《概率论与数理统计》考试复习题库（汇总版）

PAGEPAGE186《概率论与数理统计》考试复习题库（汇总版）一、单选题1.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0;1,4;-1/2),下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是()[数三2020研]A、B、C、D、答案：C解析：由二维正态的性质知X+Y~N(μ,σ2),因

μ=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0

2.假设随机变量X的分布函数为F(x),概率密度函数f(x)=af1(x)+bf2(x),其中f1(x)是正态分布N(0,σ2)的密度函数,f2(x)是参数为λ的指数分布的密度函数,已知F(0)=1/8,则()。A、a=1,b=0B、a=3/4,b=1/4C、a=1/2,b=1/2D、a=1/4,b=3/4答案：D解析：由

3.假设连续函数F(X)是分布函数且F(0)=0,则也可以作为新分布函数的是()。A、B、C、D、答案：C解析：应用分布函数充要条件判断,由Gi(X)的形式是分段函数,X=1是分界点,于是立即想到要判断是否成立,易得

4.假设二维随机变量(X1,X2)的协方差矩阵为,其中=cov(Xi,Xj)(i,j=1,2),如果X1与X2的相关系数为ρ,那么行列式|∑|=0的充分必要条件是()。A、ρ=0B、|ρ|=1/3C、|ρ|=1/2D、|ρ|=1答案：D解析：|∑|=0⇔σ11σ22=σ12σ21⇔DX1DX2=cov2(X1,X2)⇔ρ2=cov2(X1,X2)/(DX1•DX2)=1⇔|ρ|=1。

5.设随机变量X1,…,Xn,…相互独立,记Yn=X2n-X2n-1(n≥1),概括大数定律,当n→∞时,依概率收敛到零,只要{Xn,n≥1}满足()。A、数学期望存在B、有相同的数学期望与方差C、服从同一离散型分布D、服从同一连续型分布答案：B解析：ACD三项,由于Xn相互独立,所以Yn相互独立,A项“缺少同分布”条件,CD两项“缺少数学期望存在”的条件,因此都不满足辛钦大数定律。

B项,若EXn=μ,DXn=σ2存在,则

6.设随机变量X的密度函数为,则概率P{λ<X<λ+a}(a>0)的值()。A、与a无关随λ的增大而增大B、与a无关随λ的增大而减小C、与λ无关随a的增大而增大D、与λ无关随a的增大而减小答案：C解析：概率P{λ<X<λ+a}(a>0),显然与a有关,且固定λ,随a的增大而增大。事实上,由于

7.设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,σ2)(σ>0)的简单随机样本,令

A、B、C、D、答案：B解析：因为

8.设θ(∧)为未知参数θ的一个估计,且Eθ(∧)=θ,Dθ(∧)>0,则()。A、B、C、D、与θ2的大小与θ(∧)有关答案：A解析：

9.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,X在[θ-1,θ+1]上均匀分布,则未知参数θ的最大似然估计量θ(∧)为()。A、B、C、D、答案：D解析：由已知得X的密度函数为

10.设二维随机变量(X,Y)与(U,V)有相同的边缘分布,则()。A、(X,Y)与(U,V)有相同的联合分布B、(X,Y)与(U,V)不一定有相同的联合分布C、(X+Y)与(U+V)有相同的分布D、(X-Y)与(U-V)有相同的分布答案：B解析：由于联合分布决定边缘分布,但边缘分布不能决定联合分布,因此A项不成立,由A项不成立,可以推知C、D两项必不成立,故选B项。

11.设随机变量x的密度函数为f(x),设其数学期望E(x)=a,则()成立。A、B、C、D、答案：B解析：当成立时,令x+a=t,则

12.假设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布,则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是()。A、X+YB、X-YC、max(X,Y)D、min(X,Y)答案：D解析：显然我们不能通过计算每个选项中的随机变量的分布来确定正确选项,只能利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断,由于

13.设随机变量X的分布函数为F(x),则可以作为分布函数的是()。A、F(ax)B、F(x2+1)C、F(x3-1)D、F(|x|)答案：C解析：函数F(x)成为分布函数的充要条件为:

①F(x)单调不减;②,;③F(x)右连续。

A项,当a<0时,F(ax)不满足条件①,②,③,故F(ax)不是分布函数。

B项,F(x2+1)不满足条件,不是分布函数。

C项,F(x3-1)条件①,②,③均成立,是分布函数。

D项,F(|x|)不满足条件,不是分布函数。

14.商店出售10台洗衣机,其中恰有3台次品,现已出售出一台洗衣机,在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品,则原先售出的一台是次品的概率为()。A、3/10B、3/8C、1/3D、2/3答案：B解析：设A表示“第一次取出是次品”,B表示“在余下的洗衣机中任取两台为正品”,则由全概率公式,有

15.设总体X与Y都服从正态分布N(0,σ2),已知X1,…,Xm与Y1,…,Yn是分别来自总体X与Y两个相互独立的简单随机样本,统计量服从t(n)分布,则m/n等于()。A、1B、1/2C、1/3D、1/4答案：D16.设随机变量X在[0,1]上服从均匀分布,记事件A={0≤X≤1/2},B={1/4≤X≤3/4},则()。A、A与B互不相容B、B包含AC、A与B对立D、A与B相互独立答案：D解析：由图1-1立即得到D项正确,事实上,由题设知。

故,,⇒P(AB)=P(A)P(B)⇒A与B相互独立。

17.设事件A与B相互独立,且0<P(A)<1,0A、A与A∪B一定不独立B、A与A-B一定不独立C、A与B-A一定不独立D、A与AB一定不独立答案：A解析：已知事件Ω与任何事件都独立,因为P(AΩ)=P(A)P(Ω),事实上,概率为1的任何事件B都与任一事件A独立:

P(B)=1,P(B(_))=0,P(AB(_))=0

所以P(AB)=P(AB)+P(AB(_))=P(A)=P(A)P(B)。

同时,概率为0的任何事件,都与任一事件A独立:

P(C)=0,P(CA)=0,所以P(AC)=0=P(A)P(C)。

更进一步,如果A与B相互独立,且A⊂B,则必有

P(AB)=P(A)P(B)和P(AB)=P(A),即P(A)=P(A)P(B),则有P(A)=0或P(B)=1。

就本题的条件0<P(A)<1,0<p(b)<1,

A项,如果A与A∪B独立,由于A⊂A∪B,故必有P(A)=0或P(A∪B)=1,P(A)=0不符合条件;只有P(A∪B)=1,就有P(A(_)B(_))=P(A(_))P(B(_))=0,得到P(A)=1或P(B)=1,也不符合给定条件,故A与A∪B一定不独立。

BCD三项,当A=B或AB=∅,A与A-B独立或A与B-A独立或A与AB独立。

</p(b)<1,

18.设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,记,,,则统计量服从分布为()。A、t(3)B、t(2)C、F(1,3)D、F(1,2)答案：B解析：设X~N(μ,σ2),则Y1~N(μ,σ2/6),Y2~N(μ,σ2/3),Y1-Y2~N(0,σ2/2),;由于(n-1)S2/σ2~χ2(n-1),S2与Y2相互独立,故,即。

19.设A,B为随机事件,P(A)>0,则下列等式中与P(B|A)=1不等价的是()。A、P(A-B)=0B、P(A∪B)=P(B)C、P(AB)=P(A)D、P(B)=1答案：D解析：D项,若A⊂B,P(A)>0,P(B)≠1,则P(AB)=P(A),P(B|A)=1,但此时P(B)≠1,可知P(B)=1是P(B|A)=1的充分条件,但不是必要的。

A项,P(A-B)=P(A)-P(AB)=0⇔P(AB)=P(A)⇔P(AB)/P(A)=P(B|A)=1。

B项,P(A∪B)=P(B)⇔P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)⇔P(A)=P(AB)⇔P(B|A)=1。

