，这是一个排列问题，故从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有A43＝4×3×2＝24种．故选：C．【知识点】计数原理的应用3.直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．1【答案】B【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y′|x＝m＝﹣＝解得m＝1∵切点（1，n）在曲线的图象上，∴n＝﹣，∵切点（1，﹣）又在直线上，∴b＝﹣1．故选：B．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程4.若函数f（x）＝alnx﹣x2+5x在（1，3）内无极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，3） B．（﹣∞，﹣）C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）【答案】D【分析】求出函数的导数，题目转化为导函数在（1，3）内无零点，构造函数，利用二次函数的性质求解函数的值域，借助函数的图象，推出结果．【解答】解：函数f（x）＝alnx﹣x2+5x，f′（x）＝＝0，即a＝2x2﹣5x，在（1，3）内无解，设h（x）＝2x2﹣5x＝2（x﹣）2﹣，x∈（1，3），则h（x）min＝﹣，h（1）＝﹣3，h（3）＝3，由函数h（x）的图象可知，实数a的取值范围：（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）．故选：D．【知识点】利用导数研究函数的极值5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记X＝b﹣a，则随机变量X的期望为（）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】根据题意，确定集合A和集合B的可能集合，以及a和b的取值，确定X＝b﹣a的取值为1，2，3，4，分别求出X取不同值时的概率，列出随机变量X的分布列，根据期望的运算公式代入数值求解即可．【解答】解：根据题意，从集合A中任取3个不同的元素，则集合A有4种可能，分别为：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，其中最小的元素a取值分别为：1，2．从集合B中任取3个不同的元素，则集合B有10种可能，分别为：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，其中最大的元素b取值分别为：3，4，5．∵X＝b﹣a，则X的取值为：1，2，3，4．P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝＝；P（X＝3）＝＝＝；P（X＝4）＝＝＝．随机变量X的分布列如下：X1234PE（X）＝1×+2×+3×+4×＝．故选：A．【知识点】离散型随机变量的期望与方差6.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．【答案】A【分析】根据二项式展开式中二项式系数和为2n可求得A，令x＝1，y＝1可得各项系数和B，令f（x）＝（x﹣2）6，x的奇次幂项的系数和为可求得C，计算可得的值．【解答】解：在二项式（x﹣2y）6的展开式中，二项式系数和A＝26＝64，令x＝y＝1，得各项系数和B＝（﹣1）6＝1，令f（x）＝（x﹣2）6，得x的奇次幂项的系数和C＝＝＝﹣364，所以＝﹣＝﹣．故选：A．【知识点】二项式定理7.已知x与y之间的几组数据如表：x1234y1mn4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程y＝中，其中，．相关系数r＝．A．三条回归直线有共同交点B．相关系数中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a2【答案】D【分析】由题意可得m+n＝5，分别取m与n的值，得到b1，a1，b2，a2，r1，r2，r3的值，逐一分析四个选项得答案．【解答】解：由题意，1+m+n+4＝10，即m+n＝5．若m＝1.5，则n＝3.5，此时，．＝（1﹣2.5）（1﹣2.5）+（2﹣2.5）（1.5﹣2.5）+（3﹣2.5）（3.5﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝5.5，＝（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52＝5，＝（﹣1.5）2+（﹣1）2+12+1.52＝6.5．则，a1＝2.5﹣1.1×2.5＝﹣0.25，；若m＝2，则n＝3，此时，．＝（1﹣2.5）（1﹣2.5）+（2﹣2.5）（2﹣2.5）+（3﹣2.5）（3﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝5，＝5，＝（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52＝5．，a2＝2.5﹣1×2.5＝0，；若m＝2.5，则n＝2.5，此时，．＝（1﹣2.5）（1﹣2.5）+（2﹣2.5）（2.5﹣2.5）+（3﹣2.5）（2.5﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝4.5，＝5，＝（﹣1.5）2+1.52＝4.5，．由样本点的中心相同，故A正确；由以上计算可得，相关系数中，r2最大，b1＞b2，a1＜a2，故B，C正确，D错误．故选：D．【知识点】线性回归方程8.已知数列{an}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22﹣1项是，，再接下来的23﹣1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为Sn，下列判断：①是{an}的第2036项；②存在常数M，使得Sn＜M恒成立；③S2036＝1018；④满足不等式Sn＞1019的正整数n的最小值是2100．其中正确的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①是{an}的第k项，则k＝21﹣1+22﹣1+……+210﹣1，利用等比数列的求和公式求出即可判断出结论．②由题意可得：分母为2k时，＝＝（k∈N*），可得：Sn单调递增，且n→+∞时，Sn→+∞，即可判断出结论．③由②可得：S2036＝++……+，利用等差数列的求和公式求出即可判断出结论．④S2036＝1018，设S2036+＝1018+＞1019，解得k即可判断出结论．【解答】解：①是{an}的第k项，则k＝21﹣1+22﹣1+……+210﹣1＝﹣10＝2036；②由题意可得：分母为2k时，＝＝（k∈N*），可得：Sn单调递增，且n→+∞时，Sn→+∞，因此不存在常数M，使得Sn＜M恒成立，因此不正确；③由②可得：S2036＝++……+＝++……+＝＝1018，因此正确．④S2036＝1018，设S2036+＝1018+＞1019，则k（k+1）＞212，解得k＞64．∴满足不等式Sn＞1019的正整数n的最小值＝2036+64＝2100，因此正确．其中正确的序号是①③④．