概率论-4几种离散型分布

0—1二项泊松1一 分 EXc,EX2c2,DXc2c2EXc,DX二、0--1分布(两点分布P{X1}p,P{X0}1EXp,EX2p,DXpp2p(1p)EXp,DXp(1p).2三、n 试满足下面四个特征每次试验都是在相同条各次试验是相互独立每次试验的结果发生的P(A)p,P(A)1p 如：抛一枚硬币n次.有放回地抽取n件产品.301则重 为 P(k)Ck 试验的样本空间包含的样本点的个数nCk

C0C1 Cnn

4 P{X0}P(A1A2A3A4A5)

555C155P{XiCi0.6i0.45ii55四、二项分 定义:如果 量X的概率分布为n ,)n其中0<p<1,q=1-p则称X服从参数为np的二项分布,简记作X~B(n,p).其中n为试验次数,p为每次试验中事件A发生的概率二二项分布中X的可能取值X的取值的概率分布6

EXkCnp

kCnp

k k!(nnn

k1(k1)!(n

Ck1pk1qnknp

k1

p p

nn

kCnp

k2Cknn

k2 pkqn k!(n

p

11)n

n

n(n1)Cn2p nCn1p

n

nn(n1)p2Ck2n(n1)p2

npCk1DXEX2(EX)2n(n1)p2npn2p2npnp2n ,)n :P{X2}P{X2}P{X1}P{X 可以看到当较大时方算项分较n小于等于布随 量的分布函数值.9例设 均射中次数;(2)最多射中2次的概率;(3)至少射中2次的概率;;(4)射中4次的概率值. 量X,则F(4)P{XaP{Xa1F(a1);P{Xa}P{Xa}P{Xa1}F(a)F(aF(x)

Cnmpm(1CnX~B(np),YnX,Y~B(n,qpq,,, nP{Ym}P{nXm}P{XnnnCnmnY~

Cmqm

X~B(np),YnX~B(n,q),Y5X~P{X2}P{Y3}1P{Y2}10.9421条自动生产线产品的正品率为0.8,假设各件产品是否为次品相互独立连续生产20件求正品率不:例设一个汽车站某路 时间不超过4分钟的人数.X~U[0,5],Y~B(10p). 0

45

Z10Y,Z~P{Y8P{Z2例 X~B(n,p),EX6,DX4.2,P{XEX6DX4.2:q pX~

nP{X51P{X410.2375设X~B(n,p),X取值为0,1,...,n,使得概率最大的k,记为k0,称为二项分布的最可能值其中[np+p]表示不超过np+p的最大整数例如:若X~B(4,0.8), 所以,P(X=4)和P(X=3)的概率值最 若X~B(10,0.8),np+p=11×0.8=8.8,所以,P(X=8)的概率值最大

kk0npp和npp[np当npp例掷四 ,求“6点”出现的平均次数及点”出现的最可能的次数及相应的概率解:令X表示四 中“6点”出现的次数,显然“6点”出现的平均次数,即EXnp412 “6点”出现的最可能的次数npp21 [npp

105

5466 6 四、超几何分 设N个元素分为两类,有N1个元素属于第抽取n个,令X表示这n个元素中所含第一(或第二)类元素的个数,则称X服从以n,N1,N2为参数的超几何分布.(此处有,n≤N1+N2)X的概率分布为P(Xm)

nCC N2CCCC

(m0,1, , EX mP( m) m m

C CnN NCC C mC m

m!(N1m)!

CnNC NCnN

m

(N11)!(m1)!(N1m)!

CnNNkm1NNnN

n1 N

n

nN1C2EX 1C2

C kC

1C

CNNEXEXnN1,DXnN1N2NNNNN例10件产品中有6件合格，4件不合格，解：X服从以n=3,N1=6,N24为参数的P(Xm)

3CC CCC3C

(m0,1,2,nNN1pNP(Xm)

CmCn N2CnCn

Cmpmqnm(pq当N,nNn5%)NX~B(n,p)XnN1N2超几何分布,其中,pN1N,n,N 解：设X表示15只灯泡中一等品的数量, P(X2)F(2)0.3980五、泊松(possion)义 X为 ,布k P{Xk} ,k .(k!X,记为X~P()X~k利用级数ex kk k

易知PXm}m

m m

EX

m0

eem

m

m(m令km1,EXe

k0 k

ee若X~P(),有EXDX泊松分布的应用背 台的呼唤次数,候车的旅客数,原子放射粒子数,织机上断头的次数,以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂另外,对成功率为p的n重 例 P{X=2},P{X=5},因泊松分布的参数就是它的期望值=5.即泊松分布概率值表P{Xk} k!例设X~P(且PX1PX求PX X~p(

P{Xk} k!由P{X1P{X2}得 2！整理得,220, 即X~P(2).4于是PX

e24!Poisson定理：在n重实验中,成功次(0<pn<1),limnpn0,则有nlimP{Xm}limCmpm(1p m

(m0,1, ,m!很大,p很小时,二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布.(n≥100,p<0.1) 射击,每次命中的概率为0.02,独立射400次,试 次数不少于2次的概率解:设X表示400次 的次数 显然X~B(400,0.02)n较大，p较小，所以可np4000.02的泊松分布近似代替于是P{X21P{X1P{X1}P{X查10.002684大批产品的废品率为0.005,从中任取100件,解:设X表示100件产品中的废品数 显然X服从以n100为参数的超几何分布.其中,N较大,n较小,可用参数为n100,p0.005二项分布近似代替.另一方面,在该二项分布中,由于p相对于n来说比较小,又可以用参数为np1000.005的泊松分布近似代替查于是P{X2P{X0P{X1P{X0.6065310.303265例某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分由已知得X~P(),且EX0.8,X~P(0.8).PX4}1PX 查10.4493290.3594630.1437850.0383430.007669 例某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分产品价值的平均值品的价值.由已知得Y关于X的函数为： XYg(X)

1X XEY10P{X1}8P{1X10(0.4493290.359463)8(0.1437850.0383430.007669) 例设书籍中每