2020高中数学 第四章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义训练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精2。1实际问题中导数的意义[A组基础巩固]1．已知函数y＝f（x)，x∈R,则f′（x0）表示（）A．自变量x＝x0时对应的函数值B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率C．函数值y在x＝x0时的平均变化率D．无意义解析:由导数的概念可知选B.答案:B2．速度v关于时间t的函数关系式为v＝f(t)＝t2－10t，则t＝1时的加速度为(）A．－9 B．－8C．9 D．8解析：f′（t)＝2t－10,∴f′（1）＝2×1－10＝－8，即为t＝1时的加速度．答案：B3．从时刻t＝0开始的ts内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5s时电流强度为()A．27C/s B．20C/sC．25C/s D．23C/s解析：某种导体的电量q在5s时的瞬时变化率就是第5s时的电流强度．∵q′＝4t＋3，∴当t＝5时,电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．答案：D4．某公司的盈利y(元）和时间x(天）的函数关系是y＝f（x),假设f（x）〉0恒成立，且f′（10)＝10，f′（20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析:导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了,但还是增加的．答案：D5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移（单位:m）关于时间（单位：s)的函数为s(t)＝－eq\f(1,3）t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（）A．汽车刹车后1s内的位移B．汽车刹车后1s内的平均速度C．汽车刹车后1s时的瞬时速度D．汽车刹车后1s时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．答案：C6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.解析:s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，则t＝eq\f(3,2）。答案：eq\f（3，2)7．某商品价格P（单位：元）与时间t（单位：年）有函数关系式P(t)＝(1＋10%)t,那么在第8个年头此商品价格的变化速度是________．解析:P′（t)＝1。1tln1.1，∴P′（8)＝1.18ln1.1（元/年）．答案：1.18ln1。18．某国家在20年期间的年平均通货膨胀率为5%，物价P(单位：元)和时间t（单位：年）有如下函数关系：P（t）＝P0（1＋5%）t，P0为t＝0时的物价,假定某种商品为P0＝1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是________(精确到0.01)．解析:∵P′（t）＝1.05tln1.05，∴P′(10)＝1。0510ln1.05≈0.08（元/年)．答案:0.08元/年9．若某段导体通过的电量Q(单位：C）与时间t(单位:s）的函数关系为Q＝f(t)＝eq\f（1，20)t2＋t－80，t∈[0，30］,求f′（15）的值并解释它的实际意义．解析：Q′＝f′（t）＝eq\f（1,10)t＋1，令t＝15，则f′(15)＝eq\f(5，2)（C/s)，这表示t＝15s时的电流强度,即单位时间内通过的电量．10．某厂生产x吨产品获利y万元，y是x的函数，设函数为y＝f(x)＝－eq\f（1，8)x2＋21x－100.(1）当x从4变到8时,y关于x的平均变化率是多少?它代表什么实际意义？（2)求f′(84)并解释它的实际意义．解析：（1）当x从4变到8时，y关于x的平均变化率为eq\f(f8－f4，8－4）＝eq\f(60－－18，8－4）＝19.5（万元/吨），它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．(2)f′（x)＝－eq\f（1，4)x＋21，于是f′（84)＝0，f′（84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，利润增加为0，即利润不变．［B组能力提升］1．某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t（单位：h)的函数,关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2h这一时刻的高度变化的速度是(）A．500m/h B．1000m/hC．400m/h D．1200m/h解析:∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400（m/h)．答案:C2．如图所示,设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是(）解析:由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符;选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际．所以应选D.答案：D3．某物体的位移与时间的函数s＝2t3－at，物体在t＝1时的速度为8，则a的值为________．解析：s′＝6t2－a，由题意得6×12－a＝8，∴a＝－2.答案:－24．建造一幢长度为xm的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f（x)＝eq\f(1,10）(x2＋x＋3)（x>0)．(1)当x从100变到200时,平均每米的成本为________；（2）f′（100）＝________，其实际意义为________．解析:(1)f(100）＝1010.3，f(200)＝4020。3，∴eq\f（f200－f100，200－100）＝30.1（万元/m），即平均变化率为30.1万元/m.（2）f′(x）＝eq\f(1，10)（2x＋1)，∴f′(100）＝20.1（万元/m），即当长度为100m时，每增加1m的长度，成本就增加20.1万元．答案：（1)30。1万元（2）20。1万元/m当长度为100m时，每增加1m的长度成本就增加20。1万元5．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距A光源x米，已知点P受两个光源的总光照度I（x）＝eq\f(8,x2）＋eq\f（1，10－x2),其单位为：勒克斯．（1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义?(2)求I′(5)并解释它的实际意义．解析:（1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为eq\f（I8－I5，8－5）＝eq\f（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，8)＋\f（1，4）)）－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（8,25)＋\f(1,25）))，3)＝eq\f(\f（3，200）,3)＝0.005（勒克斯/米），它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0。005勒克斯．(2）∵I(x)＝eq\f（8,x2）＋eq\f(1,100－20x＋x2）∴I′(x)＝8（－2x－3）＋eq