C项,P(AB)=P(A)⇔P(AB)/P(A)=1⇔P(B|A)=1。

20.假设随机变量X的密度函数

A、(-∞,-2]B、[-1,0]C、[1,2]D、[3,+∞)答案：C解析：由题设P{X>k}=P{X<k}知P{X=k}=0,又P{X>k}+P{X。由密度函数图形及概率的几何意义知k的取值范围为[1,2];如果通过计算来确定正确选项,此时需要按k的取值不同来计算,其结果是一样的。

21.设X1,X2,…,Xn为来自总体X~N(0,σ2)的简单随机样本,则σ2的无偏估计量为()。A、B、C、D、答案：B解析：因为

22.已知(X,Y)服从二维正态分布,EX=EY=μ,DX=DY=σ2,X与Y的相关系数ρ≠0,则X与Y()。A、独立且有相同的分布B、独立且有不同的分布C、不独立且有相同的分布D、不独立且有不同的分布答案：C解析：由于(X,Y)服从二维正态分布,故X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2)即X与Y有相同的分布,但是ρ≠0,所以X与Y不独立。

23.若A,B为任意两个随机事件,则()。[数一、数三2015研]A、P(AB)≤P(A)P(B)B、P(AB)≥P(A)P(B)C、P(AB)≤(P(A)+P(B))/2D、P(AB)≥(P(A)+P(B))/2答案：C解析：由于AB⊂A,AB⊂B,按概率的基本性质,有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B),从而P(AB)≤(P(A)+P(B))/2,故选C项。24.设随机变量且满足条件Ρ{X1+X2=0}=1,则Ρ{X1=X2}等于()。A、0B、1/4C、1/2D、1答案：C解析：由题设知P{X1+X2≠0}=0,而

P{X1+X2≠0}=P{X1=-1,X2=-1}+P{X1=-1,X2=0}+P{X1=0,X2=-1}+P{X1=0,X2=1}+P{X1=1,X2=0}+P{X1=1,X2=1}

所以等式中的各加项概率都等于零,据此可求得(X1,X2)的联合分布如表3-4所示,并算得

P{X1=X2}=P{X1=-1,X2=-1}+P{X1=0,X2=0}+P{X1=1,X2=1}=1/2

表3-4

25.在考核中,若学员中靶两次,则认定合格而停止射击,但限定每人最多只能射击三次,设事件A=“考核合格”,B=“最多中靶一次”,C=“射击三次”,已知学员中靶率为p(0<P<1),则()。A、AB与C独立B、BC与A独立C、AC与B独立D、A,B,C相互独立答案：A解析：A项,因为A与B为对立事件,因此AB=∅,又C⊃B,BC=B,而不可能事件与任何事件相互独立,BCD三项,P(ABC)=0,P(A)=p2+2p2(1-p),P(B)=3p(1-p)2+(1-p)3,P(C)=1-p2,则P(ABC)≠P(BC)·P(A),即BC与A不独立;P(ABC)≠P(AC)·P(B),即AC与B不独立;P(ABC)≠P(A)·P(B)·P(C),即A,B,C不相互独立。

26.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()。A、3p(1-p)2B、6p(1-p)2C、3p2(1-p)2D、6p2(1-p)2答案：C解析：把独立重复射击看成独立重复试验,射中目标看成试验成功,第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为:第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功,2次失败。根据独立重复的伯努利试验,前3次试验中有1次成功、2次失败,其概率必为,而第4次是成功的,其概率为p,所以,第4次射击为第2次命中目标的概率为,所以选C。

27.连续型随机变量X的分布函数,则其中的常数a和b为()。A、B、C、D、答案：B解析：由题意知,故。F(X)为连续型X的分布,则F(X)必连续,F(X)在X=0连续,,即a+b=0,b=-1。

28.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布函数分别为FX(x)FY(y),则Z=min(X,Y)的分布函数是()。A、FZ(z)=max(FX(x),FY(y))B、FZ(z)=min(FX(x),FY(y))C、FZ(z)=1-[1-FX(x)][1-FY(y)]D、FZ(z)FX(x)FY(y)答案：C解析：FZ(z)=P{Z≤z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-(1-P{X≤z})(1-P{Y≤z})=1-[1-FX(x)][1-FY(y)]。

29.设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且

A、0.2B、0.3C、0.4D、0.5答案：A解析：由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的图像关于x=1对称,利用特殊值法:将f(x)看成随机变量X~N(1,σ2)的概率密度,根据正态分布的对称性,P{X<0}=0.2。

30.假设F(x)是随机变量X的分布函数,则不能有结论()。A、如果F(a)=0,则对任意x≤a有F(x)=0B、如果F(a)=1,则对任意x≥a有F(x)=1C、如果F(a)=1/2则P{X≤a}=1/2D、如果F(a)=1/2,则P{X≥a}=1/2答案：D解析：由于F(x)是单调不减的非负函数,且0≤F(x)≤1,F(x)=P{X≤x},所以选项(A)、(B)、(C)都成立。D项,已知F(a)=P{X≤a}=1/2⇒P{X≥a}=1-P{X<a}=1-F(a-0),如果P{X≥a}=1/2⇒1-F(a-0)=1/2,F(a-0)=1/2=F(a)=F(a+0)⇒F(x)在x=a处连续,而题目未给出这个假设,因此不能得出该结论。

31.设X,Y为随机变量,P{XY≤0}=3/5,P{max(X,Y)>0}=4/5,则P(min(X,Y)≤0)=()。A、1/5B、2/5C、3/5D、4/5答案：D解析：设A={X≤0},B={Y≤0},则

{XY≤0}=AB∪BA,{max(X,Y)>0}=AB,{min(X,Y)≤0}=A∪B

于是P{min(X,Y)≤0}=p(A∪B)=p(AB∪BA∪AB)=P(AB∪BA)+P(AB)=p{XY≤0}+1-p{max(X,Y)>0}=3/5+1-4/5=4/5。

32.设二维随机变量(X1,X2)的密度函数f1(x1,x2),则随机变量(Y1,Y2)(其中Y1=2X1,Y2=X2/3)的概率密度f2(y1,y2)等于()。A、f1(y1/2,3y2)B、3f1(y1/2,3y2)/2C、f1(2y1,y2/3)D、2f1(2y1,y2/3)/3答案：B解析：设(X1,X2)的分布为F1(x1,x2),(Y1,Y2)的分布为F2(y1,y2),则

F2(y1,y2)=P{Y1≤y1,Y2≤y2}=P{2X1≤y1,X2/3≤y2}=P{X1≤y1/2,X2≤3y2}=F1(y1/2,3y2)

又因为f(y1,y2)=F′(y1,y2),所以f2(y1,y2)=3f1(y1/2,3y2)/2。

33.设随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立,则根据辛钦大数定律,当n→∞吋,依概率收敛其数学期望,只要{Xn,n≥1}()。A、有相同的数学期望B、服从同一离散型分布C、服从同一泊松分布D、服从同一连续型分布答案：C解析：ABD三项,由辛钦大数定律可知,随机变量序列{Xn,n≥1}必须是:“独立同分布且数学期望存在”,A项缺少同分布条件,BD两项虽然服从同一分布但不能保证期望存在。

34.设随机变量X的二阶矩存在,则()。A、EX2<EXB、EX2≥EXC、EX2<(EX)2D、EX2≥(EX)2答案：D解析：AB两项,当随机变量X在区间[0,1]上服从均匀分布,则EX=1/2,DX=1/12,EX2=DX+(EX)2=1/12+1/4=1/3<1/2=EX,选项A成立,此时选项B不成立,又如X~N(μ,σ2),EX=μ,DX=σ2,EX2=σ2+μ2,取σ≥μ=1/2,则EX2≥2μ2=2·1/4=1/2=EX,即选项B成立,此时A不成立,CD两项,由于DX=EX2-(EX)2≥0,故EX2≥(EX)2。

35.设X1,X2,…,Xn是取自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,其样本均值和方差分别为X(_),S2,则服从自由度为n的χ2分布的随机变量是()。A、X(_)2/σ2+(n-1)S2/σ2B、nX(_)2/σ2+(n-1)S2/σ2C、(X(_)-μ)2/σ2+(n-1)S2/σ2D、n(X(_)-μ)2/σ2+(n-1)S2/σ2答案：D解析：因X~N(μ,σ2),所以(n-1)S2/σ2~χ2(n-1),又因X(_)与S2独立,

