全国中考数学旋转的综合中考真题汇总附答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点0,B,C的对应点分别为D,E,F.如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.求证△ADB^△AOB；求点H的坐标.记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结30-3辰<s<30+3何4<<4■【解析】【分析】如图①，在RtAACD中求出CD即可解决问题；①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAAHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△DZEZK的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】如图①中，图①TA(5,0),B(0,3),

0A=5,OB=3,T四边形AOBC是矩形，AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=AC=90°,T矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，.AD=AO=5,在Rt^ADC中,CD=QAD2-AC2=4,.BD=BC-CD=1，.D(1,3)．(2)(2)①如图②中,由四边形ADEF是矩形，得到ZADE=90°,T由四边形ADEF是矩形，得到ZADE=90°,T点D在线段BE上,.ZADB=90°,由(1)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,RtHADB^RtHAOB(HL).②如图②中，由△ADB^△AOB，得至l」ZBAD=ZBAO,又在矩形AOBC中，OAIIBC,.ZCBA=ZOAB,.ZBAD=ZCBA,.BH=AH,设AH=BH=m，贝HC=BC-BH=5-m,在Rt^AHC中，TAH2=HC2+AC2,.m2=32+(5-m)2,17.m=一,BH=1717.H(—,3).(3)如图③中，当点D在线段BK上时3?、_30-3^345-)=一24△DEK的面积最小,11最小值=—・DE・DK=—x3xS图③E11S图③E当点D在BA的延长线上时，△DEK的面积最大，最大面积二2xDExKD=-x3x（5+亘）=沁34.24综上所述，30仝4公30+婕4.44【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2・请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题:（1）探究（1）探究1：如图1,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90，BC=a，将边AB绕点B。1顺时针旋转90得到线段BD，连接CD・求证：BCD的面积为-a-.（提示：过点D作BC边上的高DE，可证ABC匕BDE）（2）探究2：如图2,在一般的RtABC中，ZACB=90，BC=a，将边ab绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD.请用含a的式子表示。BCD的面积，并说明理由.（3）探究3：。如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD•试探究用含a的式子表示^BCD的面积，要有探究过程.。△

【答案】(1)详见解析；(2)BCD的面积为2a2，理由详见解析；(3)BCD的面1积为丁a2-4△△【解析】【分析】如图1,过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出ABC、BDE，就有DE=BC=a.进而由三角形的面积公式得出结论；如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC、aBDE，就有DE=BC=a.进而由三角形的面积公式得出结论；如图3,过点A作AF丄BC与f,过点D作DE丄BC的延长线于点E,由等腰三角形的性质可以得出BF=2bC，由条件可以得出AFB、BED就可以得出BF二DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】(1)如图1,过点D作DE丄CB交CB的延长线于E,/.ZBED=ZACB=90,由旋转知，AB=AD,ZABD=90,/ZABC+ZDBE=90,。ZA+ZABC=90,o/.ZA=ZDBE,o在ABC和BDE中，”ZACB二ZBED<ZA=ZDBE,△A、AB二BD/ABC、BDE(AAS)/.BC=DE=a,屈=iBC.DE,BCD21/S——a2；•BCD2（2）BCD的面积为2a2,理由：如图2理由：如图2,过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E,/.ZBED=ZACB=90,线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE,/AB二BD，ZABD=90，o/.ZABC+ZDBE=90，oZA+ZABC=90，o:,ZA=ZDBE，o在ABC和BDE中，ZACB二ZBED<ZA=ZDBE，△AAB二BD:ABC也BDE（AAS）,.:BC=DE=a，鸟=1BC-DE,BCD2::S::S=_a2BCD（3）如图BCD（3）如图3，过点A作AF丄BC与F，过点D作DE丄BC的延长线于点E,乙AFB=ZE=90，BF=2BC=扫:.ZFAB+ZABF=90，ZABD=90，。:.ZABF+ZDBE=90,ZFAB二ZEBD,线段BD是由线段AB旋转得到的，/.AB=BD,在AFB和BED中，'ZAFB=ZE<ZFAB二ZEBD,AA、AB=BD...AFB竺BED（AAS）,BF=DE=1a,2△△c1“2111S=—BC-DEa-a=a2,bcd2224.BCD的面积为才*2.【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.3.如图I,在AABC中，ZACB=90°,点P为AABC内一点.⑴连接PB,PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到4DAE,点B,C,P的对应点分别为点D、A、E,连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP丄CE,BP=3,AB=6,求CE的长(2)如图3,以点A为旋转中心，将AABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接PA、PB、PC,当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.【答案】(1)①补图见解析；②、'-；；(2)【解析】①连接PB、PC,将厶BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E,连接CE,据此画图即可；②连接BD、CD,构造矩形ACBD和RtACDE,根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接BN,根据△PAM、