故选：C．【知识点】数列的函数特性二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，满足a1+3a2＝S6，则下列四个选项中正确的有（）A．a7＝0 B．S13＝0 C．S7最小 D．S5＝S8．【答案】ABD【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，据此由等差数列的前n项和公式依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，对于A，若a1+3a2＝S6，即4a1+3d＝6a1+d，变形可得：a1+6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，B正确；对于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，因此C不正确；对于D，S5﹣S8＝（5a1+d）﹣（8a1+d）＝﹣3a1﹣18d＝﹣3a7＝0，D正确．故选：ABD．【知识点】等差数列的前n项和10.现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（）A．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种【答案】AC【分析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出．【解答】解：选取的3个学生都是女生的不同的选法共有C43＝4，故A正确；恰有1个女生的不同选法共有C32C41＝12种，故B错误；至少有1个女生的不同选法共有C73﹣C33＝34种，故C正确；选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共C31C42+C43＝22种，故D错误．故选：AC．【知识点】排列、组合及简单计数问题11.如图所示，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（）A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变小D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【答案】AD【分析】由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，由此判断即可．【解答】解：由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r的值变大，相关指数R2的值变大，残差平方和变小．故选：AD．【知识点】变量间的相关关系、相关系数12.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），导函数为f′（x），xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，且，则（）A．f′（）＝0B．f（x）在处取得极大值C．0＜f（1）＜1D．f（x）在（0，+∞）单调递增【答案】ACD【分析】令g（x）＝，则g′（x）＝＝，设g（x）＝，得f（x）＝，结合f（）＝求得c，可得f（x）的解析式，求导后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝＝，∴g（x）＝，即，则f（x）＝．又f（）＝，∴c＝．则f（x）＝．f′（x）＝＝≥0，则f′（）＝0，故A正确；f（x）在（0，+∞）单调递增，故B错误，D正确；f（1）＝∈（0，1），故C正确．故选：ACD．【知识点】利用导数研究函数的单调性三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数f（x）＝（2x﹣x2）ex取得极小值时的x值为．【分析】求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，再由极值的定义，即可得到所求．【解答】解：∵函数f（x）＝（2x﹣x2）ex，∴f′（x）＝（2﹣x2）ex＝ex（x）（），由f′（x）＜0，解得x＞或x＜；由f′（x）＞0，解得＜x＜．即有f（x）的单调减区间为（﹣∞，），（，+∞），单调递增区间为（，），则有x＝处f（x）取得极大值，在x＝处f（x）取得极小值．故答案为：．【知识点】利用导数研究函数的极值14.已知（x﹣）（1﹣x）4的展开式中x2的系数为4，则a＝，（x﹣）（1﹣x）4的展开式中的常数项为．【答案】【第1空】2【第2空】8【分析】把（1﹣x）4按照二项式定理展开，可得（x﹣）（1﹣x）4的展开式中x2的系数和常数项．【解答】解：∵（x﹣）（1﹣x）4＝（x﹣）（﹣•x+•x2﹣•x3+•x4），故展开式中x2的系数为﹣4+a×＝4，则a＝2．常数项为﹣a×（﹣）＝4a＝8，故答案为：2；8．【知识点】二项式定理15.用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是．【答案】4k+2【分析】从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是＝2（2k+1）．故答案为：4k+2．【知识点】数学归纳法16.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为．【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且前6次出现第四种号码．分两类，三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序为种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种号码卡片出现有一种方法，相乘可得，最后根据古典概型求概率即可．【解答】解：由分步计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有45种不同的取法．恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法由，三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法由，由分步加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240+360＝600种取法，所以恰好取6次卡片时停止的概率为P＝，故答案为．【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.已知F（x）＝t（t﹣4）dt，x∈（﹣1，+∞）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，5]上的最值．【分析】先由定积分的运算求得F（x）的解析式，（1）求导，令F′（x）＞0，可求得增区间，令F′（x）＜0，可求得减区间；（2）由（1）可得函数F（x）在[1，5]上的单调性，再比较在x＝1，x＝4及x＝5处的函数值大小，进而得到最值．【解答】解：＝．（1）F′（x）＝x2﹣4x＝x（x﹣4），由F′（x）＞0，得﹣1＜x＜0或x＞4；由F′（x）＜0，得0＜x＜4，所以F（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和（4，+∞），单调递减区间为（0，4）．