36.设随机变量Xi的概率分布为

表3-1

A、0B、1/4C、1/2D、1答案：A解析：由于P{X1X2=0}=1,从而P{X1≠0,X2≠0}=0,即

P{X1=-1,X2=-1}=0;P{X1=-1,X2=1}=0;

P{X1=1,X2=-1}=0;P{X1=1,X2=1}=0

X1和X2的联合概率分布如下:

表3-2

37.已知随机变量X与Y相互独立且都服从正态分布N(μ,1/2),若P{X+Y≤1}=1/2,则μ等于()。A、-1B、0C、1/2D、1答案：C解析：显然,需由等式P{X+Y≤1}=1/2确定μ,为此需要知道X+Y的分布。

由X与Y独立知X+Y~N(2μ,1),故

P{X+Y≤1}=Φ((1-2μ)/1)=Φ(1-2μ)=1/2⇒1-2μ=0,μ=1/2

38.设事件A,B相互独立,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3则P(B-A)=()。[数一、数三2014研]A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4答案：B解析：P(A-B)=0.3=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A),故P(A)=0.6,P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(A)=0.2。

39.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ已知,σ2未知。X1,…,Xn为取自总体X的简单随机样本,则不能作出统计量为()。A、B、C、D、答案：C解析：由样本(X1,X2,…,Xn)所确定的函数f(X1,X2,…,Xn)称为统计量。统计量是一个随机变量,且不含未知参数。

40.设随机变量X1,X2,X3,X4均服从分布B(1,1/2),则()。A、X1+X2与X3+X4同分布B、X1-X2与X3-X4同分布C、(X1,X2)与(X3,X4)同分布D、X12,X22,X32,X42同分布答案：D解析：Xi~B(1,1/2),即

表3-5

41.设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),边缘分布为FX(x)和FY(y),则概率P{X>x,Y>y}等于()。A、1-F(x,y)B、1-FX(x)-FY(y)C、F(x,y)-FX(x)-FY(y)+1D、Fx(x)+FY(y)+F(x,y)-1答案：C解析：记事件A={X≤x},B={Y≤y},则

P{X>x,Y>y}=P(A(_)B(_))=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-P{X≤x}-P{Y≤y}+P{X≤x,Y≤y}=1-FX(x)-FY(y)+F(x,y)

42.已知随机变量X与Y的相关系数为ρ且ρ≠0,Z=aX+b,则Y与Z的相关系数仍为ρ的充要条件是()。A、a=1,b为任意实数B、a>0,b为任意实数C、a<0,b为任意实数D、a≠0,b为任意实数答案：B解析：由于cov(Y,Z)=cov(Y,aX+b)=acov(X,Y),DZ=D(aX+b)=a2DX,

所以

43.设连续型随机变量X的概率密度f(x)为偶函数,且,则对任意常数a﹥0,P{︱X︱﹥a}为()。A、2-2F(a)B、1-F(a)C、2F(a)D、2F(a)-1答案：A解析：P{|X|>a}=1-P{|X|≤a}=1-P{-a≤X≤a}=1-[F(a)-F(-a)]=1-F(a)+F(-a),而

44.设随机变量(X,Y)的联合分布律为

表3-7

A、α=2/9,β=1/9B、α=1/9,β=2/9C、α=1/6,β=1/6D、α=5/18,β=1/18答案：A45.设随机变量X的概率密度为,则Ρ{X≤2|X≥1}的值为()。A、e-2B、1-e-2C、e-1D、1-e-1答案：D解析：解法一:

46.设随机变量X~N(0,1),其分布函数为Φ(x),则随机变量Y=min{X,0}的分布函数F(y)为()。A、B、C、D、答案：B解析：F(y)=P{Y≤y}=P{min(x,0)≤y}=1-P{min(X,0)>y}=1-P{X>y,0>y}。当y<0时,P{X>y,0>y}=P{X>y},F(y)=1-P{X>y}=P{X≤y}=Φ(y);当y≥0时,P{X>y,0>y}=0,F(y)=1。

47.设F1(x),F2(x)为两连续型随机变量的分布函数,对应的概率密度f1(x),f2(x)为连续函数,则下列函数中必为概率密度函数的是()。A、f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]B、f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-f1(x)]C、f1(x)[1-f2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]D、f1(x)[1-f2(x)]+f2(x)[1-f1(x)]答案：A解析：由分布函数的性质可得,1-[1-F2(x)][1-F1(x)]还是分布函数,且为连续型随机变量的分布函数,故其导数f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]必为概率密度函数。

48.设随机变量X,Y均服从标准正态分布,则()。A、X+Y服从正态分布B、X2+Y2服从χ2分布C、X2/Y2服从F分布D、X2和Y2均服从χ2分布答案：D解析：ABC三项,没有条件可以证明X,Y相互独立,因此不正确。D项,由χ2分布的定义知X2~χ2(1),Y2~χ2(1)。

49.现有一批电子元件,系统初始由一个元件工作,当其损坏时,立即更换一个新元件接替工作,如果用Xi表示第i个元件的工作寿命,那么事件A=“到时刻T为止,系统仅更换一个元件”可以表示为()。A、A={X1<T}B、A={X1+X2<T}C、A={X1+X2>T}D、A={X1<T,X1+X2>T}答案：D解析：事件A=“到时刻T为止,系统仅更换了一个元件”,这件事等价于“第一个元件在时刻T之前已经损坏”,即事件“X1<T”;同时“第二个元件换上后T时刻还在工作”,即事件“X1+X2>T”,所以事件A={X1T}。

A项,因为仅X1<T不能保证X1+X2>T,也许两个元件寿命加在一起还小于T。

C项,因为X1+X2>T的情况中包含第一个元件的寿命大于T,在T时刻并没有更换元件。

50.假设X,X1,X2,…,X10是来自正态总体N(0,σ2)的简单随机样本,,则()。A、X2~χ2(1)B、Y2~χ2(10)C、X/Y~t(10)D、X2/Y2~F(10,1)答案：C解析：由题设知,X~N(0,σ2),Xi~N(0,σ2),X/σ~N(0,1),Xi/σ~N(0,1),且相互独立.AB两项,由χ2分布定义知,X2/σ2~χ2(1),,因此AB两项不成立;C项,由t分布定义知;D项,由F分布定义知。

51.设连续型随机变量X1,X2相互独立,且方差均存在,X1,X2的概率密度分别为f1(x),f2(x),随机变量Y1的概率密度为,随机变量Y2=(X1+X2)/2,则()。[数一2014研]A、EY1>EY2,DY1>DY2B、EY1=EY2,DY1=DY2C、EY1=EY2,DY1<DY2D、EY1=EY2,DY1>DY2答案：D解析：

52.设随机变量X1,X2独立同分布,其分布函数为F(x),则随机变量X=min{X1,X2}的分布函数为()。A、F2(x)B、2F(x)-F2(x)C、F(x)-F2(x)D、1-F(x)+F2(x)答案：B解析：F(x)=p{X≤x}=p{min(X1,X2)≤x}=1-p{min(X1,X2)>x}=1-p{X1>x,X2>x}=1-p{X1>x}×p{X2>x}=1-(1-p{X1≤x})(1-p{X2≤x})=1-[1-F(x)]2=2F(x)-F2(x)。

53.设随机变量Xi的分布函数分别为Fi(x),i=1,2。假设:如果Xi为离散型,则Xi~B(1,pi)其中0<pi<1,i=1,2。若Xi为连续型,则其概率密度函数为fi(x),i=1,2。已知成立F1(X)≤F2(X),则()。A、p1≤p2B、p1≥p2C、f1(X)≤f2(X)D、f1(X)≥f2(X)答案：B解析：我们只能在A、B两项或C、D两项中选一正确答案,由微积分知识知C、D两项未必正确,因此只考虑A、B两项,根据题设得:

54.设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max{X,Y}的分布函数为()。A、F2(x)B、F(x)F(y)C、1-[1-F(x)]2

D。[1-F(x)][1-F(y)]答案：A解析：由于随机变量X,Y独立同分布,则P{Z<z}=P{max(X,Y)<z,y<z}p{y

<z,y<z}p{y

55.已知随机变量,EXY=5/8,则P{X+Y≤1}等于()。A、1/8B、1/4C、3/8D、1/2答案：C解析：由题设知,,所以

EXY=P{X=1,Y=1}=5/8

P{X+Y≤1}=1-P{X+Y>1}=1-P{X=1,Y=1}=1-5/8=3/8

二、填空题56.对于任意两事件A和B,则下述命题正确的是()。A、若AB≠∅,则A,B一定独立B、若AB≠∅,则A,B有可能独立C、若AB=∅,则A,B一定独立D、若AB=∅,则A,B一定不独立答案：B解析：当P(A)≠0,P(B)≠0时,若A,B相互独立,则一定有P(AB)=P(A)P(B)≠0,从而由AB≠∅可见,当A,B相互独立时,往往A,B并不是互斥的,AB≠∅推不出P(AB)=P(A)P(B),因此推不出A,B一定独立,排除A;若AB=∅,则P(AB)=0,但P(A)P(B)是否为零不确定,P(AB)≠P(A)P(B)。因此C,D也不成立,故正确选项为B。

57.设总体X~N(μ,4),据某一容量为16的样本,计算得知总体均值μ的置信度为95%的置信区间I=(9.02,10.98)。现对于显著性水平α=0.05,检验H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0,记统计量V=X(_)-μ0,则检验H0的否定域R应该是()。A、R={V∈(_)I}B、R={V∈I}C、R={|V|>0.98}D、R={|V|>1.96}答案：C解析：由置信区间,其中样本统计量U~N(0,1)且λ满足P{|U|≤A}=0.95。由题设条件可计算出样本均值的观察值为x=10,λ=1.96,σ0=2。

在检验H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0时,选取的统计量

58.已知随机变量X的概率密度为f(x)=1/2·e-|x|,-∞<x<+∞,则D(X2)的值为()。A、20B、22C、24D、28答案：A解析：D(X2)=E(X4)-(EX2)2,

59.将一枚硬币抛n次,X表示正面向上的次数,Y表示反面向上的次数的相反数,则X与Y的相关系数为()。A、1B、1/3C、1/4D、-1答案：A解析：由于X-Y=n,即Y=X-n,故X与Y的相关系数等于1。

60.对任意两个互不相容的事件A与B,必有()。A、若Ρ(A)=0,则Ρ(B)=0B、若Ρ(A)=0,则Ρ(B)=1C、若Ρ(A)=1,则Ρ(B)=0D、若Ρ(A)=1,则Ρ(B)=1答案：C解析：由于AB=∅,则A⊂B(_),即P(A)≤P(B(_)),若P(A)=1,则P(B(_))≥P(A)=1,P(B(_))=1,即P(B)=0,C项正确。若P(A)=0,则得P(B)≥0。

61.设随机变量X的分布函数为F(X),其密度函数为其中A为常数,则F(1/2)的值为()。A、1/2B、1/3C、1/4D、1/5答案：A解析：解法一:先确定

62.设X,Y为两个随机变量,其中EX=2,EY=-1,DX=9,DY=16,且X,Y的相关系数ρxy=-1/2,由切比雪夫不等式得P{︱X+Y-1︱≤10}≥()。A、84/100B、87/100C、75/100D、80/100答案：B解析：令Z=X+Y,则EZ=EX+EY=1。

63.设X1,X2,X3是随机变量,且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32),Pi=P{-2≤Xi≤2}(i=1,2,3),则()。[数一、数三2013研]A、P1>P2>P3B、P2>P1>P3C、P3>P1>P2D、P1>P3>P2答案：A解析：由X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32),知

P1=P{-2≤X1≤2}=P{|X1|≤2}=2Φ(2)-1

P2=P{-2≤X2≤2}=P{-1≤X2/2≤1}=P{|X2/2|≤1}=2Φ(1)-1

故P1>P2,由X3~N(5,32)及概率密度的对称性知,P1>P2>P3。

64.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,X25是取自总体X的简单随机样本,X(_)为样本均值,若P{|X-μ|<a}=P{|X(_)-μ|<π},则a=()。A、πB、5πC、D、25π答案：B解析：由于X~N(μ,σ2),故有

65.已知总体X的期望EX=0,方差DX=σ2,从总体中抽取容量为n的简单随机样本,其均值为X(_),方差为S2.记Sk2=nX(_)2/k+S2/k(k=1,2,3,4),则()。A、ES12=σ2B、ES22=σ2C、ES32=σ2D、ES42=σ2答案：B66.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则下列说法不正确的是()。A、X,Y一定相互独立B、X,Y的任意线性组合l1x+l2x服从于一维正态分布C、X,Y分别服从于一维正态分布D、当相关系数p=0时,X,Y相互独立答案：A解析：由密度函数解得,若ρxy=0⇒X与Y独立(因为(X,Y)服从二维正态分布);若ρxy≠0⇒f(x,y)≠fX(x)fY(y)⇒X,Y相互不独立,可见A项不正确。

67.设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且X2n(n=1,2,…)服从参数为λ的泊松分布,X2n-1(n=1,2,…)服从期望值为λ的指数分布,则随机变量序列X1,X2,…,Xn,…一定满足()。A、切比雪夫大数定律B、伯努利大数定律C、辛钦大数定律D、中心极限定理答案：A解析：X1,X2,…,Xn,…不是同分布,因此不能满足辛钦大数定律、伯努利大数定律和中心极限定理。

进一步分析,EX2n=DX2n=λ,EX2n-1=λ,DX2n-1=λ2,因此对任何n=1,2,…,都有D(Xn)<λ+λ2,即X1,X2,…,Xn,…相互独立,期望、方差都存在且对所有n,D(Xn)<λ+λ2,符合切比雪夫大数定律成立的条件。

68.设A,B为随机事件,0<P(A)<1,0A、P(A|B)+P(A(_)|B)=1B、P(A|B)+P(A|B(_))=1C、P(A|B)+P(A(_)|B(_))=1D、P(A|B(_))+P(A(_)|B)=1答案：C解析：AD两项,由于“条件概率是概率,它具有概率的一切性质”,因此选项AD对任意事件A,B都成立,由它不能断言A,B相互独立。B项,如果A与B相互独立,则P(A|B)+P(A|B(_))=P(A),因此P(A|B)=P(A|B(_))=P(A)+P(A)=2P(A)≠1,所以B不成立。

C项,由于0<P(A)<1,0<p(b)<1,所以a与b相互独立↔p(a|b)+p(a|b(_))=1-p(a(_)|b(_))↔p(a|b)+p(a(_)|b(_))=1。

</p(b)<1,所以a与b相互独立↔p(a|b)+p(a|b(_))=1-p(a(_)|b(_))↔p(a|b)+p(a(_)|b(_))=1。

69.设随机变量X的分布函数为,则P{X=1}=()。[数一,数三2010研]A、0B、1/2C、1/2-e-1D、1-e-1答案：C解析：P{X=1}=F(1)-F(1-0)=1-e-1-1/2=1/2-e-1。

70.袋中有2个白球和1个红球,现从袋中任取一球且不放回,并再放入一个白球,这样一直进行下去,则第n次取到白球的概率为()。A、1-2n/3n+1B、1-(2/3)nC、1-(2/3)n-1D、1-2n-1/3n答案：D解析：设Ai表示第i次取到白球,i=1,2,…,n。则A(_)n=A1A2…An-1A(_)n,由乘法公式可得