△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CDT△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，BCIIAD且BC=AD，TZACB=90°,.四边形BCAD是矩形，.CD=AB=6，TBP=3，.DE=BP=3，TBP丄CE，BPIDE，DE丄CE，.在RtADCE中•卜\'''：J\"："A?；（2）证明：如图所示，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小由旋转可得，△AMN竺△APB，.PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形，.PA=PM.PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，

BN=AB=6,ZBNA=60°,ZPAM=60°ZCAN=ZCAB+ZBAN=60°+60°=120°,.ZCBN=90°在RtAABC中，易得仇在RtABCN中，-\''''■/'二“点睛”本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0,4),点B(-2,0)，把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB9,，点B、O旋转后的对应点为BlO'.如图①，若旋转角为60°时，求BB'的长；如图②，若AB'llx轴，求点O'的坐标；得最小值时，求点P'的坐标(直接写出结果即可)OB圏①B0B0S0(2)点O'的坐标为(855,455+4)(3得最小值时，求点P'的坐标(直接写出结果即可)OB圏①B0B0S0(2)点O'的坐标为(855,455+4)(3)点P'的坐标为(-【答案】(1)2J5；【解析】分析：(1)由点久B的坐标可得出AB的长度，连接BB',由旋转可知：AB=AB',ZBAB=60°,进而可得出△ABB'为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出BB'的长；过点0'作OP丄x轴，垂足为D,交AB'于点丘，则厶AO'E-△ABO,根据旋转的性质结合相似三角形的性质可求出AE、0'E的长，进而可得出点0，的坐标；作点A关于x轴对称的点A，连接AAO交x轴于点P,此时OP+AP'取最小值，过点0，作0乍丄y轴，垂足为点F,过点P作PM丄OF垂足为点M,根据旋转的性质结合解直角三角形可求出点0,的坐标，由A、A'关于x轴对称可得出点A的坐标，利用待定系数法即可求出直线AO'的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，进而可得出OP的长度，再在RtAO'PM中，通过解直角三角形可求出OM、PM的长，进而可得出此时点P的坐标.

详解：(1)点A(0,4),点B(-2,0),•••OA=4,OB=2,二ab~\OA2+OB2=2^5•在图①中，连接BB'.由旋转可知：AB=AB',ZBAB'=60°,•△ABB'为等边三角形，•BB'=AB=2、第.在图②中，过点O'作OP丄x轴，垂足为D,交AB'于点E.TAB'llx轴，OE丄x轴，•ZOEA=90°=ZAOB.AEO'EAO'由旋转可知：ZB'AO'=ZBAO,AO'=AO=4,•△AO'E-△ABO,==，即AOBOABAEO'E_4_AEO'E_4_T=T=营•OD=痘+4,5•点O的坐标为+4).作点A关于x轴对称的点A，连接A'O'交x轴于点P,此时OP+AP'取最小值，过点O'作O'FYy轴，垂足为点F,过点P作PM丄OF垂足为点M,如图3所示.由旋转可知：AO'=AO=4,ZOAF=240°-180°=60°,•AF=2AO'=2,OF=AO'=2*3,22•点OO(-2J3,6).•••点A(0,4),•••点A(0,-4).设直线AO'的解析式为y=kx+b，将A(0,-4)、O'(-2,6)代入y=kx+b，得:b=—4-2岳+b二6b=—4-2岳+b二6,解得：＜,•直线A'OO的解析式为y=-x-4.573当y=0时，有-x-4=0,解得:•OP=O'P'=4、''35.x=-竿，•点P(-竿,0),在RtAO'P'M中，ZMOP=60°,ZO'MP'=90°,•OM=2O'P'=,PM="3O'P1=5,•点P的坐标为(-2^3+兰3,6+5)，即(-空3,逆).

