2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．D【分析】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答.【详解】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选：D2．直线：的一个方向向量的坐标为（

）A． B． C． D．D【分析】将直线的方程整理为斜截式，求得斜率，得到方向向量之一，利用直线的方向向量都共线，进而可以判定.【详解】直线的方程可以改写为：,斜率为,∴直线的一个方向向量的坐标为,直线的所有的方向向量的坐标为的形式，故只有D是正确的，对应的，其余的向量都与这个向量不共线，都是错误的.故选：D.3．已知向量，，且，则实数等于（

）A．1 B． C． D．A【分析】根据空间向量垂直的坐标运算得到方程，解之即可求出结果.【详解】，得.故选：A.4．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点在平面内的是（

）A． B． C． D．D【分析】只要给的点与点连接得到的向量与的一个法向量为垂直，则这个点就在平面内，否则不在平面内.【详解】解：设①②③④中的点分别为.对于A：令点，，则，所以，故A错误；对于B：令点，则，所以，故B错误；对于C：令点，则，所以，故C错误；对于D：令点，则，所以，故D正确.故选：D5．空间四边形中，，分别为，的中点，则等于（

）A． B． C． D．B【分析】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则可得解.【详解】如图，为的中点，.故选：B6．若圆过坐标原点，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1A【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．【详解】将代入圆方程，得，解得或0，当时，，满足题意；当时，，不满足题意.故选：C．7．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．A【分析】以矩形的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量数量积坐标公式可得异面直线所成的角．【详解】如图，以矩形的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，∵四边形为矩形，和都是正三角形，∴平面，且是线段的垂直平分线.设，则，∴，∴，∴，∴异面直线与所成的角为.故选：A8．若圆：上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．B【分析】分析可知：关于直线对称，点关于直线的对称点仍然在圆上，于是可以把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，直线经过点(0,1),即经过圆的圆心，所以关于直线对称，点关于直线的对称点仍然在圆上,为使得点在圆上，即满足题意的点存在的充分必要条件所以圆与圆有公共点，即相切或相交，圆心距为，所以只需，解得．故选：B.二、多选题9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（

）A． B． C． D．AC【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可.【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，当截距不为0时，设直线方程为，可得，∴，所以直线方程为,故选：AC.10．若，，与的夹角为120°，则的值为（

）A． B．17 C．1 D．BD【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解【详解】由题意得解得或故选：BD11．圆：和圆：相交于，两点，若点为圆上的动点，点为圆上的动点，则有（

）A．公共弦的长为 B．的最大值为C．圆上到直线距离等于的点有3个 D．到直线距离的最大值为BD【分析】将两圆相减得相交弦方程并求交点坐标，即可得；确定两圆的圆心坐标及其半径，求出圆心距，最大为圆心距加上两圆半径即可；求到直线的距离，判断与大小即可；求到直线的距离，即可确定到直线距离的最大值.【详解】由题设，将两圆方程相减，可得直线，联立圆并整理可得，所以或，可令，，故，A错误；又圆，圆，则、且半径分别为、，所以，要使的最大，即为，B正确；由点到直线的距离为，而，所以圆上到直线距离等于的点有2个，C错误；由到直线的距离为，则到直线距离的最大值为，D正确.故选：BD12．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（

）A．当，时，点D到直线PQ的距离为B．线段PQ的最小值为C．平面平面BCDD．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为BCD【分析】易知，从而平面，进而有平面平面，即可判断C；建立坐标系，利用向量法可判断ACD【详解】取的中点，连接，由题意可知：，因为，所以，又易知，因为，，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故C正确；以为原点，分别为轴建立坐标系，则，当，时，，，，，所以点D到直线PQ的距离为，故A错误；设，，由得，，，当时，，故B正确；当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，，，，，设PQ与AD所成的角为，则，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；故选：BCD三、填空题13．经过点和的直线的斜率为___________.【分析】由斜率公式计算．【详解】由已知所求直线斜率为．故．14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.【分析】根据投影向量的定义，应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，进而求即可.【详解】，所以向量在向量上的投影向量为.故15．若圆上，有且仅有一个点到的距离为1，则实数的值为____________.4或6##6或4【分析】考虑点在圆内和圆外两种情况，进而结合圆的性质求得答案.【详解】由题意，圆心与点的距离为，而圆上有且仅有一个点到的距离为1，根据圆的性质，若点在圆内，则，若点在圆外，则.故4或6.16．如图，在四棱台中，，，则的最小值为_________.【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.【详解】如图，设，则平面，故，的最小值即为四棱台的高.如下图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作平面，垂足为，连接，则，，因为，，故，故，而，故，所以，因为平面，故，而，故平面，因平面，故，故，故，即的最小值为，故答案为.四、解答题17．已知直线的倾斜角为60°.(1)若直线过点，求直线的方程；(2)若直线在轴上的截距为4，求直线的方程.(1)(2)【分析】（1）根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可求解；（2）根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的斜截式方程即可求解.【详解】（1）∵直线的倾斜角为60°，∴直线的斜率为，∵直线过点，∴由直线的点斜式方程得直线的方程为，即.（2）∵直线的倾斜角为60°，∴直线的斜率为，∵直线在轴上的截距为4，∴由直线的斜截式方程得直线的方程为.18．在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，.(1)试用，，表示向量；(2)若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.(1)(2)【分析】（1）根据给定条件利用空间向量线性运算直接写出并化简计算即可；（2）利用给定条件借助空间向量的数量积即可计算EF的长．【详解】（1）由已知，是的中点，在上，且，则所以（2）因为，，，即，且由（1）知的长为.19．已知圆C经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.(1)求圆C的方程；(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程.(1)(2)【分析】（1）将三点坐标代入圆的一般方程去求解即可得到圆C的方程；（2）以相关点法去求点M的轨迹方程即可解决.【详解】（1）设圆C的方程为则有，解之得则圆C的方程为（2）设，，则有，，由，可得，解之得由点A在圆C上，得即故点M的轨迹方程为.20．如图1，在边长为4的菱形中，，点是中点，将沿折起到的位置，使，如图2.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值.(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意证明平面可得，再结合即可证明平面；（2）结合（1）以，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，利用线面角的坐标法求解即可.【详解】（1）∵在菱形ABCD中，，于点E，∴，，∴，又∵，，平面，∴平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面；（2）∵平面，，∴以，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系（如图），则，，，，∴，，，设平面的法向量为，由，，得，令，得，∴，设直线与平面所成角为，所以，∴直线与平面所成角的余弦值为.21．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.(1)求圆的方程；(2)若圆与直线：交于两点，_____，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.(1)(2)或【分析】（1）设圆心和半径，根据题意列式求解，即可得圆的方程；（2）对①、②分析均可得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离运算求解.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，由题意可得，解得，即圆心，半径为，故圆的方程为.（2）选①：∵，则为等边三角形，，圆心到直线：的距离，则，解得或.选②：圆心到直线：的距离，则，解得或.22．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点.(1)若为线段的中点，求证：//平面；(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围.(1)见解析(2)【分析】（1）取中点为，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得DC⊥平面PAD，可以取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AD＝2，（），利用空间向量方法求得平面与平面夹角的余弦值关于的函数，研究单调性，从而得到取值范围.【详解】（1）取中点为，连接,在中，∵为的中点，为中点，∴,在正方形中，∵为的中点，∴,∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）在正三角形中，为的中点，∴，当时，∵平面，平面，∴AM⊥平面，又∵平面PCD，