（2）由（1）知F（x）在[1，4]上递减，在[4，5]上递增，因为F（1）＝，F（4）＝﹣，F（5）＝﹣6，所以F（x）在[1，5]上的最大值为，最小值为﹣．【知识点】利用导数研究函数的单调性18.某校寒假行政值班安排，要求每天安排一名行政人员值日，现从包含甲、乙两人的七名行政人员中选四人负责四天的轮班值日，在下列条件下，各有多少种不同的安排方法？（1）甲、乙两人都被选中，且安排在前两天值日；（2）甲、乙两人只有一人被选中，且不能安排在后两天值日．【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①甲、乙两人安排在前两天值日，②从剩下的五人中选两人安排在后两天排列值日，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①从甲、乙两人中选一人安排在前两天中的一天值日，②从剩下的五人中选三人安排在剩余的三天值日，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①甲、乙两人安排在前两天值日，有种排法，②从剩下的五人中选两人安排在后两天排列值日，有种排法．则排法种数为．（2）根据题意，分2步进行分析：①从甲、乙两人中选一人安排在前两天中的一天值日，有种排法．②从剩下的五人中选三人安排在剩余的三天值日，有种排法．则满足条件的排法种数为．【知识点】排列、组合及简单计数问题19.已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1：3．（1）求n的值；（2）求二项展开式中各项二项式系数和以及各项系数和；（3）求展开式中系数的绝对值最大的项．【分析】（1）由：＝1：3，可解得n；（2）二项式系数和2n，令x＝1可得各项系数和；（3）通过列不等式组即可求展开式中系数的绝对值最大的项．【解答】解：（1）由题意得：＝1：3，即＝，解得n＝7；（2）二项展开式中各项二项式系数和为27＝128，令x＝1可得各项系数和为（3﹣2）7＝1；（3）展开式的通项公式为Tr+1＝，设展开式中系数的绝对值最大的项为Tr+1，则，解得≤r≤，∴r＝3，∴展开式中系数的绝对值最大的项为T4＝﹣22680．【知识点】二项式定理20.近年来，随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高，电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向．为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在黄金周期间同时投放市场．为了了解这两款车型在黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量（单位：台），得到如表：4S店甲乙丙丁戊车型A661381l车型B1291364（Ⅰ）若从甲、乙两家4S店销售出的电动汽车中分别各自随机抽取1台电动汽车作满意度调查，求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型A的概率；（Ⅱ）现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先根据古典概型依次求出从甲、乙4S店分别随机抽取的1台电动汽车是车型B的概率，然后依据独立事件的概率和从对立事件的角度出发求解问题即可；（Ⅱ）由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，故X的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布求概率的方法逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“从甲4S店随机抽取的1台电动汽车是车型B”为事件M1，“从乙4S店随机抽取的1台电动汽车是车型B”为事件M2，则，，且事件M1、M2相互独立，设“抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型A”为事件M，则．（Ⅱ）由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，故X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝．∴随机变量X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．【知识点】离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差21.国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了100人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：（Ⅰ）根据已知条件，完成2×2列联表支持不支持合计中老年组100中青年组100合计200（Ⅱ）是否有99.9%的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828附：K2＝【答案】【第1空】20【第2空】80【第3空】50【第4空】50【第5空】70【第6空】130【分析】（Ⅰ）利用已知条件直接完成2×2列联表．（Ⅱ）求出K2的观测值，则结论可求．【解答】解：（Ⅰ）由等高条形图可知：中老年组中，持支持态度的有20人，持不支持态度的有80人；中青年组中，持支持态度的有50人，持不支持态度的有50人．故2×2列联表为：支持不支持合计中老年组2080100中青年组5050100合计70130200（Ⅱ），所以，有99.9%的把握认为人们对此政策持支持态度支持与年龄有关．【知识点】独立性检验22.已知数列{an}满足a1+a3＝12，a2＝6，为与的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足b2n﹣1＝2Sn﹣an﹣1，b2n+b2n﹣1＝an（an+2），求证：+…+（n≥2）．【分析】（1）根据等差中项的概念得到数列{an}的奇数项和偶数项分别成公差为8的等差数列，再分奇偶分别求出数列{an}的通项公式，即可得到结果；（2）先根据等差数列的求和公式求出Sn，并根据题意求出数列{bn}的通项公式，再利用数学归纳法证明不等式即可．【解答】（1）解：∵为与的等差中项，∴＝+，整理得：an+2﹣an＝8，∴a3﹣a1＝8，又a1+a3＝12，可解得：a1＝2，∴数列{an}中所有的奇数项是以a1＝2为首项，公差为8的等差数列，∴a2n﹣1＝2+8（n﹣1）＝8n﹣6＝4（2n﹣1）﹣2，又∵a2＝6，∴数列{an}中所有的偶数项是以a2＝6为首项，公差为8的等差数列，∴a2n＝6+8（n﹣1）＝8n﹣2＝4×2n﹣2，综上，an＝4n﹣2；（2）证明：由（1）可得：Sn＝＝2n2，∴b2n﹣1＝2Sn﹣an﹣1＝4n2﹣4n+1＝（2n﹣1）2，∴当n为奇数时，bn＝n2，又∵b2n+b2n﹣1＝an（an+2），∴b2n＝4n（2n﹣1）﹣b2n﹣1＝4n（2n﹣1）﹣（2n﹣1）2＝（2n）2﹣1，∴当n为偶数时，bn＝n2﹣1，∴bn＝，①当n＝2时，左边＝1+＝，右边＝，不等式成立；②假设当n＝k（k≥2）时，不等式成立，即++…+≥﹣，∵≥，∴当n＝k+1时，++…++≥﹣+，要证当n＝k+1时不等式成立，只需证﹣≥﹣即可，只需证≥﹣，只需证≥，只需证k+1≤k+2，这显然成立，故当n＝k+1时不等式也成立，综上，+…+（n≥2）．