71.设事件A与事件B互不相容,则()。A、P(A(_)B(_))=0B、P(AB)=PA·PBC、PA=1-PBD、P(A(_)∪B(_))=1答案：D解析：因为A,B互不相容,由互不相容的定义得A∩B=∅,即P(AB)=0。选项A:根据德摩根律,得到P(A(_)B(_))=P(A(_)∪B(_))=1-P(A∪B),因为不能够由题目条件A∩B=∅得到A∪B=S,所以不能得出P(A∪B)=1,故A不正确。选项B:由A∩B=∅得不到A=∅,或B=∅,即得不到P(A)=0,或P(B)=0,因此B不成立,故排除。选项C:根据对立事件的定义,只有当A,B互为对立事件的时候才成立,故排除C。选项D:P(A(_)∪B(_))=P(A(_)B(_))=1-P(AB)=1,故D正确。

72.设P(A︱B)=P(B︱A)=1/4,且P(A(_))=2/3,则()。A、事件A,B相互独立且P(A+B)=7/12B、事件A,B不独立且P(A+B)=7/12C、事件A,B相互独立且P(A+B)=5/12D、事件A,B不独立且P(A+B)=5/12答案：B解析：P(A︱B)=P(B︱A)=1/4,且P(A(_))=2/3,则

P(A︱B)=P(B︱A)⇒P(AB)/P(B)=P(AB)/P(A)⇒P(B)=P(A)=1-P(A(_))=1/3,

又P(AB)/P(A)=1/4⇒P(AB)=1/12,则P(AB)≠P(A)P(B),故A,B不独立。

即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3+1/3-1/12=7/12。

73.设随机变量X和Y均服从分布B(1,1/2),且E(XY)=1/2,记X与Y的相关系数为ρ,则()。A、ρ=1B、ρ=-1C、ρ=0D、ρ=1/2答案：A解析：,DX=DY=1/4;cov(X,Y)=E(XY)-EX•EY=1/2×1/2=1/4,故ρ=1。

74.设A,B为随机事件,P(B)>0,则()。A、P(A∪B)≥P(A)+P(B)B、P(A-B)≥P(A)-P(B)C、P(AB)≥P(A)P(B)D、P(A|B)≥P(A)/P(B)答案：B解析：A项,应用概率运算性质知,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)。B项,P(A-B)=P(A)-P(AB)≥P(A)-P(B)。C项,它可能成立也可能不成立,例如AB=∅,P(A)>0,P(B)>0,则P(AB)=0<P(A)P(B);如果A⊂B,则P(AB)=P(A)≥P(A)P(B)。D项,P(A|B)=P(AB)/P(B)≤P(A)/P(B)。

75.设随机变量X与Y相互独立,且E(X)与E(Y)存在,记U=max{X,Y},V=min{X,Y},则E(UV)=()。A、E(U)E(V)B、E(X)E(Y)C、E(U)E(Y)D、E(X)E(V)答案：B解析：因为,,所以,UV=XY,于是E(UV)=E(XY)=E(X)E(Y)。

76.设随机变量X的分布函数

A、0B、1/2C、1/2-e-1D、1-e-1答案：C解析：离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数。观察本题中F(x)的形式,得到随机变量X既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义。根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P{X=1}=P{X≤1}-P{X<1}=F2)-F(1-0)=1-e-1-1/2=1/2-e-1,故本题选C。

77.假设总体X的方差DX存在,X1,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,其均值和方差分别为X(_),S2,则EX2的矩估计量是()。A、S2+X(_)2B、(n-1)S2+X(_)2C、nS2+X(_)2D、(n-1)S2/n+X(_)2答案：D解析：由于EX2=DX+(EX)2,而DX与EX矩估计量分别为与,所以EX2的矩估计量为(n-1)S2/n+X(_)2。

78.设随机变量X的概率密度为f(x),则可以作为密度函数的是()。A、f(2x)B、f(2-x)C、f2(x)D、f(x2)答案：B解析：概率密度的充要条件为:①f(x)≥0,②。

A项,f(2x)不是概率密度,因

79.设随机变量序列相互独立且都服从参数为1的泊松分布,令,则随机变量序列Y1,Y2,…,Yn,…一定()。A、满足切比雪夫大数定律B、不满足切比雪夫大数定律C、满足辛钦大数定律D、不满足辛钦大数定律答案：A解析：Y1,Y2,…,Yn,…相互独立,其期望、方差都存在且EYi=1,DYi=1/mi≤1,符合切比雪夫大数定律成立的三个条件,即①Y1,Y2,…,Yn,…相互独立;②期望、方差都存在;③对任何i=1,2,…,方差DYi都小于一个共同常数,因此Y1,Y2,…,Yn,…满足切比雪夫大数定律。由于m1,m2,…不一定完全相同,因此不能确定Y1,Y2,…,Ym是否同分布,(要求m1=m2=…=mn=…,此时Y1,Y2,…,Yn,…同分布;m1,m2,…不全相同,Y1,Y2,…,Yn,…不同分布),故不能确定其是否一定满足辛钦大数定律。

80.设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,Sn=X1+X2+…+Xn,则根据列维—林德伯格中心极限定理,当n充分大时,Sn近似服从正态分布,只要X1,X2,…,Xn()。A、有相同的数学期望B、有相同的方差C、服从同一指数分布D、服从同一离散型分布答案：C解析：根据列维—林德伯格中心极限定理的条件:X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且期望和方差存在。选项A、B有相同的数学期望和方差,不能保证服从相同的分布,所以都排除。选项D,服从相同的分布,它的期望、方差不一定存在,也不满足定理的条件,所以排除D,只有选项C是正确的。选项C,服从同一指数分布,满足服从相同的分布,并且指数分布的期望和方差是存在的,所以满足定理的条件,故选项C是正确的。

81.设随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),记p=P{X≤μ+σ2},则()。[数一2017研]A、p随着μ的增加而增加B、p随着σ的增加而增加C、p随着μ的增加而减少D、p随着σ的增加而减少答案：B解析：因为p=P{X≤μ+σ2}=P{(X-μ)/σ≤σ}=Φ(σ),所以p的大小与μ无关,随着σ的增大而增大。

82.设随机变量X服从正态分布N(μ1,σ12),随机变量Y服从正态分布N(μ2,σ22),且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1},则必有()。A、σ1<σ2B、σ1>σ2C、μ1<μ2D、μ1>μ2答案：A解析：由于X与Y服从不同参数的正态分布,所以不能直接判断PP{|X-μ1|<1}和P{|Y-μ2|<1}的大小与参数的关系,如果将其标准化后就可以方便地进行比较了,随机变量标准化,有(X-μ1)/σ1~N(0,1),且其概率密度函数是偶函数,所以

P{|X-μ1|<1}=P{-1<x-μ1<(x-μ1)=""σ1同理有,P{|Y-μ2|<1}=2Φ/σ2-1。

因为φ(x)是单调递增函数,当P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}时,2Φ/σ1-1>2Φ/σ2-1,即1/σ1>1/σ2,所以σ1<σ2,故选A项。

</x-μ183.设相互独立的两随机变量X和Y,其中X~B(1,1/2)而Y具有概率密度,则P{X+Y≤1/3}的值为()。A、1/6B、1/3C、1/4D、1/2答案：A解析：X~B(1,1/2)X取值只能为X=0或X=1,将X=0和X=1看成完备事件组,用全概率公式得:

84.设总体X~B(m,θ),X1,X2,…,Xn为来自该总体的简单随机样本,X(_)为样本均值,则=()。[数三2015研]A、(m-1)nθ(1-θ)B、m(n-1)θ(1-θ)C、(m-1)(n-1)θ(1-θ)D、mnθ(1-θ)答案：B解析：根据样本方差的性质,有E(S2)=D(X)=mθ(1-θ)。

从而

85.假设总体X服从参数为λ的泊松分布,X1,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,其均值为X(_),方差为S2。已知E[aX(_)+(2-3a)S2]=λ,则a等于()。A、-1B、0C、1/2D、1答案：C86.设A,B,C为三个随机事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/12,则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为()。[数一2020研]A、3/4B、2/3C、1/2D、5/12答案：D解析：只发生A事件的概率:

87.设随机变量X,Y不相关,且EX=2,EY=1,DX=3,则E[X(X+Y-2)]=()。[数一2015研]A、-3B、3C、-5D、5答案：D解析：随机变量X,Y不相关,因此E(XY)=E(X)E(Y),进而得

E[X(X+Y-2)]=E(X2+XY-2X)=E(X2)+E(XY)-2E(X)=D(X)+E2(X)+E(X)·E(Y)-2E(X)=3+22+2×1-2×2=5

故选D项。

88.设随机事件A与B互不相容,0<P(A)<1,0A、ρ=0B、ρ=1C、ρ<0D、ρ>0答案：C解析：B项,使用排除法,若选项B成立,选项D必成立。ACD三项,相关系数符号取决于cov(X,Y)=EXY-EXEY,由题设知EX=P(A),EY=P(B),,因为P(AB)=0,所以cov(X,Y)=-EXEY<0,即ρ<0。

89.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如表4-1所示

表4-1

A、X与Y不相关B、X2与Y2不相关C、X+Y与X-Y不相关D、X2+Y2与X2-Y2不相关答案：A解析：A项,EX=EY=0,EXY=a-a-a+a=0,cov(X,Y)=EXY-EXEY=0,P=0,即X与Y不相关,进一步分析,X2与Y2的联合概率分布应为

表4-2

90.设随机事件A与B互不相容,则()。A、Ρ(A(_)B(_))=0B、Ρ(A(_)B(_))≠0C、Ρ(A∪B(_))=Ρ(A)D、Ρ(A∪B(_))=Ρ(B(_))答案：D解析：由AB=∅,不能得到A(_)B(_)=∅或≠∅,故A、B两项有误,由于AB=∅⇔A⊂B(_)故A∪B(_)=B(_)。

91.假设随机变量分布函数F1(x)和F2(x)以及概率密度函数f3(x)和f4(x),如果a>0,b>0,则不能有结论()。A、aF1(x)+bF2(x)也是分布函数的充要条件是a+b=1B、aF1(x)F2(x)也是分布函数的充要条件是a=1C、af3(x)+bf4(x)也是密度函数的充要条件是a+b=1D、af3(x)f4(x)也是密度函数的充要条件是a=1答案：D解析：D项,令和,显然它们是U(-1,0)和U(0,1)的密度函数,而f3(x)f4(x)=0,(-∞<x<+∞),不满足概率密度函数的充要条件。A项,aF1(x)+bF2(x)当a,b均为正时也单调不降:aF1(-∞)+bF2(-∞)=0;aF1(+∞)+bF1(+∞)=a+b=1;aF1(x)+bF2(x)右连续,所以aF1(x)+bF2(x)是分布函数。B项,F1(x)F2(x)为单调不降;F1(-∞)F2(-∞)=0;F1(+∞)F2(+∞)=1;F1(x)F2(x)也是右连续的,F1(x)F2(x)也是分布函数。C项

92.设随机变量X的期望、方差都存在,则对任意常数c,有()。A、E(X-c)2<DX+E2(X-c)B、E(X-c)2>DX+E2(X-c)C、E(X-c)2=DX+E2(X-c)D、E(X-c)2=DX-E2(X-c)答案：C解析：由于DX=D(X-c)=E(X-c)2-E2(X-c),所以E(X-c)2=DX+E2(X-c)。

93.设A,B为随机事件,则P(A)=P(B)的充分必要条件是()。[数一2019研]A、P(A∪B)=P(A)+P(B)B、P(AB)=P(A)P(B)C、P(AB(_))=P(BA(_))D、答案：C解析：选项A只能说明事件A与事件B不相容,选项B只能说明事件A与事件B相互独立,并不能说明P(A)=P(B),对选项D来说,若令B=A(_),等式恒成立,亦不能说明P(A)=P(B),故选C。

94.设总体X服从正态分布N(0,σ2),X(_),S2分别为容量是n的样本,均值和方差,则可以作出服从自由度为n-1的t分布的随机变量是()。A、B、C、nX(_)/SD、nX(_)/S2答案：A解析：由题设知,Xi~N(0,σ2),,(n-1)S2/σ2~χ2(n-1),X(_)与S2独立,所以

95.设事件A与事件B互不相容,则()。A、P(A(_)B(_))=0B、P(AB)=P(A)P(B)C、P(A)=1-P(B)D、P(A(_)∪B(_))=1答案：D解析：由题意可知,P(AB)=0⇒P(AB(_))=1,即P(A(_)∪B(_))=1。96.设A,B为随机事件,P(A)>0,则P(B|A)=1不等价于()。A、P(A-B)=0B、P(B-A)=0C、P(AB)=P(A)D、P(A∪B)=P(B)答案：B解析：P(B|A)=1⇔P(AB)/P(A)=1⇔P(AB)=P(A),然而P(B-A)=P(B)-P(AB),所以选择B项。其余三个选项与已知条件是等价的:

A项,P(A-B)=0⇔P(A-B)=P(A)-P(AB)=0⇔P(AB)=P(A)。

C项,P(AB)=P(A)⇔P(B|A)=1。

D项,P(A∪B)=P(B)⇔P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)⇔P(A)=P(AB)。

97.设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记,则下列结论中不正确的是()。[数一2017研]A、服从χ2分布B、2(Xn-X1)2服从χ2分布C、服从χ2分布D、n(X(_)-μ)2服从χ2分布答案：B解析：A项,Xi-μ~N(0,1),故

98.设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则P{X<Y}=()。[数一2012研]A、1/5B、1/3C、2/5D、4/5答案：A解析：已知X~E(1),Y~E(4),故概率密度

99.设总体X服从正态分布N(0,σ2),X1,…,X10是来自总体X的简单随机样本,统计量(1<i<10)服从F分布,则i等于()。A、5B、4C、3D、2答案：D100.设随机变量X~B(1,1/4),Y~B(1,1/3),已知P{XY=1}=1/12,记ρ为X和Y的相关系数,则()。A、ρ=1B、ρ=-1C、ρ=0,但X,Y不独立D、X,Y相互独立答案：D解析：由于cov(X,Y)=E(XY)-EX•EY=(1×1/12+0×11/12)-1/4×1/3=0,所以ρ=0。

又P{X=1,Y=1}=P{XY=1}=1/12=P{X=1}P{Y=1};

P{X=0,Y=1}=P{Y=1}-P{X=1,Y=1}=1/3-1/12=1/4=P{X=0}P{Y=1};

同理可证P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0},P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}。

故X,Y相互独立。

101.设X1,X2,…,Xn,…为独立同分布的随机变量列,且均服从参数为λ(λ>1)的指数分布,记ψ(x)为标准正态分布函数,则()A、B、C、D、答案：C解析：因X1,X2,…,Xn,…为独立同分布的随机变量序列,且均服从参数为λ(λ>1)的指数分布,则由指数分布的期望、方差有E(Xi)=1/λ,D(Xi)=1/λ2,i=1,2,…,n,…。

于是

102.设随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布N(μ,σ2),则P{|X-Y|<1}()。[数一2019研]A、与μ无关,而与σ2有关B、与μ有关,而与σ2无关C、与μ,σ2都有关D、与μ,σ2都无关答案：A解析：因为X,Y相互独立且都服从N(μ,σ2),记Z=X-Y,则Z服从N(0,2σ2)分布,P{|Z|<1}只与σ2有关,因此P{|X-Y|<1}与μ无关,而与σ2有关,故选A。

103.假设X与Y是随机变量,其分布函数分别为FX(x),FY(y),如果它们的期望和方差都存在,现在有四个结论:

①X=Y;②P{X=Y}=1;③FX(x)=FY(y);④EX=EY,DX=DY,如果用“p⇒Q”,表示由结论P可以推出结论Q,则()。A、②⇒①⇒③B、②⇒③⇒④C、③⇒①⇒②D、③⇒②⇒④答案：B解析：CD两项,具有相同分布的随机变量并不意味着这两个随机变量相等或以概率1相等,即③⇒①,③⇒②不一定成立;A项,P{X=Y}=1也不意味着对一切样本点都有X(ω)=Y(ω),即②⇒①不一定成立;B项,如果P{X=Y}=1,则P{X≠Y}=0,FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,X=Y}=P{Y≤x,X=Y}=P{Y≤x}=FY(y),即②⇒③;又分布相同,相应的数字特征就应该相等(只要它们存在),所以③⇒④成立。

