2023年新高考数学大一轮复习真题源大题分类讲义之专题10 圆锥曲线中的定点问题（解析版）

10.圆锥曲线中的定点问题一．与椭圆有关的定点问题【例1】（2020年·新课标Ⅰ）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，，，，，，，椭圆方程为：.（2）证明：设，则直线的方程为：，即，联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得，解得或，将代入直线可得，所以点的坐标为.同理可得点的坐标为，当时，直线的方程为，整理可得，整理得，所以直线过定点．当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．【方法技巧】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．二．与抛物线有关的定点问题【例2】（2019年·新课标Ⅲ）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】（1）证明：设,,则．又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立．所以直线恒过定点.（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，于是，.设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则，由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时因此，四边形的面积为3或.【方法技巧】应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点.二．与圆有关的定点问题【例3】（2017年·新课标2卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【解析】（1）设P（x，y），M（）,则N（），，由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【方法技巧】本题证明，结合过点P存在唯一直线垂直于OQ，从而得出结论.四．结构不良问题【例4】（江苏省新高考基地学校2021-2022学年高三上学期12月第二次大联考）已知椭圆的右焦点为，长轴与短轴的长度之和.直线与相切于点，且与直线相交于点.（1）求椭圆的方程；（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立.①以为直径的圆经过点；②.【解析】（1）由题意知，椭圆C的方程为.（2）以②作为条件，①作为结论，，，，，，∴，，，，，∴，∴，即以为直径的圆经过点.以①作为条件，②作为结论，，，，，，∴，，，，，因为以为直径的圆经过点，所以.解得.【方法技巧】结构不良问题，仔细审题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的解答.【演练提高】1.（吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试）已知抛物线上一点到焦点的距离为．（1）求抛物线的标准方程；（2）若点A，为抛物线位于轴上方不同的两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．【解析】（1）∵点到焦点的距离为，，解得：，抛物线的标准方程为；（2）方法一：设，，则，，设直线的方程为：，直线的斜率，联立方程得，则，，，，，则，即，∴，即则直线的方程为，过定点∴直线过定点.方法二：设、，由题意，∴，设直线的方程为：，联立方程得，，由，可得，，，即，，即，即，即，整理得，直线的方程为，过定点，∴直线过定点.2.四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．（1）求椭圆C的方程；（2）不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．∵，∴解得从而b2＝a2－c2＝3．∴椭圆C的方程；（2）设直线l的方程为y＝kx＋m，，．∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．由得．时，，，∴．由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).3.（江苏省泰州市2022届高三第一次调研）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.【解析】（1）因为四点，，，中恰有三点在上，而点，关于原点对称，，所以点，，在曲线上，代入可得，解得，所以的方程为：.（2）当直线斜率不存在时，得，，，则直线方程为，过点；当直线斜率存在时，设为，，，则，联立，整理得，，由韦达定理知，，则，所以，又，所以，即直线过点.4.（四川省泸州市2022届高三第二次教学质量诊断性考试）已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.（1）求椭圆C的标准方程：（2）斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，证明直线l经过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）由题意：，且，解得：，，所以椭圆标准方程为：.（2）由（1）得：，，设，，，联立椭圆方程得：，则，，又，，所以，化简得：，将，代入得：，由于不恒为0，所以，解得：，故过定点，即直线l过定点.5.（河南省濮阳市2021-2022学年高三下学期开学摸底考）已知过点的直线与抛物线C：交于不同的两点M，N，过点M的直线交C于另一点Q，直线MQ斜率存在且过点，抛物线C的焦点为F，的面积为1．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线QN过定点．【解析】（1）由题可知，由，解得，所以抛物线C的方程为；（2）设，，，直线AM的方程，联立消去y得，则，则，由题可知，所以直线QN的方程为，要证直线QN过定点，即证，即恒成立，同理可知直线MQ的方程为，代入得，得，所以，所以，即直线QN过定点．6.（江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．【解析】（1）由题意得该抛物线焦点到准线的距离为－(－)＝p＝2，所以该抛物线的方程为y2＝4x．（2）①当直线l1，l2的斜率都存在时，设直线l1：，直线l2：y－1＝k2（x－1），由，消去y得，显然，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，