【知识点】等差数列的性质、数列递推式高二下学期期末考试数学试卷（二）注意事项：1．本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.等差数列{an}前n项和为Sn，a3+a4＝5，则S6＝（）A．15 B．20 C．25 D．302.（2x﹣）5的展开式中x3项的系数为（）A．80 B．﹣80 C．﹣40 D．483.设f（x）存在导函数且满足＝﹣1，则曲线y＝f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱5.设x＝﹣是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．2 B．1 C． D．6.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）A．18种 B．20种 C．22种 D．24种7.2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A． B． C． D．8.某种商品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为，则表中的m的值为（）x24568y3040m5070A．45 B．50 C．55 D．60二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.对于二项式，以下判断正确的有（）A．存在n∈N*，展开式中有常数项B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．B．C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件11.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，且a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，下列结论正确的是（）A．S2020＜S2021B．a2020a2022﹣1＜0C．数列{Tn}无最大值D．T2020是数列{Tn}中的最大值12.如果函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则以下关于函数y＝f（x）的判断正确的是（）A．在区间（2，4）内单调递减B．在区间（2，3）内单调递增C．x＝﹣3是极小值点D．x＝4是极大值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某幼儿园的2名老师带着5名学生排队过马路，要求前后必须各有一名老师监护，则不同的排法共种．14.2019年10月22日，联合国教科文组织公布2019年度联合国教科文组织﹣赤道几内亚国际生命科学研究奖获奖名单，共3人获奖，其中包括来自中国的屠呦呦．中国中医科学院教授、2015年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发现的全新抗疟疾药物青蒿素在20世纪80年代治愈了许多中国病人．某科研机构为了了解某种在研制的药品的指标数据y与百分比浓度p之间的关系，随机统计了某5次实验的相关数据，并制作了对照表如表：百分比浓度p610141822指标数据y62m442814由表中数据求得回归直线方程为＝﹣3p+82.2，则m＝．15.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N（0，），为使误差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，至少要测量次．（若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545）．16.定义max{a，b}＝且f（x）＝﹣2e，g（x）＝，令h（x）＝max{f（x），g（x）}，则h（x）的极大值为，单调递增区间为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求an及Sn；（2）是否存在常数λ，使得数列{Sn+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．18.已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足bn＝log2an．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2．19.为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作．某教育机构为了了解人们对其数学网课授课方式的满意度，从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：若评分不低于80分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对此教育机构授课方式“不认可”．（Ⅰ）请根据此样本完成下列2×2列联表，并据此列联表分析，能否有95%的把握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关？认可不认可合计A城市B城市合计（Ⅱ）以该样本中A，B城市的用户对此教育机构授课方式“认可”的频率分别作为A，B城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率．现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用X表示这4个用户中对此教育机构授课方式“认可”的用户个数，求x的分布列．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥K）0.100.050.025k2.7063.8415.02420.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，得到频率分布直方图如图．将日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．（1）根据频率分布直方图，完成下面的2×2列联表；锻炼达标锻炼不达标合计身体素质合格身体素质不合格50120合计300（2）根据列联表判断，是否有99.9%的把握认为学生“身体素质”与“锻炼时间”有关？参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82821.在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）元素构成集合Am．若Am的所有元素之和为偶数，则称Am为A的偶子集，其个数记为f（m）；若Am的所有元素之和为奇数，则称Am为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）＝f（m）﹣g（m）．