2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高二年级上册学期第一阶段考试数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高二上学期第一阶段数学试题一、单选题1．已知，，且，则（

）A． B． C． D．A【分析】根据空间向量的坐标运算可求解.【详解】因为,所以,即,解得,故选:A.2．已知直线：，：，则与（

）A．通过平移两直线可能会重合 B．不可能会垂直C．通过绕上某点旋转可以重合 D．可能与轴围成等腰直角三角形C【分析】结合，根据直线的位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，若能通过平移两直线可能会重合，则两直线一定平行，故，显然矛盾，故错误；对于B选项，当时，两直线为垂直关系，故错误；对于C选项，由题知，与必相交，故通过绕与的交点旋转可以使得与重合，故正确；对于D选项，因为，所以直线：与轴不能垂直，因为：的斜率为，故与轴也不能垂直，所以，要想，与轴围成直角三角形，则，此时联立方程得与的交点坐标为，因为与轴交点为坐标原点，与轴交点为，显然不在的中垂线上，故此直角三角形不可能为等腰直角三角形，故D选项错误.故选：C3．已知，，，是平面内不共线的四点，为平面外一点，若，则（

）A． B． C． D．D【分析】由空间向量的共面定理的推论求解即可.【详解】因为，，，是平面内不共线的四点，，所以.故选：D4．已知，，，则以下与平面平行的向量是（

）A． B．C． D．A【分析】要使平面平行，则.【详解】,若，则平面平行.A选项中，则平面平行.B,C,D选项中，都不能表示成的形式，则平面不平行.故选：A5．已知圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．B【分析】求出圆心的坐标，设的中点为，由垂径定理可得，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.【详解】圆的标准方程为，圆心为，设的中点为，由垂径定理可知，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.故选：B.6．已知点，点在圆上，则△的面积的最小值为（

）A． B．3 C．2 D．D【分析】首先求出直线AB的方程和线段AB的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出△ABC的高的最小值，即可求解.【详解】圆的圆心，半径为1∵，则，直线圆心到直线的距离∵△ABC的面积最小时，点C到直线AB的距离最短，该最短距离即圆心到直线AB的距离减去圆的半径∴边上高的最小值为，则的最小值为故选：D.7．已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（

）A． B．或C． D．或C【分析】由题意设圆的标准方程为，由圆与直线相切得，在由圆截直线的弦长为得，联立解出即可解决问题.【详解】由题设所求圆的圆心为，半径为，标准方程为因为圆与直线相切，所以有圆心到该直线的距离为半径，即：，也即

①又圆截直线的弦长为，设圆的圆心为到直线的距离为，所以，由有

②联立①②可得：，所以所求得圆的标准方程为故选：C.8．已知直线：，圆：，为坐标原点．①若直线与圆相切，则的方程为②点到直线的距离的最大值为③若圆关于直线对称，则④若直线与圆交于，两点，则当或时，的面积有最大值以上说法正确的个数是（

）A． B． C． D．C【分析】取特殊值判断①；直线过定点，当时，点到直线的距离最大；由圆心在直线上得出；根据距离公式得出，再由二次函数的性质求解即可.【详解】当时，直线：，此时直线与圆相切，故①错误；直线：过定点，当时，点到直线的距离最大，最大值为，故②正确；若圆关于直线对称，则圆心在直线上，即，则，故③正确；设圆心到直线的距离为，则，，当时，的面积有最大值，此时，两边平方得，解得或，故④正确；故选：C二、多选题9．已知直线：经过点，以下说法正确的是（

）A．若，直线与两条坐标轴都相交B．直线的方程还可以写成C．直线的方程还可以写成D．若，则直线在两条坐标轴上的截距一定不相等AC【分析】根据直线的一般式方程与的关系讨论可求解.【详解】由可知，直线的斜率存在，且,所以直线与两条坐标轴都相交，所以A正确;当时直线的斜率不存在，则不能用点斜式表示,所以B错误;因为直线：经过点，所以，所以，则直线方程为，即，所以C正确;当时，直线经过坐标原点，直线在两条坐标轴上的截距相等，所以D错误.故选：AC.10．如图，已知平面，，，，为的中点，，则以下正确的是（

）A．B．C．与所成角的余弦值为D．与所成角的余弦值为ABC【分析】选定一组基底为,根据空间向量的数量积运算以及余弦定理可求解.【详解】因为平面，平面,所以所以，在中，,所以，所以A正确;在中,,，所以B正确；因为，,,,所以与所成角的余弦值为,所以C正确；由以上知，，且,在中，由余弦定理得,所以D错误.故选:ABC.11．已知圆：与圆：交于两点，，则下列正确的是（

）A．， B．C． D．ACD【分析】根据中点坐标公式结合圆的性质判断A；根据两圆相交的位置关系判断B；由点与圆的位置关系判断CD.【详解】设线段的中点为，则，又两圆半径相等，则也是的中点，，即，，故A正确；设圆心距为，因为两圆相交，所以，即，故B错误；因为，所以同理可得，两式相减得，故CD正确；故选：ACD12．如图，在正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则下列结论或说法中正确的有（