其他选项不成立,我们可以通过下面的例子加以说明,例:将一枚硬币随意投掷一次,记ω1=“掷出正面”,ω2=“掷出反面”,则样本空间Ω={ω1,ω2},令显然P(ω2)=1/2,,,X与Y同分布,且EX=EY,DX=DY,然而X(ω1)=1≠Y(ω1)=0,并且P{ω|X(ω)=Y(ω)}=P(∅)=0,即③、④成立,但①、②都不成立。

104.对任意正整数m,n,随机变量X都满足P{X>m+n|X>m}=P{X>n},记P{X<1}=p,则下列结论中一定不正确的是()。A、p=0B、p>0C、p<1D、p=1答案：D解析：离散型随机变量中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足题设条件,若X服从几何分布,则P=P{X<1}=0,若X服从指数分布,则P=P{X<1}=1-e-λ,且0<p

</p

105.设f1(x)是标准正态分布的概率密度函数,f2(x)是[-1,3]上均匀分布的概率密度,且为概率密度,则a,b应满足()。A、2a+3b=4B、3a+2b=44C、a+b=1D、a+b=2答案：A解析：

106.设(X,Y)具有密度函数,则()。A、(X,Y)服从二维正态,且X与Y服从一维正态分布B、(X,Y)服从二维正态,但X与Y不服从一维正态分布C、(X,Y)不服从二维正态,且X与Y不服从一维正态分布D、(X,Y)不服从二维正态,但X与Y服从一维正态分布答案：D解析：二维正态分布应具有密度函数

107.假设随机变量X与Y相互独立具有非零的方差,DX≠DY,则()。A、3X+1与4Y-2相关B、X+Y与X-Y不相关C、X+Y与2Y+1相互独立D、eX与2Y+1相互独立答案：D解析：由于X与Y相互独立,故eX与2Y+1相互独立,D项正确。

事实上,当x>0时,P{eX≤x,2Y+1≤y}=P{X≤lnx,Y≤(y-1)/2}=P{X≤lnx}•P{Y≤(y-1)/2}=P{eX≤x}•P{2Y+1≤y}。

而当X≤0时P{eX≤X}=0,所以P{eX≤x,2Y+1≤y}=0=P{eX≤x}•P{2Y+1≤y}。

由此可知eX与2Y+1相互独立,A、B、C三项不成立,是由于

Cov(3X+1,4Y-2)=12cov(X,Y)=0⇒3X+1与4Y-2不相关;

Cov(X+Y,X-Y)=cov(X,X)-cov(Y,Y)=DX-DY≠0⇒X+Y与X-Y相关;

Cov(X+Y,2Y+1)=2cov(X,Y)+2cov(Y,Y)=2DY≠0⇒X+Y与2Y+1相关,X+Y与2Y+1不相互独立。

108.已知A,B为随机事件,0<P(A)<1,0A、P(B|A)=P(B|A(_))B、P(A|B)=P(A|B(_))C、P(B(_)|A)=P(A|B(_))D、P(A|B)=P(A(_)|B)答案：C解析：已知P(A(_)|B)=P(B|A(_))⇔P(B)=P(A(_))=1-P(A)⇔P(A)+P(B)=1。

AB两项,是A与B独立的充要条件,因此不能选。由“对称性”知选项C正确。D项,P(B(_)|A)=P(A|B(_))⇔P(A)=P(B(_))=1-P(B)⇔P(A)+P(B)=1;又P(A|B)=P(A(_)|B)=1-P(A|B)⇔P(A|B)=1/2,即P(AB)/P(B)=1/2,P(AB)=P(B)/2,此与P(A(_)|B)=P(B|A(_))不等价。

109.设随机变量X和Y相互独立且均服从下列分布:,则下列随机变量中服从二项分布的是()。A、X+YB、X-YC、(X+Y)/2+1D、(X-Y)/2-1答案：C解析：由题意知,X+Y的可能取值为-2,0,2,故(X+Y)/2+1的可能取值为0,1,2,且P[(X+Y)/2+1=k]=C2kpk(1-p)2-k,k=0,1,2。

110.现有10张奖券,其中8张2元,2张5元,今从中一次取三张,则得奖金X的数学期望EX为A、6B、7.8C、8.4D、9答案：B解析：解法一:X的分布律为

表4-3

111.假设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,…,Xn是取自总体X的简单随机样本(n>1),其均值为X(_),如果P{|X-μ|<a}=P{|X(_)-μ|A、与σ及n都有关B、与σ及n都无关C、与σ无关,与n有关D、与σ有关,与n无关答案：C解析：依题设X~N(μ,σ2),X(_)~N(μ,σ2/n)⇒,

如果P{|X-μ|<a}=P{|X(_)-μ|<b},则有

</b},则有

112.设随机变量X和y同分布,概率密度为且E[n(x+2y)]=0,则a的值为()。A、1/2B、1/3C、1/(2θ2)D、2/(3θ)答案：A解析：由题意知,

113.设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,事件A={X≥0},B={X≥2},C={X<2},D={X=5},则下列结论一定正确的是()。A、A,B,C相互独立B、A,B,D相互独立C、B,C,D相互独立D、A,B,C,D两两独立答案：B解析：X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,得P(A)=1,P(D)=0,概率为0或1的事件与任何事件都是相互独立的,又C=B(_)且P(B)与P(C)均大于零,因此P(BC)=0≠P(B)P(C),即B与C不独立,因此答案选B。

114.假设随机变量X与Y的相关系数为ρ,则ρ=1的充要条件是()。A、Y=aX+b(a>0)B、cov(X,Y)=1,DX=DY=1C、cov(X,Y)=1/4,D、D(X+Y)=(DX1/2+DY1/2)答案：D解析：显然A、B、C三项是ρ=1的充分条件但不是必要条件,因此选D项。事实上ρ=1⇔⇔⇔。

115.设随机变量X~N(μ,σ2),且满足P{X<σ}A、0<μ/σ<1B、μ/σ>1C、μ/σ=1D、μ/σ<0答案：B116.设随机变量X~B(1,1/2),Y~B(1,1/2),已知X与Y的相关系数ρ=1,则P{X=0,Y=1}的值必为()。A、0B、1/4C、1/2D、1答案：A解析：由题意知,EX=EY=1/2,DX=DY=1/4;又,故cov(X,Y)=1/4,又cov(X,Y)=E(XY)-EX•EY,即1/4=E(XY)-1/2·1/2,所以E(XY)=1/2,由于XY的取值只有0和1;因此P{XY=1}=1/2,即P{X=1,Y=1}=1/2,P{X=0,Y=1}=P{Y=1}-P{X=1,Y=1}=1/2-1/2=0。

117.已知随机变量X与Y的相关系数大于零,则()。A、D(X+Y)≥DX+DYB、D(X+Y)<DX+DYC、D(X-Y)≥DX+DYD、D(X-Y)<DX+DY答案：D解析：应用公式D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)来确定正确选项,由于X与Y的相关系数,故ρ>0⇔cov(X,Y)>0。

所以D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)>DX+DY,

D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)<DX+DY。

118.设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,σ2)的简单随机样本,则统计量服从的分布是()。[数三2014研]A、F(1,1)B、F(2,1)C、t(1)D、t(2)答案：C解析：由题意知,,X1-X2~N(0,2σ2),,X3~N(0,σ2),所以X3/σ~N(0,1),X32/σ2~χ2(1),且与X3/σ相互独立,故

119.已知X~N(15,4),若X的值落入区间(-∞,x1),(x1,x2),(x2,x3),(x3,x4),(x4,+∞)内的概率之比为7:24:38:24:7,则x1,x2,x3,x4分别为()。A、12,13.5,16.5,18B、11.5,13.5,16.5,18.5C、12,14,16,18D、11,14,16,19