（1）当n＝2时，求F（1），F（2）的值；（2）求F（m）．22.已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数．答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.等差数列{an}前n项和为Sn，a3+a4＝5，则S6＝（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】A【分析】由等差数列的性质易得a3+a4＝a1+a6＝5，而S6＝3（a1+a6），代入可得答案．【解答】解：由题意可得a3+a4＝a1+a6＝5，故S6＝3（a1+a6）＝15故选：A．【知识点】等差数列的性质2.（2x﹣）5的展开式中x3项的系数为（）A．80 B．﹣80 C．﹣40 D．48【答案】B【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式Tr+1＝＝（﹣1）r•25﹣rx5﹣2r，令5﹣2r＝3，解得r＝1．∴展开式中x3项的系数＝＝﹣80．故选：B．【知识点】二项式定理3.设f（x）存在导函数且满足＝﹣1，则曲线y＝f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】A【分析】根据极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义即可求出．【解答】解：y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）＝＝﹣1，故选：A．【知识点】变化的快慢与变化率、导数及其几何意义4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【答案】B【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5求得a＝1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，则a﹣2d＝a﹣2×＝．故选：B．【知识点】等差数列的通项公式5.设x＝﹣是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】求函数的导函数，利用极小值点求出a的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大值．【解答】解：函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x，定义域是：{x|x＞﹣2}f′（x）＝﹣2ax﹣3a2因为x＝﹣是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，则：f′（﹣）＝0，解得：9a2﹣3a﹣2＝0，即：a＝﹣，或a＝，讨论a；①当a＝﹣时，函数f′（x）＝+x﹣＝，在（﹣2，﹣1），f′（x）＞0在（﹣1，﹣）f′（x）＜0在（﹣，+∞）f′（x）＞0∴函数f（x）在x＝﹣取得极小值点，在x＝﹣1取得极大值点，∵函数定义域是：{x|x＞﹣2}∴f（x）的极大值为f（﹣1）＝②当a＝时，函数f′（x）＝﹣x﹣＝﹣，在（﹣2，﹣），f′（x）＞0在（﹣，+∞），f′（x）＜0∴x＝﹣不是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，与题设矛盾，a＝舍去．综合可得：x＝﹣是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点时，f（x）的极大值为：．故选：D．【知识点】利用导数研究函数的极值6.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）A．18种 B．20种 C．22种 D．24种【答案】B【分析】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都分到A医院，②甲分配到医院A，乙分配到医院B，③甲和一名医生一起分到A医院，乙在B医院，④甲单独分到A医院，乙和一名医生一起分到B医院，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都分到A医院，剩下3人全排列，分配到其三个医院，有A33＝6种分派方案；②甲分配到医院A，乙分配到医院B，剩下3人分成2组，安排到C、D医院，有C32A22＝6种分派方案；③甲和一名医生一起分到A医院，乙在B医院，剩下2人全排列，安排到C、D医院，有C21A22＝4种分派方案；④甲单独分到A医院，乙和一名医生一起分到B医院，剩下2人全排列，安排到C、D医院，有C21A22＝4种分派方案；则一共有6+6+4+4＝20种分配方案；故选：B．【知识点】排列、组合及简单计数问题7.2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，∴这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．故选：C．【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式8.某种商品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为，则表中的m的值为（）x24568y3040m5070A．45 B．50 C．55 D．60【答案】D【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，＝＝5，＝＝38+，∵y关于x的线性回归方程为，∴38+＝6.5×5+17.5∴38+＝50∴＝12，∴m＝60故选：D．【知识点】线性回归方程二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.对于二项式，以下判断正确的有（）A．存在n∈N*，展开式中有常数项B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项【答案】AD【分析】本题考查二项式定理，只要能写出二项展开式的通项，就可选出答案，属于简单题．【解答】解：该二项展开式的通项为，∴当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k﹣1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．故选：AD．【知识点】二项式定理10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．B．C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件【答案】BD【分析】本题是概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键．本题在A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P（B）＝P（B|•A1）+P（B•A2）+P（B•A3），可知事件B的概率是确定的．【解答】解：易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，．故选：BD．