2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一年级下册学期第二次学情分析考试数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期第二次学情分析数学试题一、单选题1．设复数z满足（其中i为虚数单位），则（

）A． B． C．5 D．A【分析】利用复数求模长公式进行计算.【详解】.故选：A2．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=（

）A．93 B．94 C．95 D．96D【分析】根据平均数和标准差列方程即可求解.【详解】由题意，，解得或，∴；故选：D.3．设，，，则有（

）A． B． C． D．C【分析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】，，，因为函数在上是增函数，，所以由三角函数线知：，，因为，所以，所以故选：C.4．已知平面平面，直线平面，直线平面，，在下列说法中，①若，则；②若，则；③若，则.正确结论的序号为（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③D【分析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③．【详解】平面平面．直线平面，直线平面，，①若，可得，可能平行，故①错误；②若，由面面垂直的性质定理可得，故②正确；③若，可得，故③正确．故选：D．本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形C【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.【详解】由正弦定理得，即，由于为三角形内角，所以.故选：C.6．如图正方体中，M，N分别是，的中点，则正确的是（

）A．且平面ABCDB．且平面C．与相交且平面ABCDD．与异面且平面A【分析】结合线线垂直、线面平行和直线相交、异面等知识正确答案.【详解】由于平面，所以与平交，由此排除BD选项.由于平面，平面，且，根据异面直线的知识可知：与是异面直线.由此排除C选项.对于A选项，根据正方体的性质可知，所以平面，所以.由于分别是的中点，所以，由于平面平面，所以平面，所以A选项正确.故选：A7．在△中，，E是上一点．若，则（

）A． B． C． D．A【分析】根据图形可设，从而得到，根据已知条件，即可求出的值.【详解】如图所示，设，则，又∵，∴，∴，故选：．8．如图，在平行六面体中，点是棱上靠近的三等分点，点是棱的中点，且三棱锥的体积为2，则平行六面体的体积为（

）A．8 B．12 C．18 D．20B【分析】首先设点到的距离为，点到平面的距离为，得到，再计算平行六面体的体积即可.【详解】如图设点到的距离为，点到平面的距离为，则，，所以，平行六面体的体积为所以.故选：B本题主要考查几何体的体积，同时考查了三棱锥的体积，属于简单题.二、多选题9．为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（

）A．名运动员是总体； B．所抽取的名运动员是一个样本；C．样本容量为； D．每个运动员被抽到的机会相等.CD【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.【详解】由已知可得，名运动员的年龄是总体，名运动员的年龄是样本，总体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，所以A、B错误，C、D正确.故选：CD.本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.10．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（

）A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数C． D．在复平面内对应的点位于第三象限ACD首先化简复数，根据实部为-1，求，再根据复数的概念，判断选项.【详解】，因为复数的实部是-1，所以，解得：，所以，A.复数的虚部是-5，正确；B.复数的共轭复数，不正确；C.，正确；D.在复平面内对应的点是，位于第三象限，正确.故选：ACD11．下列命题中是真命题的是（

）A．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD是菱形B．若点G为的外心，则C．向量，能作为平面内的一组基底D．若O为△所在平面内任一点，且满足，则△为等腰三角形AD【分析】A由相反向量的定义及向量数量积的垂直表示知ABCD是菱形，B根据钝角三角形外心即可判断命题的真假，C由平面内基底的性质判断真假，D利用向量加减法的几何含义及向量数量积的垂直表示即可判断真假.【详解】A：四边形ABCD中，由知：线段、平行且相等，由知：对角线相互垂直，即ABCD是菱形，真命题；B：以钝角△的外心为例，显然若点G为外心时，，假命题；C：由已知有，显然共线，所以不能作为平面内的一组基底，假命题；D：，，若为中点，则，由有，所以垂直平分，即，故△为等腰三角形.故选：AD.关键点点睛：利用相反向量的定义、向量数量积的垂直表示、平面中基底的性质、几何图形中向量加减法表示判断各选项所描述命题的真假.12．在正方体中，分别为的中点，则下列结论中正确的是（

）A．B．二面角的正切值为C．异面直线与所成角的余弦值为D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍BCD【分析】由于在正方体中，，与不垂直，故与不垂直，判断选项A；过点作，交的延长线于，连接，设正方体的棱长为2，，判断选项B；取的中点，连接，则，与所成角即为直线与所成角，在中用余弦定理，判断选项C；连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离之比为，而∽，判断选项D.【详解】在正方体中，显然有，且在正方体中，与不垂直，故与不垂直，选项A错误；过点作，交的延长线于，连接，由二面角的定义可知，即为二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则，选项B正确；