255555PM=图①圉②点睛：本题考查了函数图象及旋转变换、待定系数法求一次函数解析式、等边三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用等边三角形的性质找出BB'的长；（2）通过解直角三角形求出AE.O'E的长；（3）利用两点之间线段最短找出当OP+AP'取得最小值时点P的位置.如图1,是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD]E]叠放在一起.AP、0图3（1）操作：固定△ABC，将△CD]E]绕点C顺时针旋转得到厶CDE,连接AD、BE,如图2.探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定△ABC，若将△CD£绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD、BE,CE的延长线交AB于点F,在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的△CDE设为△PQR,如图3.探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3,在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长.£【答案】（1）BE=CD.理由见解析；（2）△CHQ是等腰三角形；（3）2、；x.【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,然后求出/ACD=ZBCE,再利用"边角边”证明厶ACD和厶BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）求出ZACF=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出ZCHQ=30°,从而得到ZACF=ZCHQ,判断出△CHQ是等腰三角形；（3）求出ZCGP=90°,然后利用ZACF的余弦表示出CG,再根据等腰三角形的性质表示出CH,然后根据GH=CG-CH整理即可得解.

试题解析：（1）BE=CD.理由如下:•:△ABC与厶CDE是等边三角形,AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°.ZACB-ZACE=ZECD-ZACE,即ZBCE=ZACD.在厶ACD和厶BCE中，AB=RC*^ACD=a.BCECD=CEL△ACD竺△BCE（SAS），.BE=AD；（2）T旋转角为30°，.ZBCF=30°，.ZACF=60°-30°=30°，.ZCHQ=ZRQP-ZACF=60°-30°=30°.ZACF=ZCHQ，.△CHQ是等腰三角形；（3）ZCGP=180°-ZACF-ZRPQ=180°-30°-60°=90°,.CG=CP・cos30°=」（x+4）,T△CHQ是等腰三角形，..CH=2・CQcos30°=2x•‘'x,2x.GH=CG-CH=」（x+4）-_：x=2i：-二x.在厶ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为二且oy妙，连接ad、bd.如图1,当ZBAC=100°,花二合旷时，ZCBD的大小为；如图2,当ZBAC=100°,：1时，求ZCBD的大小；已知ZBAC的大小为m(山|…川)，若zCBD的大小与(2)中的结果相同，请直接写出•'的大小.【答案】(1)30°；(2)30°；(3)a=120°-m°,a=60。或a=240-m°.【解析】试题分析：(1)由/BAC=100°,AB=AC,可以确定/ABC=ZACB=40°，旋转角为a,a=60°时厶ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道ZBAD的度数，进而求得/CBD的大小.由上BAC=100°，AB=AC，可以确定/ABC=ZACB=40°，连结DF、BF.AF=FC=AC,ZFAC=ZAFC=60°,ZACD=20°,由/DCB=20°案.依次证明△DCB^△FCB,△DAB竺△DAF.利用角度相等可以得到答案.结合(1)(2)的解题过程可以发现规律，求得答案.试题解析：(1)30°；(2)30°；(2)如图作等边△AFC，连结DF、BF.AF=FC=AC,ZFAC=ZAFC=60°.TZBAC=100°,AB=AC,.ZABC=ZBCA=40°.TZACD=20°,ZDCB=20°..ZDCB=ZFCB=20°.①TAC=CD,AC=FC,.DC=FC.②TBC=BC,③.