【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式11.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，且a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，下列结论正确的是（）A．S2020＜S2021B．a2020a2022﹣1＜0C．数列{Tn}无最大值D．T2020是数列{Tn}中的最大值【答案】ABD【分析】根据题意，分析可得a2020＞1，a2021＜1，从而有a1＞1，0＜q＜1，则等比数列{an}为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案即可得到正确选项．【解答】解：根据题意，根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2020a2021＞1，则（a1q2019）（a1q2020）＝（a1）2（q4039）＞1，又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，若（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，必有a2020＞1，0＜a2021＜1，则必有0＜q＜1，依次分析选项：对于A，数列{an}各项均为正值，则S2021﹣S2020＝a2021＞0，必有S2020＜S2021，A正确；对于B，若0＜a2021＜1，则a2020a2022﹣1＝（a2021）2﹣1＜0，B正确，对于C，根据a1＞a2＞…＞a2020＞1＞a2021＞…＞0，可知T2020是数列{Tn}中的最大项，C错误；对于D，易得D正确，故选：ABD．【知识点】等比数列的前n项和12.如果函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则以下关于函数y＝f（x）的判断正确的是（）A．在区间（2，4）内单调递减B．在区间（2，3）内单调递增C．x＝﹣3是极小值点D．x＝4是极大值点【答案】BD【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可．【解答】解：A．函数y＝f（x）在区间（2，4）内f′（x）＞0，则函数单调递增；故A不正确，B．函数y＝xf′（x）在区间（2，3）的导数为f′（x）＞0，∴y＝f（x）在区间（2，3）上单调递增，∴B正确；C．由图象知当x＝﹣3时，函数f′（x）取得极小值，但是函数y＝f（x）没有取得极小值，故C错误，D．x＝4时，f'（x）＝0，当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f′（x）为增函数，4＜x，此时f′（x）＜0此时函数y＝f（x）为减函数，则函数y＝f（x）内有极大值，x＝4是极大值点；故D正确，故选：BD．【知识点】利用导数研究函数的极值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某幼儿园的2名老师带着5名学生排队过马路，要求前后必须各有一名老师监护，则不同的排法共种．【答案】240【分析】根据题意，分2步进行分析：①将2名老师安排在两端，②将5名学生全排列，安排在2名老师中间，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①要求前后必须各有一名老师监护，需要将2名老师安排在两端，则2名老师的排法有2种，②将5名学生全排列，安排在2名老师中间，有A55＝120种排法，则有2×120＝240种排法，故答案为：240．【知识点】排列、组合及简单计数问题14.2019年10月22日，联合国教科文组织公布2019年度联合国教科文组织﹣赤道几内亚国际生命科学研究奖获奖名单，共3人获奖，其中包括来自中国的屠呦呦．中国中医科学院教授、2015年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发现的全新抗疟疾药物青蒿素在20世纪80年代治愈了许多中国病人．某科研机构为了了解某种在研制的药品的指标数据y与百分比浓度p之间的关系，随机统计了某5次实验的相关数据，并制作了对照表如表：百分比浓度p610141822指标数据y62m442814由表中数据求得回归直线方程为＝﹣3p+82.2，则m＝．【答案】53【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．【解答】解：由题意＝＝14，＝＝，所以样本中心为（14，），因为回归直线经过样本中心，所以＝﹣3×14+82.2，解得m＝53．故答案为：53．【知识点】线性回归方程15.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N（0，），为使误差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，至少要测量次．（若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545）．【答案】32【分析】根据正态曲线的对称性知，要使得误差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，问题转化为（μ﹣2σ，μ+2σ）⊂（﹣0.5，0.5）且μ＝σ，σ＝，可求．【解答】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，则（μ﹣2σ，μ+2σ）⊂（﹣0.5，0.5）且μ＝σ，σ＝，所以0.5，解得，n≥32，即n的最小值32．故答案为：32．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义16.定义max{a，b}＝且f（x）＝﹣2e，g（x）＝，令h（x）＝max{f（x），g（x）}，则h（x）的极大值为，单调递增区间为．【分析】对g（x）求导，分析g′（x）的正负，g（x）的单调性，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致图象如下：h（x）的单调递增区间为[，e]．【解答】解：因为g（x）＝（x＞0），所以g′（x）＝，令g′（x）＝0，则x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）极大值＝g（e）＝，由f（x）＝g（x），即x﹣2e＝，得x＝，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致图象如下：则h（x）极大值＝g（e）＝，且在（0，），（e，+∞）上单调递减，在[，e]上单调递增，则h（x）的单调递增区间为[，e]．故答案为：，[，e]．【知识点】利用导数研究函数的极值四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求an及Sn；（2）是否存在常数λ，使得数列{Sn+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可得，解得a1＝1，q＝3，根据通项公式和求和公式即可求出，（2）假设存在常数λ，使得数列{Sn+λ}是等比数列，分别令n＝1，2，3，根据等比数列的性质求出λ的值，再根据定义证明即可．