取的中点，连接，则，故异面直线与所成角即为直线与所成角而，，故在中，由余弦定理可得，选项C正确；连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离之比为，而∽故，选项D正确.故选：BCD.三、填空题13．一组数据从小到大排列，依次为，若它们的中位数与平均数相等，则______.8【分析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x的方程，解方程得到x的值.【详解】因为数据2,3,4，，9,10的中位数与平均数相等，所以，解得.主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题．14．如图，某人在高出海平面方米的山上P处，测得海平面上航标A在正东方向，俯角为，航标B在南偏东，俯角，且两个航标间的距离为200米，则__________米.200【分析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出的值．【详解】航标在正东方向，俯角为，由题意得，．航标在南偏东，俯角为，则有，．所以，；由余弦定理知，即，可求得（米．故200．本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题．15．在中．已知，为线段上的一点，且满足．若的面积为，，则的最小值为_______．【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为2．本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．四、双空题16．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它的表面积为_________，与所成角的余弦值为_______________．

【分析】根据题目所给边长，直接求表面积即可得解，延长交于点，作中点，中点，连接，，则与所成角即为和所成角，在中解三角形，即可得解.【详解】根据题意正三棱台的上下底面为等边三角形，上底面为边长为1的等边三级形，下底为边长为2的等边三角形，侧面为等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以高，所以面积，延长交于点，由上底的边长为1，下底的边长为2，所以分别为中点，作中点，中点，连接，，则与所成角即为和所成角，连接，在底面的投影为，为底面的中心且在上，作于，显然由，，所以，所以，，所以，，在等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以，，在中，，根据线线所成角的范围，则与所成角的余弦值为.故，.本题考查了求空间几何体的表面积，考查了异面直线所成角，计算量较大，属于较难题.本题的关键点为：（1）通过平移把异面直线平移到同一平面中；（2）通过空间线面关系进行计算，是本题的核心能力.五、解答题17．已知复数满足（a＞0，a∈R），且，其中为虚数单位．(1)求复数；(2)若复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cos∠ABC．(1)(2)【分析】（1）根据，得到，进而得到为实数求解.（2）化简得到复数所对应的点，进而得到向量和的坐标，然后利用向量的夹角公式求解.【详解】(1)解：因为，所以，则，，，所以，所以，又，所以，所以．(2)，，所以，，，所以，，．18．某企业员工人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.区间频数(1)上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数、、的值；(2)现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，问：这三组应各取多少人？(3)若同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄.(1)，，(2)这三组中抽取的人数分别为、、(3)【分析】（1）计算出第组的频率，结合频率、频率和总人数之间的关系可求得的值，再利用频率、频率和总人数之间的关系可求得、的值；（2）计算出第、、组的人数之比，结合分层抽样可计算出这三组所抽取的人数；（3）将每个矩形底边的右端点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得结果.【详解】(1)解：第组的频率为，所以，，，.(2)解：第、、组的人数之比为，现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，第组抽取的人数为人，第组所抽取的人数为人，第组所抽取的人数为人.(3)解：，所以估计该企业员工的平均年龄为.19．在中，角，，所对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若向量，，求的取值范围.（1）；（2）.【分析】（1）首先，利用正弦定理，正切化为正弦和余弦，化简得，求角；（2）根据（1）的结果，得的坐标，再化简，根据角的范围求模的范围.【详解】解：（1）由，及正弦定理，得，即，即，所以，.（2），所以，由于，得，所以.20．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，，E是线段PC上的一点，．(1)试确定实数，使平面BED，并给出证明；(2)当时，证明：PC⊥平面BED．(1)，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，连接AC，可证明当E为PC中点时，使平面BED，即得答案.（2）证明平面PAC，即证明，再通过证明△PAC与△OEC相似，证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明PC⊥平面BED．【详解】(1)连接AC，且，若平面BED，因为平面PAC，平面平面，所以，又因为O为AC中点，所以E为PC中点，即．当时，E为PC中点，又因为O为AC中点，所以，平面BED，平面BED，所以平面BED．(2)连接OE，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，在菱形ABCD中，，又因为，所以平面PAC，平面PAC，所以，在直角三角形PCA中，，，，所以，因为，所以，所以，又，所以，故△PAC与△OEC相似，所以，又因为，，OE，平面BED，所以平面BED．21．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P－AD－B为60°．①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．【详解】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．（2）①证明：如图，连接PE，BE．因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PB