）A．B．可能会出现与相交的情形C．可能会出现平面的情形D．可能会出现平面的情形ABD【分析】建立坐标系，由判断A；由判断B；由向量法判断CD.【详解】设，则，，，，故A正确；，当时，，，，此时与相交，故B正确；设平面的法向量为，，，，则，取，则，，当平面时，，，方程组无解，故C错误；当平面时，，解得，故D正确；故选：ABD三、填空题13．已知直线：，：，若，则与之间的距离为_______．【分析】先利用两直线平行求出，即可得到直线的方程，然后利用两平行线间的距离公式即可求解【详解】因为直线：，：，，所以，解得，所以直线：，即，所以与之间的距离为故14．已知为圆：的圆心，为坐标原点，若直线与垂直且与圆相切，则的方程为______．，【分析】根据题意得到圆的标准方程，从而找出圆的圆心和半径，求出直线的斜率，由直线与直线垂直可知直线的斜率，设出直线的方程，利用它与圆相切，圆心到直线的距离为半径即可求出的值，问题解决.【详解】由题有，所以圆心，半径为所以直线的斜率，由直线与直线垂直，所以直线的斜率，设直线的方程为，由直线与圆相切，所以有圆心到直线的距离为即，解得或，所以所求直线为或，即或故或.15．把正方形纸片沿对角线折成的二面角，则折纸后与所成角的余弦值为______．【分析】取中点，连接，易得，再取中点，连接，易得是异面直线与所成的角或其补角，再结合余弦定理求解即可.【详解】解：取中点，连接，因为在正方形纸片中，，所以，，所以，是正方形纸片ABCD沿对角线AC折成的二面角的平面角，即，设正方形的边长为，取中点，连接，所以，所以是异面直线与所成的角或其补角，因为，，所以，所以，在中，，所以与所成角的余弦值为.故16．已知四面体的所有棱长都为，且，点在棱上（含端点）运动，则的取值范围为______．【分析】四面体为正四面体，E在以B为球心，半径的球面上，设直线交球面于近点、远点，则F为AD中点时，最小，F为A或D时，最大【详解】四面体的所有棱长都为，即为正四面体，又，故E在以B为球心，半径的球面上，设直线交球面于近点、远点，则，，当F为AD中点时，最小，即，，当F为A或D时，最大，即，故的取值范围为.故四、解答题17．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，，为的中点，设，，．(1)用，，表示；(2)求证：平面．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据向量运算求解即可；（2）先根据向量运算关系得，进而得共面，再根据平面即可证明.【详解】(1)解：因为四棱锥的底面为平行四边形，，为的中点，所以，，(2)证明：因为，，所以，，即，所以共面，因为平面，所以平面.18．已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上．(1)求圆的方程；(2)若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程．(1)(2)或【分析】（1）设圆的一般式方程，两圆方程相减，即可得出圆的方程；（2）设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径得出直线的方程．【详解】(1)由已知可设圆的方程为：，…①圆：…②①②可得：，即为的方程，所以有，，，所以圆的方程为.(2)因为圆心的坐标为，半径为2，由已知当直线m不过原点时可设的方程为，因为直线与圆相切，所以有，所以直线的方程为.又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等且为0，所以又可设直线的方程为，所以有，所以直线的方程为.综上直线m的方程为或19．已知△中，顶点，的坐标分别为与，动顶点在的上方，且对应的顶角为．(1)求动顶点的轨迹方程；(2)判断直线：与的轨迹的交点个数并指出相应的的取值范围．(1)，且；(2)答案见解析【分析】（1）设点的坐标是，直线，的倾斜角分别为，，可得到，利用两点的斜率公式即可求出答案；（2）直线：过定点，设为，求出，和直线与动点的轨迹相切时的斜率，结合图象即可求出答案【详解】(1)设点的坐标是，直线，的倾斜角分别为，，由已知有，所以有，所以，可整理得，即，所以动点的轨迹方程为：，且；(2)直线：即过定点，设为，所以有，，由可得圆心半径为2，所以由直线与动点的轨迹相切可得：解得，所以通过图象可得到，当直线：与的轨迹没有交点时，的取值范围为；当直线：与的轨迹有且仅有一个交点时，的取值范围为或或；当直线：与的轨迹有两个交点时，的取值范围为或20．已知，分别是棱长为的正方体棱，的中点．(1)求与平面所成角的余弦值；(2)求四面体的体积．(1)(2)【分析】（1）建立坐标系，利用向量法得出与平面所成角的余弦值；（2）由向量法得出点到平面的距离，从而由体积公式求解即可.【详解】(1)以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，所以，，，，设平面的法向量为，则取，则，，所以是平面的一个法向量.，所以与平面所成角的余弦值为.(2)，设点到平面的距离为，所以，所以四面体的体积为21．已知长方体中，，圆内切上底面正方形，为圆上的动点．(1)求点到直线的距离；(2)求的取值范围．(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解点到直线的距离;（2）利用圆的参数方程或线面垂直的性质求解距离的最值问题.【详解】(1)以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，取，所以点到直线的距离为.(2)（法一）设，且有，设，可得,所以，因为，所以.（法二）因为平面，，所以，所以△为直角三角形，而，所以，即.22．如图，已知为正方形，平面，，且，为与的交点．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）先建立空间直角坐标系，利用坐标证明直线的方向向量垂直于平面内的两条相交直线的方向向量即可.（2）直接求出两个平面的法