【解答】解：（1）由题意可得，解得a1＝1，q＝3，∴an＝3n﹣1，Sn＝＝，（2）假设存在常数λ，使得数列{Sn+λ}是等比数列，∵S1+λ＝λ+1，S2+λ＝λ+4，S3+λ＝λ+13，∴（λ+4）2＝（λ+1）（λ+13），解得λ＝，此时Sn+λ＝×3n，则＝3，故存在常数，使得数列{Sn+}是等比数列．【知识点】等比数列的前n项和18.已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足bn＝log2an．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2．【分析】本题第（1）题先根据组合的知识可知Sn＝2n﹣1，然后根据公式an＝可计算出数列{an}的通项公式，最后将数列{an}的通项公式代入bn＝log2an进行计算可得数列{bn}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果可判断出数列{bn}是以0为首项，1为公差的等差数列，然后对n分奇数和偶数两种情况分别进行计算，利用平方差公式及等差数列的求和公式可计算出Tn的表达式．【解答】解：（1）由题意，＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝21﹣1＝1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，∵当n＝1时，a1＝1也满足an＝2n﹣1，∴an＝2n﹣1，n∈N*，∴bn＝log2an＝log22n﹣1＝n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，bn＝n﹣1＝0+1•（n﹣1），故数列{bn}是以0为首项，1为公差的等差数列，①当n为奇数时，n﹣1为偶数，Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+bn﹣22﹣bn﹣12+bn2＝（b1+b2）（b1﹣b2）+（b3+b4）（b3﹣b4）+…+（bn﹣2+bn﹣1）（bn﹣2﹣bn﹣1）+bn2＝﹣（b1+b2+b3+b4+…+bn﹣2+bn﹣1）+bn2＝﹣+（n﹣1）2＝；②当n为偶数时，n﹣1，n+1均为奇数，Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+bn﹣12﹣bn2＝（b1+b2）（b1﹣b2）+（b3+b4）（b3﹣b4）+…+（bn﹣1+bn）（bn﹣1﹣bn）＝﹣（b1+b2+b3+b4+…+bn﹣1+bn）＝﹣＝；综上所述，可知：Tn＝．【知识点】数列的求和、组合及组合数公式19.为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作．某教育机构为了了解人们对其数学网课授课方式的满意度，从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：若评分不低于80分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对此教育机构授课方式“不认可”．（Ⅰ）请根据此样本完成下列2×2列联表，并据此列联表分析，能否有95%的把握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关？认可不认可合计A城市B城市合计（Ⅱ）以该样本中A，B城市的用户对此教育机构授课方式“认可”的频率分别作为A，B城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率．现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用X表示这4个用户中对此教育机构授课方式“认可”的用户个数，求x的分布列．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥K）0.100.050.025k2.7063.8415.024【答案】【第1空】5【第2空】15【第3空】20【第4空】10【第5空】10【第6空】20【第7空】15【第8空】25【第9空】40【分析】（Ⅰ）根据茎叶图可完成列联表，再根据公式求出K2，再与3.841比较大小即可求出结论；（Ⅱ）由题意可得，X的取值可能为0，1，2，3，4，再根据相互独立事件与互斥事件的概率公式即可求出分布列．【解答】解：（Ⅰ）有茎叶图可得列联表如下：认可不认可合计A城市51520B城市101020合计152540∴，∴没有95%的把握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关；（Ⅱ）由题意知，A城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率为，B城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率为，X的可能结果为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝，∴X的分布列为X01234P【知识点】独立性检验、离散型随机变量及其分布列20.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，得到频率分布直方图如图．将日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．（1）根据频率分布直方图，完成下面的2×2列联表；锻炼达标锻炼不达标合计身体素质合格身体素质不合格50120合计300（2）根据列联表判断，是否有99.9%的把握认为学生“身体素质”与“锻炼时间”有关？参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；（2）计算K的观测值K2，并与附录中的数据进行对比即可作出判断．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，“锻炼达标”的人数为300×（0.03+0.04）×10＝210．补充完整的2×2列联表如下：锻炼达标锻炼不达标合计身体素质合格14040180身体素质不合格7050120合计21090300（2）K2＝＝≈12.963＞10.828，故有99.9%的把握认为学生“身体素质”与“锻炼时间”有关．【知识点】独立性检验21.在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）元素构成集合Am．若Am的所有元素之和为偶数，则称Am为A的偶子集，其个数记为f（m）；若Am的所有元素之和为奇数，则称Am为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）＝f（m）﹣g（m）．（1）当n＝2时，求F（1），F（2）的值；（2）求F（m）．【分析】（1）当n＝2时，根据定义即可求F（1），F（2）（2）分别讨论当m是奇数和偶数时，f（m）和g（m）的值，利用二项式定理进行求解即可．【解答】解：（1）当n＝2时，集合为{1，2，3，4}．