2020高中数学 第8章 立体几何初步 8. 空间直线、平面的垂直 8 平面与平面垂直的性质 第二册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精课时作业38平面与平面垂直的性质知识点一平面与平面垂直的性质1.设m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题:①若α⊥β,α∩β＝m，n⊂α,n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④若α⊥β,m⊥β，m⊄α,则m∥α;⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β。其中正确命题的个数为(）A．1B．2C．3D．4答案B解析根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中,α,β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交,不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B。2．下列说法错误的是（)A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β＝l，则l一定垂直于平面v答案C解析C错误，平面α⊥平面β，在平面α内，平行于α，β交线的直线和平面β平行．3．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(）A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析连接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A。4．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，现将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD的体积为________．答案eq\f(\r(2）,6）解析作AH⊥BD于H,∵平面ABD⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD。易得∠BDC＝90°.由AB＝AD＝1,得BD＝eq\r（2），则CD＝eq\r(2）。AH＝ABsin45°＝eq\f(\r（2)，2)，∴VA－BCD＝eq\f（1,3)S△BCD·AH＝eq\f（1,3）×eq\f（1,2)×eq\r(2）×eq\r（2）×eq\f(\r（2）,2）＝eq\f(\r(2)，6).知识点二平面与平面垂直的应用5．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝2eq\r（3），AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD。求证:AB⊥DE。证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，BD＝2eq\r（3），∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD。∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE。6．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AA1的中点．求证：平面B1EC⊥平面BCC1B1。证明如图,取BC，B1C的中点分别为F，G，连接AF，EG，FG，由E,F，G分别为AA1，BC,B1C的中点，知FG綊eq\f(1,2)BB1綊AE，所以四边形AEGF为平行四边形,所以AF∥EG.在直三棱柱中，由平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，且AF⊥BC，知AF⊥平面BCC1B1，所以EG⊥平面BCC1B1。又EG⊂平面B1EC，所以平面B1EC⊥平面BCC1B1.

一、选择题1．若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么（)A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面答案C解析直线a与直线b均不一定垂直两面的交线．2．下列命题错误的是(）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面β,α∩β＝l，l⊥m，那么m不一定垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析A中结合正方体，可知此命题正确；B中，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直，故此命题正确；C中,当m⊂α时，m⊥β，当m⊄α时，m可能在β内，也可能与β斜交或平行，故m不一定垂直于平面β；D中,举反例，教室侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直于地面的，故此命题错误．故选D.3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是(）A．②③B．①②C．①③D．①④答案D解析上下面射影选①,前后左右面射影选④.4．如图,在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r（2),BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．∠BAC＝90°C．CA与平面ABD所成的角为30°D．三棱锥A－BCD的体积为eq\f（1,3)答案B解析在三棱锥A－BCD中，取BD的中点O,连接AO，OC。∵AB＝AD,∴AO⊥BD。又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD,∴AO⊥平面BCD.∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD。假设AC⊥BD，又AC∩AO＝A，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥OC，与OC不垂直于BD矛盾,∴AC不垂直于BD，A错误．∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AD，∴AC＝eq\r（2）.∵AB＝1，BC＝eq\r（BD2＋CD2）＝eq\r（3）,∴AB2＋AC2＝BC2,∴AB⊥AC，B正确．∠CAD为直线CA与平面ABD所成的角,∠CAD＝45°，C错误．VA－BCD＝eq\f(1，3)S△ABD·CD＝eq\f（1,6），D错误．故选B.5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB＝BC，AD＝CD,则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直答案C解析如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC,AD＝CD。∴BD⊥AC。∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C。又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C。二、填空题6。如图，在三棱锥P－ABC中,侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°,PA＝1，AB＝2，则PB＝________.答案eq\r（5）解析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC),∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2）＝eq\r（1＋4)＝eq\r(5).7．已知m,n为直线,α，β为空间的两个平面．给出下列命题：①eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n））⇒n∥α；②eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m⊂α,,n⊂β，，α∥β））⇒m∥n；③eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m⊥α，，m⊥β))⇒α∥β；④eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m⊥β，，n⊥β)）⇒m∥n。其中正确的命题为________(填序号）．答案③④解析对于①，会有n⊂α的情况,因此不正确；对于②，会有m,n异面的情况，因此不正确；容易验证③④都是正确的．故填③④.8．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________。答案13解析取AB的中点E,连接PE，EC。∵∠ACB＝90°，AC＝8,BC＝6，∴AB＝10,∴CE＝5。∵PA＝PB＝13，E是AB的中点，∴PE⊥AB，PE＝12.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PE⊥平面ABC.∵CE⊂平面ABC，∴PE⊥CE。在Rt△PEC中，PC＝eq\r(PE2＋CE2）＝13。三、解答题9.如图，三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PAC＝90°,平面PAC⊥平面ABC。求证：平面PAB⊥平面PBC。证明∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC,∴PA⊥平面ABC。又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC。又AB⊥BC,AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10．如图,在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：（1）PA⊥底面ABCD；（2）BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD。证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD,∴PA⊥底面ABCD。（2）∵AB∥CD,CD＝2AB,E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE。∴四边形AB