2020高中数学 第一章 空间几何体单元质量测评（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精第一章单元质量测评对应学生用书P21本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．下列命题中正确的是(）A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组对面平行的六面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥答案B解析由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外,故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台,也可能是四棱柱，故C不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确．所以选B．2．如果把圆锥的母线长扩大到原来的n倍，底面半径缩小为原来的eq\f(1，n），那么它的侧面积变为原来的（）A．1倍B．n倍C．n2倍D．eq\f（1,n）答案A解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则侧面积S＝πrl，变化后其底面半径为eq\f(1,n）r,母线长为nl，故变化后的侧面积S′＝π·eq\f（1，n)r·nl＝πrl，所以S′＝S．3．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是(）A．a，bB．a，cC．c,bD．b,d答案A解析正视图和侧视图完全相同时,牟合方盖相对的两个曲面正对前方,正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形,且有两条实线的对角线．故选A．4．若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(）A．6eq\r（3)cmB．6cmC．2eq\r（3，18）cmD．3eq\r(3，12)cm答案B解析水的体积V＝π×22×6＝24π（cm3)．设圆锥中水的底面半径为r，则水的高度为eq\r(3）r，∴eq\f（1，3）πr2·eq\r（3)r＝24π，∴r3＝24eq\r（3）．∴(eq\r(3)r)3＝216,∴eq\r(3)r＝6,即圆锥中水面的高度为6cm．5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为()A．eq\f（4π，3)B．3πC．eq\f（\r(3）π,2）D．π答案C解析由三视图知,如图,此四面体的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，设外接球的半径为R,则2R＝eq\r（3)，R＝eq\f（\r(3),2)．所以球的体积为V＝eq\f（4,3)π×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3）,2)））3＝eq\f（\r（3）π,2）．6．如图所示是古希腊数学家阿基米德墓碑上刻着的一个圆柱,圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为(）A．eq\f（3,2)，1B．eq\f(2，3)，1C．eq\f（3，2），eq\f(3，2）D．eq\f(2,3)，eq\f（3,2）答案C解析设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R．∵V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f（4,3）πR3，∴eq\f(V圆柱,V球)＝eq\f（2πR3,\f（4,3)πR3)＝eq\f（3，2）．∵S圆柱表面积＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球表面积＝4πR2，∴eq\f(S圆柱表面积,S球表面积）＝eq\f（6πR2，4πR2)＝eq\f(3，2)．7．一个棱台上、下底面的面积分别为16，81,有一平行于底面的截面，其面积为36，则截得的两棱台的高之比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶3D．3∶4答案C解析设截得的上面的棱台的高为h1，下面的棱台的高为h2,以棱台上底面为底面将棱台补为棱锥，设最上面的小棱锥的高为h，根据棱锥的性质可得16∶36∶81＝h2∶(h＋h1）2∶(h＋h1＋h2）2，解得h1∶h2＝2∶3．8．如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6,AD＝4,AA1＝3,分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝V三棱柱AEA1－DFD1，V2＝V四棱柱EBE1A1－FCF1D1，V3＝V三棱柱B1E1B－C1F1C．若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为（）A．2eq\r(13）B．4eq\r(13）C．6eq\r(13）D．8eq\r(13）答案B解析由题意可知，V长方体＝6×4×3＝72，V1＝eq\f（1，6)V＝eq\f（1，6)×72＝12．其中体积为V1的几何体是三棱柱AEA1－DFD1，其高为AD＝4，∴其底面积S△AEA1＝3．在Rt△AEA1中,∵AA1＝3,∴AE＝2．∴A1E＝eq\r（32＋22）＝eq\r(13)．又∵截面A1EFD1为矩形，∴其面积S＝4eq\r(13）．9．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)A．eq\f（14，3）B．eq\f（17,3）C．eq\f（20，3）D．8答案B解析由三视图，知该几何体的直观图是如图所示的多面体B1C1D1－BCDFE,该多面体可补全为棱长为2的正方体，其中E，F分别为AB，AD的中点,多面体AEF－A1B1D1为棱台，棱台高为2，上、下底面均为等腰直角三角形．则该几何体的体积是2×2×2－eq\f（1,3）×2×eq\f(1,2）＋2＋eq\r（2×\f（1,2)）＝8－eq\f(7，3）＝eq\f(17，3），故选B．10．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为（）A．1B．2C．eq\r(2)D．2eq\r(2）答案D解析∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1,∴A′C′＝eq\r(2)．根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半,∴△ABC的BC边上的高为AC＝2A′C′＝2eq\r（2)．故选D．11．设长方体的三条棱长分别为a，b，c,若长方体的所有棱的长度之和为24，一条体对角线长为5，体积为2，则eq\f(1，a)＋eq\f（1,b)＋eq\f（1，c)等于（）A．eq\f（11，4）B．eq\f(4，11）C．eq\f(11,2）D．eq\f(2,11)答案A解析由题意可知a＋b＋c＝6，①a2＋b2＋c2＝25，②abc＝2．由①两边平方,得a2＋b2＋c2＋2(ab＋ac＋bc)＝36，把②代入此式,得ab＋ac＋bc＝eq\f(11，2)．∴eq\f(1，a）＋eq\f（1，b）＋eq\f（1，c)＝eq\f(bc＋ac＋ab，abc)＝eq\f(\f(11，2）,2)＝eq\f（11，4)．12．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,且AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为（）A．