2020高中数学 第三章 变化率与导数 计算导数训练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE7-学必求其心得，业必贵于专精3计算导数[A组基础巩固]1．若f(x）＝eq\r(3，x)，则f′(－1）等于(）A．0 B．－eq\f（1，3)C．3 D.eq\f（1，3）解析：∵f（x)＝eq\r(3，x）＝，∴f′(x）＝,∴f′(－1）＝eq\f（1,3)。故选D.答案:D2．曲线f（x）＝ex在点A（0,1)处的切线斜率为（)A．1 B．2C．e D.eq\f(1,e)解析：∵f（x)＝ex,∴f′(x)＝ex，∴f′（0）＝1.即曲线f(x）＝ex在点（0，1）处的切线的斜率为1.答案：A3．给出下列结论：①若y＝eq\f（1,x3）,则y′＝－eq\f（3，x4）；②若y＝3eq\r（x)，则y′＝eq\f(1,3)3eq\r(x)；③若f(x)＝sinα,则f′（x)＝cosα;④若f(x）＝3x，则f′（1)＝3.其中，正确的个数是(）A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析:对于②y＝3eq\r(x)，y′＝，故②错；对于③,f(x）＝sinα,为常数函数，∴f′（x）＝0，故③错；①④都正确．答案：B4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直,则l的方程为（）A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析：由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为（x0，y0），则k＝4xeq\o\al（3，0)＝4，∴x0＝1,∴切点为（1,1)，所以l的方程为y－1＝4（x－1)，即4x－y－3＝0.答案：A5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标所围成三角形的面积为（）A.eq\f（9,4）e2 B．2e2C．e2 D.eq\f(e2，2）解析：切线方程为y－e2＝e2(x－2）．x＝0时,y＝－e2；y＝0时,x＝1。故切线与坐标轴围成的三角形的面积为eq\f（1,2)×｜－e2|×1＝eq\f(e2,2).故选D。答案:D6．若f（x)＝sinx，则f′(2π)＝________.解析：∵f(x)＝sinx，∴f′（x)＝cosx，∴f′（2π)＝cos2π＝1。答案：17．已知f(x)＝x2，g(x）＝x，且满足f′(x)＋g′(x)＝3，则x的值为__________．解析：因为f′(x）＝2x，g′(x)＝1，所以2x＋1＝3,解得x＝1.答案：18．设直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线f(x)＝lnx（x〉0)的一条切线，则实数b的值为________．解析：f′(x)＝（lnx)′＝eq\f（1,x），设切点坐标为（x0，y0）,由题意得eq\f(1，x0)＝eq\f(1,2），则x0＝2，y0＝ln2，代入切线方程y＝eq\f(1，2)x＋b，得b＝ln2－1.答案：ln2－19．一运动物体的位移s（单位：m）关于时间t（单位：s)的函数关系式为s（t）＝t2，求s′(2），并说明它的意义．解析：∵s（t）＝t2，∴s′(t)＝（t2）′＝2t.∴s′（2）＝2×2＝4。s′(2）＝4说明此运动物体在2s时刻的瞬时速度为4m/s。10．若曲线y＝在点（a，）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．解析：∵y＝，∴y′＝－eq\f(1,2），∴过点（a，）的切线斜率k＝－eq\f（1,2），∴切线方程为y－＝－eq\f（1,2)(x－a)．令x＝0得y＝eq\f（3,2）;令y＝0得x＝3a。∴该切线与两坐标轴围成三角形的面积S＝eq\f（1，2）·3a·eq\f(3,2)＝eq\f（9,4）＝18，∴a＝64.[B组能力提升]1．已知P为曲线y＝lnx上的一动点,Q为直线y＝x＋1上的一动点，则|PQ|min＝（）A．0 B.eq\f（\r（2）,2)C。eq\r(2） D．2解析:如图，当直线l与曲线y＝lnx相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为|PQ｜的最小值．易知（lnx）′＝eq\f（1,x），令eq\f（1，x)＝1，得x＝1。故此时点P的坐标为（1,0），所以|PQ|min＝eq\f（2，\r(2））＝eq\r(2).答案：C2．已知0〈x〈eq\f（1,4），f（x)＝x2，g(x)＝eq\r(x）,则f′(x)与g′（x）之间的大小关系是________．解析：f′（x）＝2x，g′（x)＝eq\f（1，2\r(x)），因为0〈x〈eq\f(1，4），所以f′(x)＝2x∈(0，eq\f(1,2)），g′（x）＝eq\f(1，2\r(x))∈（1，＋∞），所以f′(x）〈g′（x)．答案：f′（x）<g′（x)3．曲线y＝log2x在点（1，0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为__________．解析：y′＝eq\f（1，x·ln2）＝eq\f(1，x）·log2e，所以切线的斜率k＝y′eq\a\vs4\al(|x＝1）＝log2e,切线方程为y＝(x－1)log2e，令x＝0，得y＝－log2e，令y＝0，得x＝1，因此所求三角形的面积S＝eq\f(1，2)×1×log2e＝eq\f(1，2）log2e.答案:eq\f（1，2)log2e4．求过曲线y＝cosx上点P(eq\f(π，3),eq\f(1,2）），且与过这点的切线垂直的直线方程．解析：∵y＝f(x)＝cosx，∴f′（x）＝－sinx，∴f′（eq\f（π,3))＝－eq\f(\r(3），2).∴过点P且与切线垂直的直线斜率为eq\f(2，\r(3））。∴所求直线方程为y－eq\f(1,2）＝eq\f（2,\r（3））(x－eq\f(π,3)),即2x－eq\r（3）y－eq\f(2π，3)＋eq\f（\r（3），2)＝0.5．讨论关于x的方程lnx＝kx解的个数．解析:如图,方程lnx＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝lnx的交点的个数．设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点P（x0，lnx0)，则kx0＝lnx0.∵（lnx）′＝eq\f（1，x)，∴k＝eq