附:标准正态分布函数值Φ(1.5)=0.93,Φ(0.5)=0.69。答案：C解析：X落入(-∞,x1),(x1,x2),(x2,x3),(x3,x4),(x4,+∞)的概率应为7/100,24/100,38/100,24/100,7/100,即0.07,0.24,0.38,0.24,0.07。

P{X≤x4}=1-P{X>x4}=1-0.07=0.93=Φ(1.5)

而X~N(15,4),所以(X-15)/2~N(0,1),

P{X≤x4}=P{(X-15)/2≤(x4-15)/2}=Φ((x4-15)/2)

所以(x4-15)/2=1.5,解得x4=18。

又P{X≤x3}=1-P{X>x3}=1-0.24-0.07=0.69=Φ(0.5),

P{X≤x3}=P{(X-15)/2≤(x3-15)/2}=Φ((x3-15)/2),得(x3-15)/2=0.5,故x3=16。

由对称性知x1与x4,x2与x3都关于15对称,所以x1=15-(x4-15)=12,x2=15-(x3-15)=14。

120.设随机变量X和Y相互独立同分布,已知P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,0<p<1,则Ρ{X>Y}的值为()。A、p(2-p)B、(1-p)/(2-p)C、p/(1-p)D、2p/(1-p)答案：B解析：解法一:

121.设X1,X2,X3,X4为来自总体X~N(1,1)的简单随机样本,且服从χ2(n)分布,则常数k和χ2分布的自由度n分别为()。A、k=1/4,n=4B、k=1/2,n=1C、k=1/4,n=1D、k=1/2,n=4答案：C解析：由于,则,,故。122.假设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为λ的指数分布,Y的分布律为Ρ{Y=1}=Ρ(Y=-1)=1/2,则X+Y的分布函数()。A、是连续函数B、恰有一个间断点的阶梯函数C、恰有一个间断点的非阶梯函数D、至少有两个间断点答案：A解析：依题意,要通过确定Z=X+Y的分布函数FZ(z)有几个间断点来确定正确选项。由于FZ(z)在Z=a间断点FZ(a)-FZ(a-0)≠P{Z=a}≠0,故我们可以通过计算概率P{Z=a}或求Z=X+Y的分布函数来确定正确选项。

解法一(概率法):由全概率公式知,对∀a∈R,

P{X+Y=a}=P{X+Y=a,Y=1}+P{X+Y=a,Y=-1}=P{X=a-1,Y=1}+P{X=a+1,Y=-1}≤P{X=a-1}+P{X=a+1}=0

所以X+Y的分布函数是连续函数,选择A项。

解法二(分布函数法):

已知,又X与Y相互独立,所以应用全概公式得X+Y的分布函数

123.假设随机变量X的密度函数f(x)是偶函数,其分布函数为F(x),则()。A、F(x)是偶函数B、F(x)是奇函数C、F(x)+F(-x)=1D、2F(x)-F(-x)=1答案：C解析：AB两项,由于F(x)是单调不减的非负函数,所以不成立。CD两项,已知f(x)是偶函数,因此有

124.设总体X的分布为

表7-1

A、1-X(_)B、(1-X(_))/5C、1/5-X(_)D、1-X(_)/5答案：B解析：由已知得一阶矩估计为A1=X(_),令期望值等于一阶矩估计值,即EX=(-1)(2θ)+0•θ+1•(1-3θ)=1-5θ=X(_),解得θ(∧)=(1-X(_))/5。

125.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,-1;1,4;0),则下列结论中不正确的是()。A、X与Y相互独立B、aX+bY服从正态分布C、P{X-Y<1}=1/2D、P{X+Y<1}=1/2答案：D解析：由题设可知,ρxy=0⇒X与Y独立(因为(X,Y)服从二维正态分布)。由二维正态分布的性质可知,aX+bY仍服从正态分布,且E(X-Y)=1,E(X+Y)=-1,再根据正态分布的图形可知其数学期望左右两侧取值的概率为1/2,可见D项不正确。

126.设A、B、C为事件,P(ABC)>0,则P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是()。A、P(A|C)=P(A)B、P(B|C)=P(B)C、P(AB|C)=P(AB)D、P(B|AC)=P(B|C)答案：D解析：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指:在C发生的条件下,A与B独立,所以“在C发生的条件下,A发生与否不影响B发生的概率”,即P(B|AC)=P(B|C)。也可以通过计算来确定选项,事实上,P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)P(B|AC)=P(B|C),选项(A)、(B)、(C)分别是A与C、B与C、AB与C独立的充要条件。

127.设随机变量X与Y相互独立且都服从标准正态分布N(0,1),则()。A、Ρ{X+Y≥0}=1/4B、Ρ{X-Y≥0}=1/4C、Ρ{max(X,Y)≥0}=1/4D、Ρ{min(X,Y)≥0}=1/4答案：D128.设随机变量X服从正态分布N(1,σ2),其分布函数为F(X),则对任意实数X,有()。A、F(X)+F(-X)=1B、F(1+X)+F(1-X)=1C、F(X+1)+F(X-1)=1D、F(1-X)+F(X-1)=1答案：B解析：由于X~N(1,σ2),所以X的密度函数f(X)的图形是关于X=1对称的,如下图所示,而是曲边梯形面积,由此即知B项正确。当然也可以应用特殊值(例如取X=0)通过计算Φ[(x-1)/σ]来确定正确选项,可自行计算得到正确选项。

129.设随机变量N(μ,σ2),σ>0其分布函数F(X)的曲线的拐点为(a,b),则(a,b)为()。A、(μ,σ)B、C、(μ,1/2)D、(0,σ)答案：C解析：X~N(μ,σ),其密度函数。F(X)的拐点的X坐标a应有F″(a)=f′(a)=0,故a=μ为f(X)的驻点,当X=μ时,F(μ)=1/2,故曲线拐点在(μ,1/2)。

简答题1.设离散型二维随机变量(X,Y)的取值为(xi,yj)(i,j=1,2),且P{X=x2}=3/4,P{Y=y1|X=x2}=2/3,P{X=x1|Y=y1}=1/4,试求:

(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合概率分布;

(Ⅱ)X与Y的相关系数ρXY;

(Ⅲ)条件概率P{Y=yj|X=x1},j=1,2。答案：依题意,随机变量x与y的可能取值分别为x1,x2与y1,y2,且P{X=x1}=1-P{X=x2}=1-3/4=1/4,

又题设P{X=x1|Y=y1}=1/4,于是有P{X=x1|Y=y1}=P{X=x1},即事件{X=x1}与事件{Y=y1}相互独立,因而{X=x1}的对立事件{X=x2}与{Y=Y1}独立,且{X=x1}与{Y=y1}的对立事件{Y=y2}独立;{X=x2}与{Y=y2}独立,即x与y相互独立。

(Ⅰ)因x与y独立,所以有

P{Y=y1}=P{Y=y1|X=x2}=2/3

P{Y=y2}=1-P{Y=y1}=1/3

P{X=x1,Y=y1}=P{X=x1}P{Y=y1}=(1/4)·(2/3)=1/6

P{X=x1,Y=y2}=P{X=x1}P{Y=y2}=(1/4)·(1/3)=1/12

P{X=x2,Y=y1}=P{X=x2}P{Y=y1}=(3/4)·(2/3)=1/2

P{X=x2,Y=y2}=P{X=x2}P{Y=y2}=(3/4)·(1/3)=1/4或P{X=x2,Y=y2}=1-1/6-1/12-1/2=1/4

于是(X,Y)的联合概率分布为

表3-12

2.设随机变量X1,X2,X3相互独立,,其中X1在[0,1]上服从均匀分布,X2~N(0,22),X3服从于P3).求E[(X1-2X2+3X3)2]。答案：由X1~U(0,1),X2~N(0,22),X3~P3),则3.设二维随机变量(X,Y)服从参数为0,0,σ12,σ22,ρ的二维正态分布,其中σ12≠σ22.若X1=Xcosα+Ysinα,Y1=-Xsinα+Ycosα,且α