由①②③，得△DCB竺△FCB,.DB=BF,ZDBC=ZFBC.TZBAC=100°,ZFAC=60°,.ZBAF=40°.TZACD=20°,AC=CD,.ZCAD=80°..ZDAF=20°..ZBAD=ZFAD=20°.④TAB=AC,AC=AF,.AB=AF.⑤TAD=AD,⑥.由④⑤⑥，得△DAB^△DAF.FD=BD..FD=BD=FB..ZDBF=60°..ZCBD=30°.(3)a=120°-m°,a=60。或a=240-m°.考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等边三角形的判定和性质7.在厶ABC中,AB=6,AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为a(0°VaV180°)，点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD，BE.如图，当a=60°时，延长BE交AD于点F.求证：△ABD是等边三角形；求证：BF丄AD,AF=DF；请直接写出BE的长；在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当/DAG=ZACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值.【答案】⑴①②详见解析；③3JJ-4；(2)13.【解析】试题分析：(1)①由旋转性质知AB=AD,ZBAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；(2)由ZACB+ZBAC+ZABC=180°、ZDAG+ZDAE+ZBAE=180°、ZDAG=ZACB、ZDAE=ZBAC得ZBAE=ZBAC且AE=AC,根据三线合一可得CE丄AB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案.试题解析：(1)①T△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,AB=AD,ZBAD=60°,•••△ABD是等边三角形；由①得厶ABD是等边三角形，.AB=BD,•••△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,.AC=AE,BC=DE,又：AC=BC,.EA=ED,.点B、E在AD的中垂线上,.BE是AD的中垂线,T点F在BE的延长线上，BF丄AD,AF=DF；由②知BF丄AD,AF=DF,.AF=DF=3,AE=AC=5,EF=4,•在等边二角形ABD中,BF=AB・sinZBAF=6x=3#,2BE=BF-EF=3£-4；2)如图所示,•ZDAG=ZACB,ZDAE=ZBAC,ZACB+ZBAC+ZABC=ZDAG+ZDAE+ZABC=180°,又:ZDAG+ZDAE+ZBAE=180°,.ZBAE=ZABC,AC=BC=AE,.ZBAC=ZABC,.ZBAE=ZBAC,口1AB丄CE,且CH=HE=CE,2AC=BC,.AH=BH=；AB=3,则CE=2CH=8,BE=5,.BE+CE=13．考点：三角形综合题.&已知0为直线MN上一点，OP丄MN,在等腰RtAABO中，ZBAO=90°,ACIIOP交OM于C,D为OB的中点，DE±DC交MN于E.(1)如图1,若点B在OP上，则①AC_OE(填"V”，"=”或“〉”)；②线段CA、CO、CD满足的等量关系式;⑵将图1中的等腰RtAABO绕O点顺时针旋转d(0°<«<45。)，如图2,那么(1)中的结论②是否成立？请说明理由；⑶将图1中的等腰RtAABO绕O点顺时针旋转a(),请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系；【答案】(1)①二；②AC2+CO2=CD2；(2)(1)中的结论②不成立，理由见解析；(3)画图见解析;0C-CA=p'2cd.【解析】试题分析：(1)①如图1,证明AC=OC和OC=OE可得结论；②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；(2)如图2，(1)中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、0、C四点共圆，得/ACD=ZAOB，同理得：乙EFO=ZEDO,再证明△ACO^△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；(3)如图3,连接AD，则AD=0D证明△ACD^△OED，根据厶CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论(0C-0E)2=(0C-AC)2=2CD2，开方后是：oc-ac=J5cd.试题解析：(1)①AC