高一数学：《5-5 三角恒等变换》名校精品导学案

第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．重点：能用二倍角公式导出半角公式及进行简单的应用．难点：能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．1．你能填写出下面我们学习了的公式吗？；；。提出问题学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富．例７试以cosα表示sin2α2例８求证：（1）sinαcosβ=12[(2)sinθ+cosφ=2sin例８的证明用到了换元的方法．如把α+β看作θ，α-β看作φ，从而把包含α,β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式．或者，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x

，y的方程，则原问题转化为解方程（组）求x

．它们都体现了化归思想．例９求下列函数的周期，最大值和最小值：（１）y=sinx+3cosx；（２）例10如图5.5-2，已知OPQ是半径为１，圆心角为π2的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD1．若cosα＝eq\f(2,3)，α∈(0，π)，则coseq\f(α,2)的值为()A．eq\f(\r(6),6)B．－eq\f(\r(6),6)C．eq\f(\r(30),6)D．－eq\f(\r(30),6)2．已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，则sineq\f(α,2)等于()A．eq\f(\r(5),5)B．－eq\f(\r(5),5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(2\r(5),5)3．已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，则sin2α的值等于()A．eq\f(7,16)B．－eq\f(7,16)C．－eq\f(9,16)D．eq\f(9,16)4．函数y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期为________．5．求证：4sinθcos2eq\f(θ,2)＝2sinθ＋sin2θ.6、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现.如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式化成的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力.通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识．[来源:学参考答案：知识梳理学习过程例７解：α是α2的二倍角．在倍角公式cos2α=1-2sin2α中，以α代替2α得cosα=1-2sin所以sin2α2=在倍角公式cos2α=2cos2α-1中，以α代替2α，以得cosα=2cos所以cos2α2=将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2α例８证明：（１）因为sinα+β=sinαcosβ+sinα-β=将以上两式的左右两边分别相加，得sinα+β+sinα-β=即sinαcosβ=（2）由（1）可得sinα+β+sinα-β设α=θ+φ2把α，β代入①，即得sinθ+cosφ=2sin例９分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y=Asin(x+φ)

,利用和角公式将其展开，可化为）y=asinx+bcosx的形式．反之，利用和（差）角公式，可将y=asinx+bcosx转化为y=Asin(x+φ)的形式，进而就可以求得其周期和最值了．解：（1）y=sinx+3cosx=2（1=2（sinxcosπ3+cosxsin因此，所求周期为2π，最大值为２，最小值为－２．你能说说①这一步变形的理由吗？（２）设y=3sinx+4cosx=Asinx+φ则3sinx+4cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ于是Acosφ=3．于是A所以A2取A＝５，则cosφ=35,由y=5sin可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5例10分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行.①找出S与之间的函数关系;②由得出的函数关系,求S的最大值.解：在中,,.在中,,所以,,所以,.设矩形的面积为,则.对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:由,得.所以当,即时,因此,当时,矩形的面积最大,最大面积为.注：（1）在求解最大值时，要特别注意“”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.三、达标检测1．【解析】由题意知eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴coseq\f(α,2)>0，coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\f(\r(30),6).【答案】C2．【解析】由题知eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sineq\f(α,2)>0，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(5),5).【答案】A3．【解析】由sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝eq\f(25,16)，所以sin2α＝－eq\f(9,16).【答案】C4．【解析】∵y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴函数的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.【答案】π5．【证明】法一：左边＝2sinθ·2cos2eq\f(θ,2)＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ＋sin2θ＝右边，所以原式成立．法二：右边＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ·2cos2eq\f(θ,2)＝4sinθcos2eq\f(θ,2)＝左边，所以原式成立．6、【精彩点拨】eq\x(设∠AOB＝α)→eq\x(建立周长lα)→eq\x(求l的最大值)【解答】设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝eq\r(2)Rsineq\b\lc\(\rc\)