，，则以AB为直径的圆的方程为：，，即＋＋＝0，

同理，以CD为直径的圆的方程为：＋＋＝0，∴两圆公共弦所在的直线m的方程为：．令，解得，所以直线恒过定点(，)．

②当直线l1，l2的斜率中有一个不存在时，由对称性不妨设l1的斜率不存在，l2的斜率为k2，则以AB为直径的圆的方程为：，以CD为直径的圆的方程为：＋＋＝0，所以两圆公共弦所在的直线m的方程为：，此时直线m恒过定点（，），综上得：直线m恒过定点（，）．7.（2022年高三数学新高考测评卷（猜题卷七））已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.（1）求C的方程.（2）若直线与C的右支相切，切点为P，与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，双曲线的渐近线方程为，又由双曲线的右焦点为，可得，所以到渐近线的距离，所以，所以C的方程为.（2）由题意易知直线的斜率存在，设其方程为，联立与C的方程，消去y，得，因为直线与C的右支相切，所以，（双曲线右支上的点需满足的条件），得，则，设切点，则，，设，因为Q是直线与直线的交点，所以，，假设x轴上存在定点，使得，则，故存在，使得，即，所以x轴上存在定点，使得.8.（河南省原阳县第─高级中学等2021-2022学年高三上学期模拟）已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点，且两条曲线的一个交点为，若E到的准线的距离为，到的两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右顶点的两条直线，分别与抛物线相交于点A，C，点B，D，且，M是AC的中点，N是BD的中点，证明：直线MN恒过定点.【解析】（1）由椭圆的定义知，，，过E作垂直的准线于点E，则设椭圆左､右焦点分别为，，连接､，则，，在中，，得.过E作轴于点，在中，，得.又易知，∴.故，，∴椭圆的方程为.（2）设直线，直线，由得，设，，则，∴，则，得，同理得.∵，∴，即当时，，结合，得，此时直线MN的方程为.当，则时，，∴直线MN的方程为，，∴直线MN过点.综上，直线MN恒过定点.9.（山东省潍坊市2022届高三一模统考）已知椭圆的焦距为2，点在C上.（1）求C的方程；（2）若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为-1，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知，椭圆C的半焦距，焦点分别为，，由椭圆定义得：椭圆长轴长，即，，所以椭圆C的方程为.（2）设点，显然，过点P的直线方程为，由消去y并整理得：，因为直线l与C相切，则，得，即，设直线，的斜率分为，，显然，是上述关于k的一元二次方程的两个根，则，化简得，即点P到坐标原点O的距离，故点P在以O为圆心，为半径的圆上，并且是动点，而点A为该圆上一定点，则当满足时，AB为圆O的直径，即点，所以存在点满足题意.10.已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.（1）求C的方程；（2）设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.【解析】（1）因为双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，将点代入得，解得，所以双曲线C的方程为；（2）显然直线的斜率不为零，设直线为，，联立，消整理得，依题意得且，即且，，直线的方程为，令，得.所以直线过定点.11.（四川省大数据精准教学联盟2022届高三第一次统一检测）如图，已知抛物线与圆相交于A，B，C，D四点.（1）若以线段为直径的圆经过点M，求抛物线C的方程；（2）设四边形两条对角线的交点为E，点E是否为定点？若是，求出点E的坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）根据已知圆及抛物线的对称性，可设.由消去y，可得，则，得或，，且，显然，故，由以为直径的圆经过点M，知，所以，，于是，，即.故抛物线C的方程为.（2）由题意，直线的斜率存在，且为.所以，直线的方程可以表示为：.即，所以，即.于是直线恒过点.由抛物线和圆的对称性，易知的两条对角线交点E必在x轴上，故四边形的两条对角线交点E是定点.12.（江西省赣州市2022届高三上学期期末）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）由，解得，则椭圆C的方程为；（2）设存在点，由已知条件可知直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为，则，由，得，即，由得，∴需满足，∴，∴，∴，∴，∴满足.∴，∴点.13.（山东省2022届高三第二次学业质量联合检测）已知椭圆C：的左顶点是A，右焦点是，过点F且斜率不为0的直线与C交于M，N两点，B为线段AM的中点，O为坐标原点，直线AM与BO的斜率之积为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AM和AN分别与