高中总复习理科数学配人教A版-课后习题Word-单元质检卷单元质检8　立体几何(B)

单元质检八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:由三视图得到空间几何体,如图所示,则PA⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC.又BC⊥AB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.在△PCD中,PD=22,PC=3,CD=5,所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△PAB,△PAD,△PBC,共3个.2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.则假命题的个数为()A.4 B.3 C.2 D.1答案:B解析:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行时,也会满足前面的条件;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的;④若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α可以是任意的夹角.故选B.3.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A.20° B.40° C.50° D.90°答案:B解析:由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则∠AOB=40°,∴∠COA=50°.又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.∴晷针与点A处的水平面所成角为40°,故选B.4.如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()A.2π9 B.4π9 C.2答案:A解析:MN=2,则DP=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球面的一部分,则球的体积为V=43π·r3=4∵∠BAD=60°,∴∠ADC=120°,120°为360°的13,只取半球的1则V'=4π5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图,四边形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是()A.203 B.83+23 C.1023答案:C解析:过E作EG⊥平面ABCD,垂足为G,过F作FH⊥平面ABCD,垂足为H,过G作PQ∥AD,交AB于Q,交CD于P,过H作MN∥BC,交AB于N,交CD于M,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,∴四边形PMNQ是边长为2的正方形,EG=(3)2-12=2,∴这个几何体的体积V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM=13×1×2×2×2+12×26.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,平面α过直线BD,α⊥平面AB1C,α∩平面AB1C=m,平面β过直线A1C1,β∥平面AB1C,β∩平面ADD1A1=n,则m,n所成角的余弦值为()A.0 B.1C.22 D.答案:D解析:如图所示,∵BD1⊥平面AB1C,平面α过直线BD,α⊥平面AB1C,∴平面α即为平面DBB1D1.设AC∩BD=O.∴α∩平面AB1C=OB1=m.∵平面A1C1D过直线A1C1,与平面AB1C平行,而平面β过直线A1C1,β∥平面AB1C,∴平面A1C1D即为平面β.β∩平面ADD1A1=A1D=n,又A1D∥B1C,∴m,n所成角为∠OB1C,由△AB1C为正三角形,则cos∠OB1C=cosπ6=32二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M,则四棱锥M-EFGH的体积为.

答案:1解析:由题意可知,四棱锥M-EFGH的底面EFGH为正方形且边长为22,其高为1所以V四棱锥M-EFGH=138.已知球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为.

答案:3解析:记球O的半径为R,由△ABC是边长为2的正三角形,且O,A,B,C四点共面,易求R=23作SD⊥AB于D,连接OD,OS,易知SD⊥平面ABC,注意到SD=SO2-OD2=R2-OD2,因此要使SD最大,则需OD最小因为三棱锥S-ABC的体积为13S△ABC·SD=13×34×22所以三棱锥S-ABC的体积的最大值为33×1=3三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.答案:(1)证明如图,连接BD交AC于点O,连接EO.因为底面ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又因为E为PD的中点,所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP的方向为x轴、y轴、则点P(0,0,1),D(0,3,0),E0,设点B(m,0,0)(m>0),则点C(m,3,0),AC=(m,3,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则n可取n1=3m由题意得n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量.由题设|cos<n1,n2>|=12即33+4m2=1因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为12三棱锥E-ACD的体积V=1310.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求证:PD⊥平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由答案:(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)解如图,取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.如图,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意,得点A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·PD=0,n·PC=0,所以n=(1,-2,2).因为PB=(1,1,-1),所以cos<n,PB>=n·PB|所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33(3)解设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1]使得AM=λAP.因此点M(0,1-λ,λ),BM=(-1,-λ,λ).因为BM⊄平面PCD,所以BM∥平面PCD当且仅当BM·n=0,即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=14所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD,此时AMAP11.(15分)如图,AD∥BC,且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD,且EG=AD,CD∥FG,且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.解:依题意,以D为原点,分别以DA,DC,DG的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,可得点D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M0,32,(1)证明:依题意DC=(0,2,0),DE=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则n0·DC=0,n0·DE=0,即2y=0,2x+2z=0,不妨令z=-1,可得n0=(1,0,-1).又(2)依题意,可得BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则n·BC=0,n·BE=0设m=(x,y,z)为平面