当m＝1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f（1）＝2，g（1）＝2，F（1）＝0；当m＝2时，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，f（2）＝2，g（2）＝4，F（2）＝﹣2；（2）当m为奇数时，偶子集的个数f（m）＝∁n0∁nm+∁n2∁nm﹣2+∁n4∁nm﹣4+…+∁nm﹣1∁n1，奇子集的个数g（m）＝∁n1∁nm﹣1+∁n3∁nm﹣3+…+∁nm∁n0，所以f（m）＝g（m），F（m）＝f（m）﹣g（m）＝0．当m为偶数时，偶子集的个数∁n0∁nm+∁n2∁nm﹣2+∁n4∁nm﹣4+…+∁nm∁n0，奇子集的个数g（m）＝∁n1∁nm﹣1+∁n3∁nm﹣3+…+∁nm﹣1∁n1，所以F（m）＝f（m）﹣g（m）＝∁n0∁nm﹣∁n1∁nm﹣1+∁n2∁nm﹣2﹣∁n3∁nm﹣3+…﹣∁nm﹣1∁n1+∁nm∁n0，一方面，（1+x）m（1﹣x）m＝（∁m0+∁m1x+∁m2x2+…+∁mmxm）（（∁m0﹣∁m1x+∁m2x2+…+（﹣1）m∁mmxm），所以（1+x）m（1﹣x）m中xm的系数为∁m0∁mm﹣∁m1∁mm﹣1+∁m2∁mm﹣2﹣∁m3∁mm﹣3+…﹣∁mm﹣1∁m1+∁mm∁m0，另一方面，（1+x）m（1﹣x）m＝（1+x）m（1﹣x2）m中，（1﹣x2）m中xm的系数为（﹣1），故F（m）＝（﹣1），综上，F（m）＝．【知识点】二项式定理22.已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数．【分析】（1）把a＝﹣1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；（2）先对函数求导，然后结合导可判断函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理即可求解．【解答】解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x2+2x﹣1，，令h（x）＝，则＝，易得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故h（x）≤h（1）＝0即f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（2）由f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1可得f（1）＝0，即x＝1为函数f（x）的一个零点，设g（x）＝lnx+ax+1，则f（x）的零点个数即为g（x）的不为1的零点个数加上1，（i）当a＝﹣1时，由（1）知f（x）单调递减，且x＝1是f（x）的零点，故f（x）有且只有1个零点1；（ii）当a≥0时，g（x）单调递增且g（1）＞0，g（x）＝lnx+ax+1＜＝，0＜x＜1，因为ax2+（a+3）x﹣1＜（a+4）x2+（a+3）x﹣1＝[（a+4）x﹣1]（x+1），所以g（）＜0，综上可知，g（x）在（0，+∞）上有1个零点且g（1）＝9，所以f（x）有2个零点（iii）又，所以当﹣1＜a＜0时，g（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣）上单调递减，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＞0，又g（x）＜＝0，且g（）＜0，g（）＝＜0，所以g（x）在（0，﹣）上有1个零点，在（﹣）上有1个零点且x＝0也是零点，此时f（x）共有3个零点，（iv）又，所以当a＜﹣1时，g（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣）上单调递减，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＜0，故g（x）没有零点，此时f（x）只有1个零点，综上可得，当a≤﹣1时，f（x）有1个零点；当﹣1＜a＜0时，f（x）有3个零点，当a≥0时，f（x）有2个零点．【知识点】利用导数研究函数的单调性高二下学期期末考试数学试卷（三）注意事项：1．本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3，S9＝54，则a1+a10＝（）A．7 B．8 C．9 D．102.设复数是虚数单位），则＝（）A．1+i B．﹣i C．i D．03.在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则＝（）A． B．﹣ C． D．﹣4.随机变量X～B（4，），则D（3X+1）等于（）A． B． C．6 D．85.已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且＝0.6x+，则＝（）x12345y5.56778A．4.2 B．4.6 C．4.7 D．4.96.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（，2） B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣∞，）∪（，2） D．（﹣∞，）（1，2）7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1+2a2＝0，，且a≤Sn≤a+2，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B． C． D．[0，1]8.已知函数f（x）＝x2++a（x＜0），g（x）＝lnx（x＞0），其中a∈R．若f（x）的图象在点A（x1，f（x1））处的切线与g（x）的图象在点B（x2，f（x2））处的切线重合，则a的取值范围是（）A．（﹣1+ln2，+∞） B．（﹣1﹣ln2，+∞）C． D．（ln2﹣ln3，+∞）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S20＝010.现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（）A．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种11.设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结果正确的有（）A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.212.已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列选项正确的是（）A．B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C．x2f（x1）＜x1f（x2）D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝﹣．14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．15.已知（x﹣）（1﹣x）4的展开式中x2的系数为4，则a＝，（x﹣）（1﹣x）4的展开式中的常数项为．16.已知函数，当x∈[0，1]时，函数f（x）仅在x＝1处取得最大值，则a的取值范围是．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.在（n≥3，n∈N*）的展开式中，