2B．1C．eq\r（2)D．eq\f（\r(2),2）答案C解析连接BC1,B1C，设交于点O，则O为侧面BCC1B1的中心,由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC的外接圆的圆心N位于BC的中点．同理，△A1B1C1的外接圆的圆心M位于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f（x，2)，MC1＝eq\f(x，2），OC1＝R＝1（R为球的半径)，所以eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x,2)）)2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x,2)））2＝1．解得x＝eq\r(2），所以B1B＝BC＝eq\r(2)．同理,在Rt△ABC中，解得AB＝AC＝1，所以侧面ABB1A1的面积为eq\r(2）×1＝eq\r（2）．故选C．第Ⅱ卷（非选择题,共90分)二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱底面的半径为________．答案eq\f(3，2)或eq\f(1,2)解析设圆柱底面的半径为R，当以宽为母线，长为底面圆周长时，则2πR＝3π,R＝eq\f（3，2）；当以长为母线，宽为底面圆周长时，则2πR＝π，R＝eq\f（1，2）．14．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12．6(立方寸），则图中的x为________．答案1．6解析由图可得π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）））2×x＋3×1×（5．4－x）＝12．6，解得x＝1．6．15．若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形,下底边长为2a，对角线长为eq\r（3）a，则这个圆台的体积为________．答案eq\f(7\r（3),24)πa3解析圆台的轴截面如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq\r（3）a，可知∠ADB＝90°，∠DAB＝60°．分别过点D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH＝eq\f（\r(3），2）a，所以HB＝eq\r（BD2－DH2)＝eq\r(3a2－\f（3，4）a2）＝eq\f（3,2)a，所以DC＝HG＝a，所以圆台的体积为V＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2）)·eq\f（\r(3）,2）a＝eq\f（7\r(3)，24)πa3．16．把由折线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°,所得旋转体的体积为________．答案eq\f（32π,3)解析由题意,y＝｜x｜和y＝2围成图中阴影部分的图形,旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×eq\f(π,3)×22×2＝eq\f(16π,3)，∴所求几何体的体积为16π－eq\f(16π，3)＝eq\f（32π,3)．三、解答题(本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分10分)把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．解设圆柱的底面半径为r，母线长为l,高为h．当2πr＝4，l＝2时，r＝eq\f(2,π)，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝eq\f(8,π）．当2πr＝2，l＝4时，r＝eq\f(1，π），h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝eq\f（4,π）．综上所述,这个圆柱的体积为eq\f(8,π)或eq\f(4,π）．18．(本小题满分12分）如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖），它的母线长为50cm,两底面直径分别为40cm和30cm．现有制作这种纸篓的塑料制品50m2，问最多可以做这种纸篓多少个?解根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15cm,上口的半径r＝20cm,设母线长为l,则纸篓的表面积S＝πr′2＋eq\f（2πr′＋2πrl，2)＝π(r′2＋r′l＋rl)＝π（152＋15×50＋20×50）＝1975π(cm2)．因为50m2＝500000cm2,故最多可以制作这种纸篓的个数n＝eq\f(500000,S)≈80．19．(本小题满分12分）如图所示,在正三棱柱（底面为正三角形,侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，AB＝3,AA1＝4,M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为eq\r(29）．设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2）PC和NC的长．解(1）该三棱柱的侧面展开图是宽为4,长为9的矩形，所以对角线的长为eq\r（42＋92)＝eq\r(97)．(2）将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开,如图所示．设PC的长为x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2．因为MP＝eq\r（29)，MA＝2,AC＝3，所以x＝2（负值舍去)，即PC的长为2．又因为NC∥AM，所以eq\f（PC,PA)＝eq\f（NC,AM），即eq\f（2，5）＝eq\f(NC,2)，所以NC＝eq\f（4,5）．20．（本小题满分12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm，如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解(1）由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2），即该几何体的表面积是64cm2．(2）由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线长为d,球的半径为r，则d＝eq\r(16＋16＋4）＝eq\r（36)＝6(cm），所以球的半径为r＝3（cm）．因此，球的体积V＝eq\f(4，3)πr3＝eq\f（4,3)×27π＝36π(cm3)，即外接球的体积是36πcm3．21．（本小题满分12分）如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．解连接EF，B1D1．设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2．∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，∴h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2）a．又S△C1EF＝eq\f（1，2）C1F·EF＝eq\f（1,2)×eq\f（a,2)×eq\r（2)a＝eq\f(