数学22《等差数列》教案(苏教版必修5)6643

第6课时：§2.2等差数列（4）【三维目标】：一、知识与技术进一步娴熟掌握等差数列的通项公式和前n项和公式2.认识等差数列的一些性质，并会用它们解决一些有关问题；会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值；掌握等差数列前n项和中奇数项和与偶数项和的性质。使学生会运用等差数列前n项和的公式解决有关问题，进而提升学生剖析问题、解决问题的能力二、过程与方法经历公式应用的过程；三、感情、态度与价值观经过有关内容在实质生活中的应用，使学生再一次感觉数学源于生活，又服务于生活的适用性，指引学生要擅长察看生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。【教课要点与难点】：要点：等差数列n项和公式的应用难点：灵巧应用乞降公式解决问题【学法与教课器具】：学法：教课器具：多媒体、实物投影仪.【讲课种类】：新讲课【课时安排】：1课时【教课思路】：一、创建情形，揭露课题，研探新知等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的乞降公式。等差数列的性质：已知数列{an}是等差数列，则（1）对随意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)；nm（2）若m，n，p，qN且mnpq，则aaapamnq（3）等差数列前n项和公式：Snn(a12an)或Snna1n(n1)d2注意：①等差数列前n项和公式又可化成式子：Sndn2(a1d)n，当d0，此式可看作二次22项系数为d，一次项系数为ad，常数项为零的二次式；②当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn212有最大值；③图象：抛物线ydx2(a1d)x上的一群独立点。22（4）利用an与Sn的关系：an

S1(n1)SnSn1(n2)二、怀疑辩论，排难解惑，发展思想例1在等差数列an中，S10100，S10010，求S110？10a1109d1001092a1解法一：设该等差数列首项a1，公差d，则10，所以，10099d1100a110d25S110110a1110109d110．2解法二：在等差数列中，S10,S20－S10,S30－S20,,S100－S90,S110－S100,成等差数列，∴新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10S10＋109·D＝S100＝10,解得D＝－22∴S1102－S100＝S10＋10×D＝－120,∴S110＝－110.拓展练习1：在等差数列中，Spq，Sqp，则Spq(pq)．拓展练习2：已知数列an,是等差数列，Sn是其前n项和，若Smn，Snm，求Smn拓展练习3：已知等差数列前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项的和。（介绍挨次k项成等差）例2已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。解：设项数为2k1，奇数项和记为S奇，偶数项和记为S偶，由题意，S奇a1a3La2k1(a1a2k1)(k1)44①2S偶a2a4La2k(a2a2k)k33②①②得，k1442，解得k3，∴项数为7项，又S奇11ak144，∴ak111，即11k33中间项为．说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇S偶nd；②S奇an；S偶an1（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①SSan中；②S奇n．奇偶S偶n1例3在等差数列中，a1023，a2522，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？（3）求an前n项和？解：设等差数列an中，公差为d，由题意得：a25a1015d45a15023a1(101)(3)d3（1）设第n项开始为负，an503(n1)533n0，n53，所以从第18项开始为负。3（2）（法一）设前n项和为Sn，则Snn(n1)3)32103n310323103250n2(2n2(n)2()，所以，当n17时，前17项和最大。266（法二）an0533n050n5317．an1，则3n，3，所以n05003（3）an533n533n,0n173n53,n17，∴S'na1a2a3Lana1a2La17(a18a19Lan)，当n17时，S'n3n2103n，当n17时，S'n(3n2103n)2S173n2103n884，2222223n2103n(n17)'22．所以，Sn3n2103n)3n2103n(2S17884(n17)2222说明：（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）；②若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可以下确立an0an0．an10或an10例4已知数列an的前n项和为（1）Sn2n2n；（2）Snn2n1，求数列an的通项公式。例5（教材P例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生42纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大概是多少米（精准到0.1m）?解：卫生纸的厚度为0.1mm，能够把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组齐心圆，而后分别计算各圆的周长，再求总和。由内向外各圈的半径分别为20.05,20.15,L,59.95所以各圈的周长分别为40.1,40.3,L,119.9∵各圈半径构成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则59.9520.05(n1)0.1，∴n400∴各圈的周长构成一个首项为40.1，公差为0.2，项数为40的等差数列，Sn40040.1400(4001)0.232000(mm)32000(mm)100(m)2100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。答：满盘时卫生纸的总长度约是例6（教材P42例6）教育积蓄是一种零存整取按期积蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育积蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假定零存整取3年期教育积蓄的月利率为2.1‰．（1）欲在3年后一次支取本息共计2万元，每个月大概存入多少元？（2）零存整取3年期教育积蓄每个月至多存入多少元？此时3年后本息共计约为多少？（精准到1元）？说明：教育积蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总数不超出2万元。解：（1）设每个月存入A元，则有A(12.1‰）A(122.1‰）LA(1362.1‰）20000.由等差数列的乞降公式，得：A(36362.1‰36352.1‰）20000.解得：A535（元）220000（2）因为教育积蓄的存款总数不超出2万元，∴3年期教育积蓄每个月至多可存入555（元），36这样3年后的本息和为555(12.1‰）555(122.1‰）L555(1362.1‰）555(36362.1‰36352.1‰）20756（元）。2答：欲在3年后一次支取本息共计2万元，每个月大概存入535元。3年期教育积蓄每个月至多存入555元，此时3年后本息共计约20756元。四、稳固深入，反应改正1.教材P44习题2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为S奇3