《简明线性代数》3-3 向量空间

二、向量空间的基和维数

一、向量空间的概念§3.3向量空间三、基变换与过渡矩阵

例1

设V

为平面上所有起点在定点O

的向量的集合.(1)若aV,bV,

则a

+

bV;(2)若aV,kR,

则kaV,称V

为平面向量空间.

设V中两向量a1,a2

线性无关,即a1,a2

不共线,则称V

为由向量组a1,a2

生成的向量空间.一、向量空间的概念

集合V

具有如下性质:例2

设n元方程组Ax=0的解集为

S,秩R(A)=

r<n.性质1

若xS,hS,

则x+hS.性质2

若xS,kR,

则kxS.称解集

S为方程组Ax0的解空间.称解空间S

为由向量组x1,,xn-r

生成的向量空间.

设x1,,xn-r

是方程组Ax=0的一个基础解系,则

向量空间

设Rn

的非空子集V满足条件：(1)若aV,bV,

则a

+

bV;(2)若aV,kR,

则kaV,那么称V

为一个向量空间.

当非空集V

满足条件(1),(2)时,称V对线性运算封闭.

向量空间必含零向量.

{0}是一个向量空间,称零空间.

Rn

本身是一个向量空间.

子空间

设有向量空间V1

及V2,若V1

V2,就称V1

是V2的

子空间.而当V1

V2

时,称V1

是V2

的真子空间.

向量组B

可由组A

线性表示的充要条件是B

L(A).

生成空间

设有向量组A:a1,,am,称向量空间L(A)为由向量组A生成的向量空间,简称生成空间.称a1,,am

为生成元.记

L(A)为向量空间V的子空间的充要条件是

AV.

L(B)为L(A)的子空间的充要条件是向量组

B

可由组

A

线性表示.

L(A)=

L(B)的充要条件是向量组A

与组B等价.则L(A)是一个向量空间.例3

由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T

所生成的空间记为V1,而由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T

所生成的空间记为V2.试证V1=

V2.解求得由此,又可得因此

a1,a2

与b1,b2

等价,从而V1=V2.

称向量空间V

的任一最大无关组为

V

的一个基.二、向量空间的基和维数

向量空间的基和维数

称向量空间V

的秩为

V的维数,记为dimV.

基的性质

设

V是一个向量空间,则V

中向量组a1,,ar

为V的一个基的充分必要条件是(2)V

中任一向量可由a1,,ar

线性表示.(1)a1,,ar

线性无关;

设V

是一个

r

维向量空间,则V中任意

r个线性无关向量a1,,ar

为V

的一个基,且有

dimL(a1,,ar)R(a1,,ar).

n元方程组Ax=0的任一基础解系为解空间S的一个基,且有dimS=

n-R(A).

单位坐标向量组为Rn

的一个基,dimRn

=

n.

平面向量空间是2维向量空间,两个不共线向量为其基.

向量在基下的坐标

设

a1,,ar

是向量空间V

的一个基,则V

中任一向量a可唯一地表示为称(k1,,kr)为向量

a在基a1,,ar

下的坐标.解例4

验证a1=(1,-1,0)T,a2=(0,1,3)T,a3=(2,1,8)T

为R3

的一个基,并求b1=(5,0,12)T,b2=(9,-7,8)T,b3=(3,1,11)T在这个基下的坐标.从而a1,a2,a3

线性无关,b1,b2,b3在基a1,a2,a3下的坐标分别为所以R(a1,a2,a3)=3,即有为R3

的一基.三、基变换与过渡矩阵

设向量组a1,,ar

及b1,,br

是向量空间V的两个基,

基变换称以上关系式为基变换公式.

称矩阵P为从基a1,,ar

到基b1,,br

的过渡矩阵.则存在r

阶可逆矩阵P,使可以验证

b1,b2,b3

也为R3

的一个基.

平面坐标旋转变换公式

如图所示,依次记i,j,i,j为x

轴,